Применение формулы Пика для вычисления площади фигуры

Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика

Выполнил: Тазин Дмитрий.

Руководитель: Юдина Ольга Ивановна

В истории черпаем мы мудрость,

В поэзии – остроумие,

В математике – проницательность.

Ф.Бэкон

Спиридонов.Ю.М

• «Способ плиточника» оказывается полезным и при вычислении площадей сложных фигур.

Спиридонов.Ю.М

Нанесем квадратную сетку на прозрачную бумагу и наложим ее на фигуру.

Спиридонов.Ю.М

Наш сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.

Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах и найдем его площадь. Искать ее можно по-разному.

Спиридонов.Ю.М

Спиридонов.Ю.М

Способ №1

Если дан многоугольник, то его можно разбить на такие части, которые пересекаются только по границам и площадь каждой из которых легко находится.

Например: Разбиваем многоугольник на трапецию и треугольник. Его площадь будет равна сумме площади треугольника и трапеции.

S= * 4 + * 2 * 4 = 20 + 4 =24 (см 2 )

Спиридонов.Ю.М

Представленный , многоугольник уже нельзя разбить на фигуры, как мы это делали с предыдущим многоугольником. Для этого существует другой способ вычисления площади.

Спиридонов.Ю.М

Способ №2

Вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш многоугольник до прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на квадрат и прямоугольные треугольники, и ее площадь вычисляется без усилий.

S= 6 2 – 2 * – 2 2 = 36 – 8 – 4 =24 (см 2 )

Спиридонов.Ю.М

Способ №3

Присоединяем получившийся прямоугольный треугольник к трапеции так, чтобы получился прямоугольник. Вычисляем площадь получившегося прямоугольника:

S= 4*6 = 24 (см 2 ).

Спиридонов.Ю.М

Площади многоугольников, можно вычислять по формуле: связывающей их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика. Открыл ее немецкий математика Георгии Александр Пик.

S=B + Г/2 – 1

Спиридонов.Ю.М

Для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S= B + Г/2 – 1 .

Спиридонов.Ю.М

Найдем площадь данной фигуры по формуле Пика.

S;

внутри четырехугольника 17 узлов сетки, на границе – 16 узлов.

Спиридонов.Ю.М

Спиридонов.Ю.М

ШАГ 1

П м = П м1 + П м2

Пусть многоугольник М разрезан на многоугольники М 1 и М 2 с вершинами в узлах отрезком АВ.

Если узел лежит между А и В (например, С) , то вклады такого узла в П м и П м1 + П м2 равны!

Для узлов А и В: П м = B м + – 1;

П м1 +П м2 = (B м1 + – 1) + (B м2 + – 1) .

Спиридонов.Ю.М

ШАГ № 2

Если формула верна для каких-то двух из многоугольников М,М 1 ,М 2 , то она верна и для третьего многоугольника.

Пусть S м1 = П м1 , S м2 = П м2 , тогда

S м = S м1 +S м2 = П м1 + П м2

S м =П м - это и есть формула Пика

Спиридонов.Ю.М

ШАГ № 3

Докажем формулу Пика для прямоугольного треугольника.

S ABCD = П АBCD

Согласно первому шагу П ABCD =П ABC + П ACD , П ABC =П ACD , так что П ABCD =2П ABC . Но S ABCD =2S ABC . Поэтому S ABC= П ABC .

Спиридонов.Ю.М

ШАГ № 4

Формула Пика верна для произвольного треугольника с вершинами в узлах сетки. так как формула Пика верна для прямоугольников и прямоугольных треугольников, то (вспомним шаг 2) она верна и для исходного треугольника.

Спиридонов.Ю.М

Задание B6

Спиридонов.Ю.М

Выводы

• Я рассмотрел различные подходы к решению задачи по нахождению площади произвольного многоугольника с вершинами в узлах сетки.
• Доказал формулу Пика, по которой можно найти площадь такого многоугольника через количество узлов на границе и внутри его.

Спиридонов.Ю.М