Проект " Число пи"

Оглавление:

Введение……………………………………………………………………….3

Основная часть:

Магия числа π.............................................................4

История появления числа π.........................................4

Приближение числа π...................................................7

Практическое вычисление числа π

4.1.Простейшее измерение.........................................11

4.2. Измерение с помощью взвешивания..................11

Дополнительные факты о числе π…………………..12

Вывод…………………………………………………13

Заключение....................................................................13

Список литературы........................................................13

Приложение …………………………………………..14

Цель работы:

Исследование числа пи и выявление его роли в окружающей среде.

Задачи работы:

1. Познакомиться подробнее с числом π.

2. Провести практическую работу нахождения числа π.

3. Найти занимательные факты и правила для запоминания числа π.

Гипотеза:

Загадка числа пи состоит в том, что оно имеет большое значение для различных наук.

Введение:

«Число пи лезет в дверь, в окно и через крышу»

Английский математик Морган.

В различных науках при решении задач используются так называемые константы (от греческого «constаnt» - постоянный), т.е. постоянные величины, выраженные числовым значением. При изучении темы «Окружность» я узнал об одной такой постоянной, которая называется число пи. Мне стало интересно узнать об этом замечательном числе пи подробнее. Для начал я хотел узнать об истории возникновения понятия самого числа пи. Затем познакомившись с историей числа пи мне стало интересно, какими способами можно вычислить значение числа пи. Ведь это число часто используется при решении многих задач связанных с окружностью. И я узнал, что существует много способов вычисления числа пи.

Число π является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает у меня интерес к его изучению. Мне стало интересно, почему же так много людей, занималось способами вычисления этого замечательного числа? С чего же всё началось ?

Интересно, что эта обыкновенная, буква из школьного курса математики намного интереснее при ближайшем рассмотрении и изучении, имеет свою историю, очень много значит для математиков — они без неё просто никуда, и даже имеет свой праздник? - 14 марта объявлено Всемирным днем числа пи.

Основное содержание:

Магия числа:

Проблеме π - 4000 лет. Многие учёные интересовались одним из чудес Света- Египетскими пирамидами . И исследователи древних пирамид установили, что частное, полученное от деления суммы двух сторон основания на высоту пирамиды, выражается числом 3,1416.

Древних математиков привлекала и завораживала замкнутая линия каждая точка которой равноудалена от одной точки (центра). Люди приписывали окружности какие-то магические силы. И поэтому учёные стали изучать свойства окружности. Я думаю, что при изучении «окружности» возникло удивительное число пи. В некоторых книгах это число называют «божьим числом».

В знаменитом папирусе древнеегипетского жреца Ахмеса (около 1700 г. до н. э.) приводится такое указание для построение квадрата, равного по площади кругу: «Отбрось от диаметра его девятую часть и построй квадрат со стороной, равной остальной части, будет он эквивалентен кругу». Из этого следует, что у Ахмеса π = 3,1605. Так началась письменная история «пи».

Наиболее древняя формулировка нахождения приблизительного значения отношения длины окружности к диаметру содержится в стихах индийского математика и астронома Ариабхатты (родился в 476г. н. э. V-VIв):

Прибавь четыре к сотне и умножь на восемь,

Потом ещё шестьдесят две тысячи прибавь.

Когда поделишь результат на двадцать тысяч,

Тогда откроется тебе значение

Длины окружности к двум радиусам отношенья, т. е.

длина окружности 62832

--------------------------- = ------------- = 3,1416

Диаметр 20000

То же значение в виде дроби 3927 / 1250 находим у Бхаскара (родился в 1114 г. н. э).

История появления числа пи:

История числа пи шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого пи изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.

История числа пи, выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-)2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число пи считали равным дроби ()2, или , т.е. p = 3,160...

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число пи в то время принимали равным , что даёт дробь 3,162...

Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.

Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:

Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;

Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;

Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 и больше 3 .

Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных, описанного и

вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторонами. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3 и 3 и а это означает, что пи = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...

В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927...

Впервой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил пи с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.

Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число пи только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что пи можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить пи с какой угодно точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом пи английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр. Введённое У.Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.

В конце XVIII в. А.М.Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число пи иррационально. Затем немецкий математик Ф.Линдеман, опираясь на исследования Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине окружности, невозможно, а следовательно, не существует решения задачи о квадратуре круга.

Поиски точного выражения пи продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610) (некоторые историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа пи с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.

