Принцип Дирихле

Раздел

Количественные рассуждения

ФИО педагога

Мусина Ю.Н.

Дата

Класс 

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Принцип Дирихле

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

8.3.2.4.применять принцип Дирихле при решении задач

Цель урока

• Научиться применять принцип Дирихле при решении задач

Критерии успеха

1. Знает принцип Дирихле;

2. Применяет принцип Дирихле при решении задач;

Ход урока

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Оценивание

Организационный этап

Прием : пожелание

Мы сегодня проводим итоговый урок по теме «Принцип Дирихле» и хочу чтобы вы показали насколько была усвоена данная тема.

Высказывают пожелания соседу

Активизация опорных знаний

2. Математическая разминка.

Повторим, в чем сущность принципа Дирихле.

Работа в парах: Рассказать соседу, как вы понимаете смысл принципа Дирихле

Привести примеры использования

Критерии :

1 понимает суть принципа

2 может привести пример «кроликов» и «клеток»

1. Приводит пример своей задачи

Высказывают предположения:

- повторение

ФО: взаимное оценивание по критериям,

Основная часть урока

Решение задач в группах (Карусель)

1 группа:

Задача 2. Доказать, что среди шести целых чисел найдутся два числа, разность которых делится на 5.

Решение. Рассмотрим 5 коробок, пронумерованных 0,1,2,3,4, - цифрами, представляющими собой остатки от деления на 5. Распределим в эти коробки шесть произвольных целых чисел в соответствии с остатком от деления на 5, то есть, в одну и ту же коробку помещаем числа, имеющие одинаковый остаток от деления на 5. Поскольку чисел ("предметов") больше, чем коробок, согласно принципу Дирихле, существует одна коробка, содержащая более одного предмета. То есть, существуют (по крайней мере) два числа, помещенные в одну и ту же коробку. Следовательно, существуют два числа с одинаковым остатком от деления на 5. Тогда, разность этих чисел делится на 5.

2 группа:

Задача 3. Доказать, что для любого натурального числа n ≥ 1, существует натуральное число, состоящее из цифр 0 и 5, делящееся на n.

Решение. Рассмотрим натуральные числа

и распределим эти "предметы" в "коробки" пронумерованные 0,1,...,n-1 (цифрами, представляющими собой остатки от деления на n). В коробку s помещаем число a_k, которое имеет остаток от деления на n, равный s.

Если в коробке с номером 0 находится один "предмет" (то есть, одно число), тогда задача решена. В противном случае n "предметов" находятся в n-1 "коробках". Согласно приципу Дирихле, существуют два "предмета" (числа), находящиеся в одной и той же коробке. То есть, существуют два числа, имеющие одинаковый остаток от деления на n. Их разность будет делится на n, и как легко заметить, разность чисел, состоящих из цифр 0 и 5, также будет числом, состоящим из 0 и 5.

3 группа (ур А)

Задача 5. В доме живут 40 учеников. Существует ли такой месяц в году, когда хотя бы 4 ученика празднуют свой день рождения.

Решение. Пусть "коробками" будут месяцы, а "предметами" - ученики. Распределяем, "предметы" по "коробкам" в зависимости от месяца рождения. Так как число месяцев, то есть, коробок, равно 12, а число учеников, то есть, предметов 40 = 12·3+4, согласно принципу Дирихле существует коробка (месяц) с по крайней мере 3+1=4 предметами (учениками).

4 группа (ур.А)

Задача 9. В 500 коробках лежат яблоки. Известно, что в каждой коробке находятся не более 240 яблок. Доказать, что существуют хотя бы 3 коробки, которые содержат одинаковое количество яблок.

Решение. Пусть в первых 240 коробках находится различное количество яблок (1,2,...,240) , в следующих 240 коробках - аналогично (то есть, анализируется экстремальный случай; более подробно об этом методе рассказывается в теме "принцип крайнего"). Таким образом, остались 500 - 2·240 = 20 коробок, в которые необходимо поместить яблоки от 1 до 240.

5 группа

Задача 10. В коробке лежат 10 красных карандашей, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых. Наугад (произвольно) из коробки вынимают n карандашей. Определить наименьшее число карандашей, которые необходимо вынуть, чтобы среди них было:

a)

не менее 4 карандашей одного цвета;

b)

по одному карандашу каждого цвета;

c)

хотя бы 6 карандашей синего цвета.

Решение. a) Пусть вынули 13 карандашей. Так как у нас всего 4 цвета, согласно принципу Дирихле (карандаши будут "предметами", а цвета - "коробками"), по крайней мере 4 карандаша будут одинакового цвета.

Докажем, что n = 13 является наименьшим числом. С этой целью покажем ситуацию, при которой условия задачи не выполняются. Например, когда вынуто по 3 карандаша каждого цвета (12 карандашей). Отметим, что эта ситуация возможна, так как в коробке находится не менее 3 карандашей каждого цвета.

Случаи b) и с) решаются аналогично.

Дескриптор

1 понято условие, выбран способ решения

2 определены «кролики» и «клетки»

3 верно проведены рассуждения, утверждение полностью обосновано

4 аккуратно оформлено решение

5 представитель смог ответить на вопросы слушателей

Учащие в группах решают задачи, затем представители групп представляют свое решение всем группам по очереди, получая при этом комментарии и оценку решения

Оценивают по критериям решение задачи, высказывают пожелания

Итог урока

Мне понравилось…

Мне было сложно…

Я хочу научиться…