Презентация проекта Фигуры вращения

Проект

по геометрии

Поворот. Фигуры вращения

11 класс

Краснодар

2014

Введение

Оглянитесь вокруг. Что вы видите? Что вас окружает? Это природа: её красивейшие пейзажи, горы, вулканы, холмы и т.д. Это прекраснейшие здания и сооружения, различные приборы, конструкции, машины, техника, а так же предметы быта, одежда, посуда, украшения… А ведь только вдумайтесь, предметы каких разнообразных форм находятся рядом с нами. Это же самые настоящие конусы, цилиндры, торы, эллипсы и шары! И что бы вы не делали, они всегда будут присутствовать в вашей жизни. Именно поэтому мы с ребятами решили изучить мир многообразных и интересных форм, мир, полный различных фигур. Фигур вращения. Для лучшего понимания и восприятия данной темы мы создали проект.

Почему мы выбрали именно эту тему?

• Знание этого материала имеет широкое применение на практике, т.к. в жизни мы часто встречаемся с телами такой формы.

Наши Цели :

• Изучить фигуры вращения
• Научиться решать задачи с использованием фигур вращения

Задачи

• Ввести понятия тел вращения и их элементов
• Изучить свойства фигур вращения
• Научиться строить фигуры вращения
• Ознакомиться с практическим применением фигур вращения в реальной жизни

СОДЕРЖАНИЕ рАБОТЫ

• Для работы над данным проектом наш класс был разделён на 4 группы, каждая их которых подготовила различную информацию по выбранной теме.
• Следующим этапом стало представление и защита презентаций.
• После изучения материала была проведена самостоятельная работа.
• Такой вид деятельности заинтересовал ребят и вдохновил нас на изучение предмета методом проектов.

Параболоид вращения

Немного из истории

Первые упоминания о параболоиде 

АРХИМЕД (лат. Archimedes, греч. Архимидис) (около 287 до н.э., Сиракузы, Сицилия - 212 до н.э., там же), древнегреческий ученый, математик и механик, основоположник теоретической механики и гидростатики. Он впервые упоминает о параболоиде в своем трактате "О коноидах и сфероидах"

определение

Если вращать параболу y=ах² вокруг ее оси то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения.

ФИЗИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ГИПЕРБОЛОИДА

Лучи идущие параллельно оси параболоида после отражения от граней параболоида концентрируются в одной точке называемой фокусом параболоида. На этом свойстве устроены параболические телескопы, параболические антенны, прожектора, проекторы.

Если же источник света поместить в фокус параболоида, то лучи, идущие от источника света, будут концентрироваться в световой пучок, идущий параллельно оси параболоида. Этот факт находит применение при создании прожекторов, фонарей, проекторов, где зеркало имеет форму параболоида.

Цилиндр

Определение

• Цилиндр   – это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.
• Цилиндр образуется при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону

« Цилиндр » - греческое слово «kylindros», что означает « валик », « каток ».

Основные элементы цилиндра

Прямой круговой цилиндр - это тело, получаемое вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон

Сторона прямоугольника, вокруг которой производилось вращение, называется осью цилиндра

Радиус основания является радиусом цилиндра

Расстояние между основаниями цилиндра называется его высотой

Любой отрезок, параллельный оси цилиндра и соединяющий граничные точки его оснований, называется образующей цилиндра

Развертка цилиндра

основание

основание

боковая поверхность

боковая поверхность

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.

Боковая поверхность составлена из образующих

основание

Виды цилиндров Круговой прямой цилиндр

Цилиндр называется прямым , если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Наклонный цилиндр

Наклонный цилиндр – цилиндр, образующие которого не перпендикулярны плоскостям его оснований.

Объём цилиндра

• Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Площадь поверхности цилиндра

S

основание

боковая поверхность

S

Свойства цилиндра

• Основания цилиндра равны, так как параллельный перенос есть движение

• Основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях, так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость. 

• Образующие цилиндра параллельны и равны, так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным прямым на одно и тоже расстояние.

Сечения цилиндра

Секущая плоскость проходит вдоль оси цилиндра

Такое сечение называется осевым

Секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра

Сечением является круг

Секущая плоскость параллельна оси цилиндра

Сечением является прямоугольник

Секущая плоскость наклонена к плоскости основания

Сечением является эллипс

Вписанная призма

Призмой , вписанной в цилиндр, называется такая призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами – образующие цилиндра.

Описанная призма

Призмой , описанной около цилиндра, называется призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

Касательная плоскость к цилиндру

Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Эллипс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

• Эллипс - геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F₁ и F₂ , есть величин постоянная , называется эллипсом.

Окружность

  является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является

  коническим сечением

Эллипс - ортогональная проекция окружности на плоскость.

Основные элементы

• 1.Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется  большой осью   данного эллипса.

• 2.Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется  малой осью  эллипса.

• 3.Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его  центром .

a — большая полуось;

b  — малая полуось;

c  — фокальное расстояние

(полурасстояние между

фокусами);

p  — фокальный параметр;

rp  — перифокусное

расстояние (минимальное

расстояние от фокуса до

точки на эллипсе);

ra  — апофокусное

расстояние (максимальное

расстояние от фокуса до

точки на эллипсе);

Построение

Для того чтобы построить эллипс потребуются нить и

кнопки. Прикрепим концы нити к фокусам .

