Признаки делимости некоторых чисел

Признаки делимости некоторых чисел.

Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3. Число делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3.

Например, число 159 делится на 3, поскольку сумма его цифр 1 + 5 + 9 = 15 делится на 3.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, когда две последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4.

Например, 14676 — последние цифры 76, и число 76 делится на 4: 76:4=19. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенная цифра в разряде десятков, сложенная с цифрой в разряде единиц, делится на 4.

Например, число 42 не делится на 4, так как 4×2+2=102⋅4+2=10 не делится на 4.

Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или на 5.

Признак делимости на 6. Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно чётное и сумма его цифр делится на 3).

Признак делимости на 7.

Признак 1: Число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 7.

Например, 154 делится на 7, так как 15×3+4=49 2⋅4+2=10 на 7 делится. 15⋅3+4=49. Число 1001 делится на 7, так как 100×3+1=301, 2⋅4+2=1030×3+1=91, 9×3+1=282⋅4+2=10 2⋅4+2=10делится на 7 

Признак 2: Число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «−» делится на 7.

Например, 138 689 257 делится на 7, так как |138−689+257|=294.ןן делится на 7, так как 29×3+4=91, 9×3+1=28 делится на 7

Признак 3: Число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность между числом, состоящим из трёх последних цифр данного числа, и числом, образованным из оставшихся цифр данного числа (то есть без последних трёх цифр), делится на 7, то данное число делится на 7.

Например, число 1730736 делится на 7, так как 1730 − 736 = 994, 994 / 7 = 142.

Признак 4: Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Например, 623 делится на 7, так как на 7 делится 62-2×3=5662−2×3=56. 1001 делится на 7, так как на 7 делится 100-2×1=98 100−2×1=98.^[3]

Признак делимости на 8. Число делится на 8, когда три последние цифры составляют число, делящееся на 8.

Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда цифра в разряде единиц, сложенная с удвоенной цифрой в разряде десятков и учетверённой цифрой в разряде сотен, делится на 8.

Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится 9⋅4+5⋅2+2=48.9×4+5×2+2=48делится на 8.

Признак делимости на 9. Число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9.

Например, сумма цифр числа 12345678 делится на 9, следовательно и само число делится на 9. 

Признак делимости на 10. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признаки делимости на 11.

Признак 1: Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр, занимающих нечётные позиции, равна сумме цифр, занимающих чётные места, или отличается от нее на число, кратное 11.

Например, 28 017 делится на 11, так как (2+0+7)=(8+1)2+0+7=8+1.

Признак 2: Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся 10+37+85=132 и 01+32=33 делится на 11.

Признак делимости на 13.

Признак 1: Число делится на 13, когда сумма числа десятков с учетверённой цифрой в разряде единиц делится на 13.

Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся 84+5×4=104 и 10+4×4=26 делится на 13.

Признак 2: Число делится на 13, когда разность числа десятков с девятикратным числом, стоящим в разряде единиц, делится на 13.

Например 845 делится на 13, так как 84-9×5=39 делятся на 13. 

Признак 3: Число делится на 13, если разность между числом, состоящим из трёх последних цифр данного числа, и числом, образованным из оставшихся цифр данного числа (то есть без последних трёх цифр), делится на 13.

Например 192218 делится на 13, так как 218-192=26, а 26 делится на 13.

Признак 4: Число делится на 13 тогда, когда утроенное число десятков без цифры в разряде единиц, делится на 13.

Например, 624624  делится на 1313, так как 62⋅3−4=186−4=18262×3 – 4=182  и 18⋅3−2=54−2=52 18×3 – 2=52, а также 5⋅3−2=15−2=135×3-2=13, а 1313 делится на 1313.

Признак делимости на 17. Число делится на 17 в следующих случаях:

— когда модуль разности числа десятков и умноженной на 5 цифрой в разряде единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как  делится на 17.

— когда модуль суммы числа десятков и умноженной на 12 цифрой в разряде единиц делится на 17.

Например, 221 делится на 17, так как  |22+12⋅1|=34  делится на 17.

Признак делимости на 19. Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенной цифрой в разряде единиц, делится на 19. Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся 64+2×6=76 и 7+2×6=19. Признак делимости на 20. Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Признаки делимости на 23.

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся 288+3×42=414 и 4+3×14=46.

Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с умноженной на 7 цифрой в разряде единиц, делится на 23.

Например, 391 делится на 23, так как 39+7×1=46 делится на 23.

Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25. Другими словами, на 25 делятся числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75. Признак делимости на 27. Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц). Признак делимости на 29. Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенной цифрой в разряде единиц, делится на 29. Например, 261 делится на 29, так как 26+3×1=29 делится на 29 Признак делимости на 30. Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3. Например: 510 делится на 30, а 678 — нет. Признак делимости на 31. Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенной цифры в разряде единиц делится на 31. Например, 217 делится на 31, так как делится на 31. Признак делимости на 37

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Признак 2:  число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённой цифрой в разряде десятков, за вычетом цифры в разряде единиц, умноженной на семь.

Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Признак 3:  Число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с цифрой в разряде единиц, умноженной на десять, за вычетом цифры в разряде десятков, умноженной на 11. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится . Признак делимости на 41

Признак 1: Число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратной цифры в разряде единиц делится на 41. Например, 369 делится на 41, так как делится на 41.

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 50. Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50. Признак делимости на 59. Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, умноженной на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76+6×7=118 и 11+6×8=59. Признак делимости на 79. Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, умноженной на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71+8×1=79. Признак делимости на 99. Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1+25+73=99. Признак делимости на 101. Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится Признак делимости на 1091. Число делится на 1091 тогда и только тогда, когда разность числа десятков и умноженной на 109 цифры в разряде единиц делится на 1091. Например, 18547 делится на 1091, так как 1854 - 7 × 109 = 1091 делится на 1091.