Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений.

Рассуждения называются доказательством теоремы.

теорема

условие заключение

(что дано) (что доказать)

I признак равенства треугольников

(по двум сторонам и углу между ними) (СУС)

В

Дано:

АВ = А₁В₁

А С АС = А₁С₁

∠А = ∠А₁

В₁ Доказать:

∆ АВС = ∆А₁В₁С₁

А₁ С₁

Док-во:

1) ∠А = ∠А₁ ⟹ ∆ АВС наложить на ∆А₁В₁С₁, что:

А → А₁, АВ → луч А₁В₁, АС → луч А₁С₁

2) АВ = А₁В₁ ⟹ АВ совместится с А₁В₁ ⟹ В совмест. с В₁

3) АС = А₁С₁ ⟹ АС совместится с А₁С₁ ⟹ С совмест. с С₁ ⟹

ВС совмест. с В₁С₁ ⟹ ∆ АВС совмест. с ∆ А₁В₁С₁ ⟹ ∆ АВС = ∆А₁В₁С₁

Пример.

К Е Дано:

С СЕ = СМ

СК = СР

М Р Доказать: ∆ СКЕ = ∆ СРМ

Док-во:

1. СЕ = СМ (по условию)

2. СК = СР (по условию) ⟹ ∆ СКЕ = ∆ СРМ ( по I пр.)

3. ∠ КСЕ = ∠РСМ ( как верт.)

Второй признак равенства треугольников

II признак равенства треугольников

(по стороне и двум прилежащим углам) (УСУ):

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В

Дано:

АВ = А₁В₁

А С ∠А = ∠А₁

В₁ ∠ В = ∠В₁

Доказать:

∆ АВС = ∆А₁В₁С₁

А₁ С₁

Док-во:

1. Наложить ∆ АВС на ∆А₁В₁С₁ , чтобы:

А совмест. с А₁, АВ совмест. с А₁В₁, С и С₁ – по одну сторону от АВ.

1. ∠А = ∠А₁

∠ В = ∠В₁ ⟹ АС → луч А₁С₁, ВС → луч В₁С₁

1. Верш. С (общая для АС и ВС) → верш. С₁(общую для А₁С₁ и В₁С₁)⟹

АС совмест. с А₁С₁, ВС совмест. с В₁С₁ ⟹ ∆ АВС совмест. с ∆ А₁В₁С₁ ⟹ ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁.

Задача. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е, которая является серединой отрезка АВ, а ∠ EAD и ∠ EBC равны. Чему равна длина отрезка AD, если отрезок СВ равен 7 см?

Дано:

АВСD = Е

АЕ = ЕВ

∠ EAD = ∠ EBC

СВ = 7 см

Найти : АD

Решение:

1. АЕ = ЕВ (по услов.)

∠ EAD = ∠ EBC (по услов.) ⟹ ∆ DEA = ∆ СEB (по 2 пр.)

∠ DEA = ∠ СEB (верт.)

1. ∆ DEA = ∆ СEB ⟹ АD = СВ = 7 см

Ответ: АD = 7 см

ОК-12 Третий признак равенства треугольников

Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

С С₁ Дано:

АВ = А₁В₁

АС = А₁С₁

ВС = В₁С₁

Доказать:

А В А₁ В₁ ∆ АВС = ∆А₁В₁С₁

Док-во:

С 1) совместить ∆ АВС и ∆А₁В₁С₁ , чтобы:

А совм. с А₁, В совм. с В₁, С и С₁ по

разные стороны от АВ.

А(А₁) В(В₁) 2) проведем СС₁.

3) ∆ АСС₁ – равнобедр. (т.к. АС = А₁С₁) ⟹

∠1 = ∠2;

С₁ ∆ ВСС₁ – равнобедр. (т.к. ВС = В₁С₁) ⟹

∠3 = ∠4.

4) ∠С = ∠1 + ∠3

∠С₁ = ∠2 + ∠4 ⟹ ∠С = ∠С₁

5) АС = А₁С₁ (по условию)

ВС = В₁С₁ (по условию) ⟹ ∆ АВС = ∆А₁В₁С₁ (по 1 признаку)

∠С = ∠С₁

Треугольник – жёсткая фигура.