Презентация по теме "Теорема Пифагора"

Теорема Пифагора

Содержание:

1. Вводная часть

2. Исторический экскурс

• Рассказ о Пифагоре;
• Из истории теоремы Пифагора

3. Теорема Пифагора

4. Доказательство теоремы

5. Теорема обратная теореме Пифагора

6. Задачи по готовым чертежам

7. Старинные задачи

8. Самопроверка

Теорема Пифагора – одна из самых знаменитых положений геометрии. Хотя она и названа именем великого древнегреческого математика и философа, жившего более 25 веков тому назад, история ее началась задолго до самого Пифагора.

Исторический экскурс

• Рассказ о Пифагоре

Говоря о Пифагоре, следует сразу отметить, что о его жизни известно немного. Мы знаем, что в 6 в. до н.э. в Др.Греции жил ученый по имени Пифагор, родом из Самоса. В молодости он много путешествовал по странам Востока, где изучал разные науки. Вернувшись на родину, Пифагор основал философскую школу, так называемый пифагорейский союз. Пифагорейцами были сделаны важные открытия в области арифметики и геометрии.

Исторический экскурс

• Из истории теоремы Пифагора

Интересна история теоремы Пифагора. Она была известна задолго до Пифагора. Эта теорема встречалась за 1200 лет до него. Возможно еще тогда не знали доказательство, а отношения между гипотенузой и катетом устанавливали опытным путем. Пифагор нашел доказательство этого соотношениям. Сохранилось древнее поверие, что Пифагор в честь своего открытия принес жертву богам быка. Позже были найдены различные доказательства теоремы, в настоящее время их более 100.

Учащиеся средних веков считали доказательство этой теоремы трудным и прозвали его «ослиным мостом» или «бегством убогих»,т.к. слабые ученики бежали от геометрии.

Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

C 2 = a 2 + b 2

Доказательство теоремы

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. (рис. 1).

Докажем что c 2 = a 2 + b 2 .

Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b так, как показано на рис.2. Площадь S этого квадрата равна (a+b) 2 . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ a*b,и квадрата со стороной c, поэтому S = 4* ½ a*b + с 2 = 2a*b + с 2 .

Таким образом (a+b) 2 = 2a*b + с 2 , откуда: с 2 = a 2 + b 2 . Теорема доказана.

Рис. 1

Рис. 2

Если дан нам треугольник, И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, сумму степеней находим- И таким простым путем К результату мы придем .

Существует теорема, обратная теореме Пифагора

Если квадрат одной стороны треугольника

равен сумме квадратов двух других сторон,

то треугольник прямоугольный.

С помощью готовых чертежей вычислить, если возможно :

1

2

Сторону АС треугольника АВС

Сторону MN треугольника KMN

3

4

Сторону KP треугольника KPR

Диагональ BD квадрата BCDF

Рассмотрим несколько старинных задач на применение теоремы Пифагора

Задача 1 (из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого)

Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать .

Решение задачи 1

Решение. Треугольник ABC – прямоугольный. Пусть BC = x стоп, тогда по теореме Пифагора AC 2 + BC 2 = AB 2 ,

117 2 + x 2 = 125 2 ;

x 2 = 125 2 – 117 2 ,

x 2 = (125-117)*(125+117),

x 2 = 8*242, x = 44.

Ответ: 44 стопы

Задача 2 (индийского математика XII в. Бхаскары)

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки,

Осталось три фута всего от ствола.

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Решение задачи 2

Решение :

Пусть AB – высота тополя, тогда AB = AC + CD. Найдем CD. Треугольник ABC – прямоугольный. По теореме Пифагора CD 2 = AC 2 + AD 2 , CD 2 = 3 2 + 4 2 , откуда CD = 5 футов. Значит, AB = 3 + 5 = 8футов

Ответ : 8 футов

Задача 3 (из древнеиндийского трактата)

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону.

Нет боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Решение задачи 3

Решение:

Треугольник ABC – прямоугольный, AB = AC + ½

Тогда по теореме Пифагора AB 2 = AC 2 + CB 2 , (AC + ½ ) 2 = AC 2 + 2 2 , AC = 3¾ фута

Ответ: 3¾ фута

http://th-pif.narod.ru

На этом сайте вы сможете найти сведения об истории открытия и доказательства теоремы Пифагора, а так же о самом Пифагоре. Здесь приведены около 30 различных доказательств этой теоремы от древнейндийского математика Басхары до векторного доказательства. Вы сможете узнать, как использовали свойства и теорему прямоугольного треугольника древние египтяне, архитекторы средневековья и как она используется в наше время.