К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа пи.Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число пи. Некоторые из этих формул позволяют вычислить пи приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу пи можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. ряд

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =пи/4,

который дал возможность вычислить пи более коротким путём, нежели Архимед.

Ещё более удобную формулу для вычисления пи получил Дж.Мачин. Пользуясь этой формулой, он вычислил пи (в 1706 г.) с точностью до 100 верных знаков. Хорошее приближение для пи даёт выражение

пи =

Однако следует помнить, что это равенство надо рассматривать как приближённое, т.к. правая часть его - число алгебраическое, а левая - трансцендентное, следовательно, эти числа равными быть не могут.

В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число пи вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём эти вычисления продолжались только несколько часов.

Приближения числа пи

Напомним: число («пи») определяется как отношение длины окружности C к ее диаметру d = 2r. Это кратко выражается формулой для вычисления длины окружности C = πd, или C = 2πr.

Другая известная формула, в которой встречается π, – формула площади круга S = πr2, или S = . В принципе π можно было бы определить как отношение площади круга к квадрату радиуса. За этими формулами скрываются три математических факта:

1) длина окружности пропорциональна ее диаметру;

2) площадь круга пропорциональная квадрату радиуса;

3) коэффициенты пропорциональности в двух последних случаях совпадают.

Десятичная дробь, выражающая число π, бесконечна, хотя можно вычислить различные конечные дроби – десятичные приближения для π. Наиболее популярное приближение – с точностью до сотых: π ≈ 3,14.

Самое простое приближение для π полагает его равным 3 (несмотря на грубость этого приближения, его ошибка менее 5 %). Такое приближение использовалось, например, в Древнем Вавилоне в III–II вв. до н. э. Длину окружности находили по правилу, которое в современных обозначениях можно записать C = 3d, площадь круга находили по правилу S = . Значение π = 3 используется и древними иудеями: библейский автор упоминает, что при строительстве храма при царе Соломоне мастер Хирам из Тира в числе других храмовых украшений «сделал литое из меди море, – от края его до края его десять локтей, – совсем круглое,... и шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом» (3 Цар 7, 23). Позже для более точных вычислений использовалось геометрическое приближение: от площади квадрата, описанного вокруг круга, отнимались площади треугольников с длиной стороны, равной трети стороны квадрата, получалось довольно точное значение π = 3 + = 3,11.

В Древнем Египте для вычисления площади круга использовалось правило S =( )2, что соответствует значению π = 4 ∙ ()2 ≈ 3,1605. Ошибка при этом составляет менее

1 %. Как получали это правило, неизвестно.

У древнегреческих математиков с их интересом к геометрическим построениям и доказательствам, а не к вычислениям, вопрос о численном значении π был не столь важным, нежели проблема квадратуры круга, т. е. построения квадрата, равновеликого данному кругу, если удастся, то с помощью циркуля и линейки, а в противном случае – с помощью каких-то других инструментов. Задача о квадратуре круга имела широкую известность не только среди математиков: например, о ней говорится в комедии Аристофана «Птицы».

Изучая задачу о квадратуре круга, Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) нашел некоторые случаи тогда с помощью циркуля и линейки можно найти квадратуру определенных частей круга, ограниченных кривыми линиями (а именно, двумя окружностями). Такие части называются луночками. Самый простой случай – это луночка между окружностью, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника, и другой окружностью, диаметром которой служит катет этого треугольника.

Нетрудно видеть, что, по теореме Пифагора, AB2 = 2BC2, а потому площадь круга, построенного на AB, равна двум площадям круга, построенного на BC, а значит, площадь полукруга, построенного на BC, равна площади четверти круга, построенного на AB. Поэтому, вырезав из этих фигур их общую часть – сегмент BC – получим равновеликие фигуры: таким образом, площадь луночки равна площади прямоугольного треугольника BOC.

Древнейшие известные попытки собственно квадратуры круга принадлежат Антифонту и Бризону (V в. до н. э.). Антифонт последовательно вписывал в круг правильные многоугольники, каждый раз удваивая количество сторон, и полагал, что в конце концов многоугольник совпадет с окружностью. Бризон строил два квадрата – вписанный в окружность и описанный вокруг нее – и считал, что площадь квадрата, лежащего между ними, равна площади круга. Разумеется, в буквальном понимании и Антифонт, и Бризон заблуждались. Однако их идеи оказались весьма плодотворными: действительно, вписывая в окружность правильные многоугольники со все большим числом сторон, можно сколь угодно близко подойти к площади круга и длине окружности; смысл есть и в том, чтобы рассматривать не только вписанные, но и описанные многоугольники: при этом площадь круга будет лежать между площадями вписанных и описанных многоугольников, а длина окружности – между периметрами тех и других.

