Признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников

Учитель математики:

Тотикова Елена сосланбековна

Формулировка (1-ый признак):

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны

Доказательство:

C

C1

ДАНО: ▲ABC и ▲A1B1C1,

∠ CAB= ∠C1A1B1, AC=A1C1,

AB=A1B1

ДОКАЗАТЬ: ▲ABC=▲A1B1C1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

• т.к. ∠BAC=∠B1A1C1, ▲ABC можно наложиить

на ▲A1B1C1, так что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1

2. Поскольку AB=A1B1, то сторона AB совместится со стороной A1B1 в частности, совместятся точки B и B1.

3. Поскольку AC=A1C1, то сторона AC совместится со стороной A1C1, в частности, совместятся точки C и C1. Следовательно, совместятся стороны BC и B1C1

ЧТД

A

B

A1

B1

Формулировка (2-ой признак):

Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

C1

C

Дано: ▲ABC, ▲A1B1C1, AC=A1C1, ∠A= ∠A1, ∠C= ∠C1

Доказать: ▲ABC= ▲A1B1C1

Доказательство:

Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1, так что вершина А совместится с вершиной А1, сторона AC с равной ей стороной A1C1, а вершина B и B1 оказались по одну сторону от прямой A1C1.

Так как ∠A= ∠A1, то луч AB совместится с лучом A1B1

Так как ∠С= ∠С1, то луч CB совместится с лучом C1B1

Точка B, общая для лучей AB и CB, окажется лежащей как на луче A1B1, так и на луче C1B1, следовательно совместится с точной B1

Треугольники совместились, значит они равны

ЧТД

A1

B

A

B1

Формулировка (3-ий признак):

Если три стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Доказательство:

Дано:  ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , BC=B 1 C 1 , AC=A 1 C 1

Доказать:  ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1.

Доказательство:

Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А1, точка В с точкой В1, а точки С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1

Существует три случая при наложении треугольников, мы рассмотрим только один: Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.

Рассмотрим треугольники В1С1С и АС1С.

По условию стороны АС=А1С1, ВС=В1С1, следовательно, треугольники В1С1С и А1С1С – равнобедренные.

Вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны (свойство равнобедренного треугольника), получаем: ∠АСС1 = ∠А1С1С, ∠ВСС1 = ∠В1С1С.

Поскольку ∠ACB = ∠ACC1 + ∠BCC1, ∠AC1B = ∠AC1C + ∠BC1C, то и углы AСB и AС1B равны

Так как ВС = В1С1, АС = А1С1 и ∠AСB = ∠AС1B, можно утверждать, что треугольники АВС и А1В1С1 равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

ЧТД