Карандашом натянем нить так, чтобы острие

карандаша касалось бумаги . Будем перемещать

карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась

натянутой . При этом карандаш будет вычерчивать

на бумаге эллипс.

Эллипсоид Вращения

Эллипсоид вращения

Эллипсо́ид враще́ния   — это фигура вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей.

Конус

Р

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

КОНУС - тело ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L

O

L

ß

Р

Составляющие конуса

• Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР перпендикулярную к плоскости ß этой окружности.

Через точку Р и каждую точку окружности проведём прямую .

Поверхность образованная этими прямыми , называется конической

поверхностью , а прямые –

образующими конической поверхности.

O

ß

Р

Основные элементы

Круг называется основанием конуса.

Вершина конической поверхности (точка Р) – вершиной конуса.

Отрезки образующих, заключённых между вершиной и основанием, - образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса.

Прямая ОР – осью конической поверхности.

Отрезок, заключённый между вершиной и основанием, - высотой конуса .

L

O

ß

Построение. Вращение

• Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.

Например, данный конус был получен вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета АВ.

РАЗЛИЧНЫЕ СЕЧЕНИЯ КОНУСА

ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ

Если сечение конуса проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого - диаметр основания конуса ,а боковые стороны - образующие конуса.

Р

СЕЧЕНИЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЛОСКОСТИ ОСНОВАНИЯ

• Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром , расположенным на оси конуса.

О΄

r΄

α

r

О

Радиус r΄ этого круга равен РО΄/РО • r , где r – радиус основания конуса .

Площадь поверхности конуса

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки, которая равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Р

А

В

S=πrl

14

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления S полной поверхности конуса получается формула

S= πr(l+r)

УСЕЧЁННЫЙ КОНУС

Р

Построение Усечённого конуса

• Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярно к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части.

О΄

ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ

Одна из частей представляет

собой конус, а другая называется

усечённым конусом . Основание

исходного конуса и круг,

полученный в сечении этого

конуса плоскостью, называются

основаниями усечённого конуса,

а отрезок , соединяющий их

центры, - высотой усечённого

конуса.

О

Р

• Часть конической поверхности , ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью , а отрезки образующих конической поверхности, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Все образующие равны друг другу

О΄

В

О

А

ПОЛУЧЕНИЕ УСЕЧЁННОГО КОНУСА

• Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольный трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям

С

B

D

А

Площадь Усечённого конуса

• Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т.е.

S= π(r+r΄)l ,где

r и r΄-радиусы оснований,

l - образующая усечённого конуса.

r΄

D

r

Практическое применение фигур вращения

В Природе

В Природе

В архитектуре

В архитектуре

В архитектуре

В повседневной жизни

В повседневной жизни

В повседневной жизни

В повседневной жизни

В повседневной жизни

В научной деятельности

Кроссворд

По горизонтали . 1. Фигура на плоскости, все точки которой расположены не далее данного расстояния от одной точки. 2. Прямая, при вращении которой вокруг оси образуется боковая поверхность цилиндра, конуса. 3. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 4. Угол между высотой и плоскостью основания конуса. 5. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его.

По вертикали . 1. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. 2. Плоская фигура, при вращении которой образуется усечённый конус. 3.Тело вращения, являющееся верхней частью архитектурного сооружения. 4. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара. 5. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 6. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 7. Тело вращения, об устойчивости движения которого написана известная работа великой русской женщины – математика.

К

Р

У

Г

К

О

У

Т

Н

П

Ш

А

У

Я

А

Ю

Б

З

Р

Щ

О

С

Л

А

С

Р

Л

П

А

Ф

Д

Е

Е

Н

И

Л

Р

Д

Ц

И

А

А

И

Й

М

П

Я

О

Р

Е

Т

Т

О

Р

А

вот так

мы создавали

наш проект…

Над проектом работали

• Скибин Максим
• Ермакова Анна
• Альшанова Кристина
• Ковтун Олеся
• Сенная Наталья
• Каширина Регина
• Бабаченко Виктория
• Витязева Елизавета

Руководитель:

Похно Людмила Михайловна

Заключение

В завершении нашего проекта хотим сказать, что нам удалось добиться поставленных целей:

• Мы научились определять и строить фигуры вращения, видеть их в окружающих предметах
• Решать задачи
• Ознакомились с областями применения фигур вращения
• Поняли важность и значения фигур вращения в практической жизни

Источники информации

• Геометрия 10-11 класс (Смирнова, Смирнов)
• http://wikipedia.org
• http://www.terver.ru/cilindrsvojstva.php
• http://knowledge.allbest.ru
• http://yandex.ru/images/
• http://igspl.na.by/eso/tv/articles/?19
• http://www.myshared.ru/slide/277443/
• http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4
• http://propro.ru/graphbook/graphbook/book/001/038/01
• htmfile:///C:/Users/Win/Deskt
• http://propro.ru/graphbook/graphbook/book/001/038/01.htmfile:///C:/Users/Win/Deskt