В дальнейшем именно вписанные и описанные правильные многоугольники стали активно применяться как для теоретических исследований, так и для конкретного вычисления числа π. Именно с помощью таких многоугольников было сформулировано строгое доказательство того, что площади кругов относятся как квадраты их диаметров, найденное, по-видимому, Евдоксом и приведенное в «Началах» Евклида. Архимед доказал, что площадь круга равна половине произведения длины окружности на ее радиус.

Таким образом, он не только нашел приближенные значения π, но и оценил точность этих приближений. Уже найденная Архимедом верхняя оценка, равная 22/7, дает приближение π с точностью 0,04 %. Эту дробь часто называют «архимедовым числом». Клавдий Птолемей, использовав правильный 720-угольник, нашел, что π ≈ 377/120, что составляет приблизительно 3,14167 (ошибка меньше 0,003 %).

Значение по-видимому, впервые появилось у китайского астронома и философа Чжан Хена (нач. II в. н. э.); вероятно, из Китая оно перешло к индийцам (Брахмагупта, VII в.) и арабам (ал-Хорезми, IX в.); впрочем, метод получения этого значения нам неизвестен. Лю Хуэй (III–IV вв.) с помощью рассмотрения вписанных и описанных многоугольников (в том числе с 3072 вершинами) пришел к приближению π = 3,14159, а Цзу Чун-чжи (V в.) доказал, что 3,1415926 π

Самаркандский математик ал-Каши в «Трактате об окружности» (1424 г.) поставил себе задачу выразить окружность через диаметр с такой точностью, чтобы погрешность в длине окружности, равной 600 000 диаметров Земли, не превосходила толщины волоса. Рассмотрев правильные многоугольники вплоть до фигуры с 805 306 368 (3 ∙ 228) вершинами, ал-Каши нашел 16 верных знаков (после запятой) числа π, а именно, приближение π = 3,14159265358979325 (в реальности 17-й знак после запятой – 3 или 4, потому что 18-й – 8). Европейские математики достигли такой точности и превзошли ее лишь в конце XVI в.: в 1597 г. голландец А. ван Роомен вычислил 17-й знак, для чего применил многоугольник с 1 073 741 824 (230) вершинами.

Еще два голландца XVII в. – В. Снеллиус и Х. Гюйгенс – с помощью некоторых тонких геометрических рассуждений смогли достичь большей точности при меньшем числе сторон рассматриваемых многоугольников. Снеллиус воспроизвел результат Архимеда – три верных знака после запятой – рассматривая не более чем 6-угольники, а с помощью 96-угольника получил целых 7 верных знаков. Гюйгенс, доказав некоторые геометрические теоремы, смог вычислить 10 верных знаков с помощью 60-угольника.

Далее метод вписанных и описанных многоугольников уступил место новым методам, разработанным с помощью математического анализа – использованию бесконечных сумм, которые дают приближенные значения числа π нужной точности, если оставить в них достаточно большое, но лишь конечное число членов. В результате число верных знаков быстро возросло: вычислители подбирали формулы поудобнее и соревновались друг с другом в том, кто больше получит этих знаков.

Самым неутомимым вычислителем числа π был английский математик Уильям Шенкс (конец 19 в.). Более 20 лет жизни он посвятил вычислению 707 знаков числа π. К сожалению, он ошибся в 520 – м знаке и все последующие цифры неверны.

Музей числу пи.

В 1-ой половине XX в. эти знаки часто воспроизводили в популярной литературе, а архитекторы даже украшали ими свои сооружения

(Дом занимательной науки в Ленинграде, ныне Санкт-Петербург, 1934; Дворец открытий в Париже, 1937). В 1945 г. результаты Шенкса были проверены на компьютере, и оказалось, что из его знаков верны только первые 527. Компьютеры позволили существенно увеличить количество точных цифр в десятичном разложении π, причем, если раньше вычислители тратили на них многие годы, то теперь компьютеры справлялись с этим менее чем за день работы. Этому также способствовало применение более эффективных алгоритмов на основание новых математических формул.

С появлением ЭВМ значение числа π было вычислено с достаточно большой точностью. В 1993 г. в США, например, был получен результат с более30 млн.знаков.

