Презентация "Задачи великих математиков"

Задачи великих математиков

МБОУ «СОШ № 4», г. Исилькуль

Разработала: учитель математики Федина Любовь Ивановна

Задача 1 – задача Аль-Хорезми

• Разложить число 10 на 2 слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.

Решение

• Пусть х – один из слагаемых числа 10. Следовательно, второе слагаемое будет равно (10-х). Тогда x²+(10-х)²=58, откуда x 1 =7, x 2 =3. Следовательно, слагаемые, о которых идет речь в задаче Аль-Хорезми, равны 7 и 3. Ответ: 10=3+7

Задача 2. Задача Исаака Ньютона.

• Два почтальона A и B, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. A проезжает за 3 часа 7 миль, а B - за 3 часа 8 миль, при этом B отправляется в путь часом позже A. Найти, сколько миль проедет B до встречи с A?

Решение

7:3= 7/3 (миль/ч) скорость А. 8: 3= (8 )/3(миль/ч) скорость А. Так как А выйдет раньше на 1 час, то он пройдет 7/3 миль. Следовательно А и В вместе останется пройти 59 - 7/3 = 56 2/3 (мили). А так как, А и В идут навстречу друг другу, то скорость сближения равна 7/3 + 8/3= 15/3 = 5 (миль/ч). 56 2/3 :5= 11 1/3 (ч) время встречи. Тогда В проедет до встречи 11 1/3 ∙ 8/3 = 30 2/9 ( мили) Ответ: 30 2/9 миль проедет B до встречи с A

Задача 3- задача Л.Ф.Магницкого

Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько было у учителя учеников?

Решение

• 1 сп. Обозначая количество учеников в классе при помощи отрезка, и моделируя связи и отношения между данными, получим схему (рис. 1).

рис. 1.

Из схемы легко найти решение

1) (100- I ): 11 =9 (уч.) - самая малая ¼ часть

2) 9-4 = 36 (уч.)

Ответ: 36 учеников было в классе.

Решение- алгебраический путь

2 сп. Возьмем за неизвестное число – х – самую малую ¼ часть и составим и решим следующее уравнение:

4х + 4х + 2х +1х + 1 = 100

11х = 100 – 1

х = 99 : 11

х = 9

9 учеников - самая малая ¼ часть, значит,

9 * 4 = 36 учеников в классе.

Ответ: 36 учеников в классе

Задача 4. – задача Л.Н.Толстого .

• Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

А рифметический способ решения

• Изобразим оба луга в виде двух прямоугольников, один из которых в два раза больше другого. Больший прямоугольник изображает большой луг, а меньший — малый луг. Чтобы скосить большой луг, вся артель работала первую половину дня, а вторую половину дня работала половина артели. Иначе говоря, половине артели нужно было бы работать трижды по Ѕ дня, чтобы скосить больший луг (все косцы считаются одинаково сильными). Таким образом, половина артели в половину дня скосила 1/3 большого луга.
• Так как меньший луг, представляющий половину большего, составляет 1/3+1/6 большего луга (принимая больший луг за 1=1/3+1/3+1/3, имеем для величины меньшего луга 1/2=1/3+1/6) и во вторую половину дня половина артели на нем скосила одну треть большего луга, то остался нескошенным в конце дня участок, равный одной шестой части большего луга. По условию задачи этот остаток может скосить один косец за день.
• Вся артель за день скосила весь большой луг и часть меньшего, равную 1/3 или 2/6 частям большого луга; следовательно, артель за день скосила всего 1+2/6=6/6+2/6=8/6 частей большого луга. Так как один косец за день может скосить 1/6 часть большого луга, то для того, чтобы скосить за день 8/6 частей большого луга, артель должна состоять из 8 человек.

Алгебраические способы

• I. Пусть х - число косцов артели, у - размер участка, скашиваемого одним косцом за один день. Заметим, что у - вспомогательная переменная, которая введена для облегчения решения задачи (от нее потом освобождаются).

• Выразим через х и у площади большого и малого луга. Площадь большого луга равна (xy)/2 + (xy)/4 = (3xy)/4, площадь малого луга (xy)/4 +y = (xy+4y)/4. Больший луг по условию в два раза больше малого поэтому (3xy)/4 : (xy+4y)/4=2 или (3xy) / (xy+4y)=2, сократив на y, получим 3х/(х+4)=2, (3х-2х-8)/(х+4)=0, х-8=0, х=8.

• II. Пусть число косцов будет х. Оба луга были скошены при работе всей артели в течение дня и еще одного косца в течение второго дня. Чтобы скосить оба луга потребовалось одному косцу (х+1) день. Чтобы скосить малый луг, составляющий 1/3 обоих лугов, требуется (х+1)/3 рабочих дней. С другой стороны, для того, чтобы скосить малый луг, половина артели работала половину дня (т.е. х/2 косцов, 1/2 дня) иными словами, требовалась работа за х/4 рабочих дня и одного косца за целый день, так что всего косьба малого луга потребовала (х/4 + 1) рабочих дней. Значит, (х+1)/3 = х/4 + 1, х+4=12, х=8.

• III . Установив, что косьба обоих лугов потребовала (х+1) рабочих дней, мы можем найти два выражения для числа дней работы на большем лугу и, приравняв эти выражения, получить уравнение для определения х.

• Так как большой луг составляет 2/3 обоих лугов, то его можно было скосить в 2(х+1)/3 дней. Косила же его вся артель 1/2 дня, что дает х/2 рабочих дней; и половина артели 1/2 дня, что дает еще х/4 рабочих дней; всего для того, чтобы скосить большой луг, потребовалось (х/2 + х/4) рабочих дней. Имеем уравнение: 2/3*(х + I) = х/2 + х/4, 2/3*х+2/3=3х/4, 3х/4-2/3*х=2/3, х/12=2/3, х=8

• І V . Пусть, V - скорость всей бригады, v - скор. одного косаря t - полдня, T - целый день (T = 2*t) , S1 - площадь малого участка, S2 - большого (S2 = 2*S1) . Тогда, V*t + (V/2)*t = S2 , ("большой луг докосили к вечеру") , отсюда S1 = (3/8)*V*T (1) Известно, что S1 = (V/2)*t + v*T, (полбригады косило полдня + один человек целый день)

S1 = v*T + (V*T)/4 (2) Из (1) и (2), (3/8)*V*T = (V*T)/4 + v*T 3*V = 2*V + 8*v V = 8*v

Производительность всей бригады равна производительности восьми косарей.

Ответ: 8 косцов.

Задача 5 . Задача Герона Александрийского (I в. н. э.),

Бассейн емкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из которых одна дает в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час — четыре кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?

Решение

Так объем бассейна равен 12 кубических единиц, то 12:1=12(ч) время наполнения бассейна первой трубой.

12:4= 3 (ч) время наполнения бассейна второй трубой. Тогда,

Объем работы, т.е. наполнение бассейна примем за 1. Следовательно,

1: 12=1/12 ( часть бассейна за 1 час) наполнит первая труба.

1: 3=1/3 ( часть бассейна за 1 час) наполнит вторая труба.

1/12 + 1/3 = 5/12 ( часть бассейна за 1 час) наполнят обе трубы.

1: 5/12 = 12/5 =2,4 (ч) =2ч24 мин.

Ответ: за 2 часа 24 минуты наполнится весь бассейн.