Если распечатать значение числа, полученное в США, то оно займёт 30 томов по 400страниц в каждом. С использованием компьютера получены более миллиарда знаков числа π.

Вычисление такого числа знаков для π не имеет практического значения, а лишь показывает огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми. В своей книге «Что мы знаем о больших числах Филипп Дж. Девис писал: «Загадочное и чудесное π стало чем - то вроде покашливания, которым вычислительные машины прочищают горло».

Значит число π – бесконечная десятичная дробь

Что касается принципиальных математических результатов относительно π, то здесь следует упомянуть, во-первых, доказательство иррациональности этого числа, проведенное в 1766 г. И. Г. Ламбертом (некоторый пробел в доказательстве Ламберта был восполнен в 1800 г. А. М. Лежандром), а во-вторых, доказательство трансцендентности π, осуществленное в 1882 г. К. Ф. Линдеманом. Трансцендентность некоторого числа означает, что оно не может быть корнем никакого уравнения вида anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 с целыми коэффициентами a0, a1, ..., an. Из этого следует, что оно не может быть представлено в виде конечной комбинации целых чисел, арифметических действий и знака извлечения корня. Поэтому и квадратура круга не может быть решена с помощью циркуля и линейки, которые позволяют строить лишь отрезки, выражаемые через арифметические действия и квадратные корни.

4.Практическое вычисление числа пи.

4.1. Простейшее измерение

Изучая историю числа пи, я узнал, что существует несколько периодов его развития. И сделал для себя вывод, что для рассмотрения приближенных вычислений , которые проводились на основе математического анализа, у меня ещё недостаточно знаний в этой области математики. Поэтому сегодня я хотел бы рассказать о вычислениях, проводимых в древний период и в эру цифровых компьютеров.

На уроке мы узнали об экспериментах Архимеда о нахождении отношения длины окружности к её диаметру. Архимед взял несколько различных предметов с круглым дном, с помощью нити он измерил длины окружностей и диаметры, затем нашёл отношения длин окружностей к соответствующим диаметрам. Архимед заметил, что эти отношения приближённо равны дроби .

Мы тоже с ребятами провели этот эксперимент, нам стало интересно, какие отношения у нас получатся. Мы взяли четыре предмета имеющих форму цилиндра и измерили с помощью нити и линейки длину окружности и диаметр каждого предмета. И затем вычислили отношения длины окружности к её диаметру. Результаты наших вычислений оказались таковыми, все отношения были равны приближенно 3,2. Мы решили, что наши различные результаты получились за счёт погрешностей наших измерительных приборов. Тогда мы решили сделать ещё одно вычисление.

Начертили на плотном картоне окружность диаметром d =15 см, вырезали получившийся круг и обмотали вокруг него тонкую нить . Измерив длину C =46,5 см одного полного оборота нити, разделим C на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа, т.е. π = = = 3,1. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа с точностью до 0,1.

Мы, сделали вывод, что наши результаты нельзя выразить рациональным числом и все отношения больше 3 и меньше 3=3,1428…

Измерение с помощью взвешивания

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его

Зная массы квадрата mкв =10 г и вписанного в него круга mкр =7,8 г воспользуемся формулами m=pV ,V=Sh, где p и h –соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства:

mкв=p∙ Sкв ∙h=p∙4∙R2∙h

mкр=p∙ Sкр ∙h=p∙ π ∙R2∙h

Отсюда

= = , π = = =3,12

Естественно, что в данном случае приближенное значение зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа с точностью до 0,1.

Существуют ещё несколько методов вычисления значения числа π, которые я хочу изучить в будущем.

Дополнительные факты о числе пи:

десяти поправок к Конституции США, которые закрепляют основные права и свободы человека и гражданина) законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора университета Пердью, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона.

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен билль (билль- это неофициальное название первых году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки. В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число до 100-тысячного знака после запятой, однако проверить это официально не удалось.

Древние египтяне и Архимед принимали величину от 3 до 3,160, арабские математики считали число.

Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле.

Памятник числу «пи» в Волгограде расположенный у входа в музей занимательных наук.

Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи.

Неофициальный праздник «День числа пи» ежегодно отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа. Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.

Ещё одной датой, связанной с числом, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа .

Вывод:

В ходе работы мной была изучена история возникновения числа пи. Выяснила как число пи в культуре человека и в окружающем мире. Использовав, простейший метод приближенного вычисления и метод взвешивания, я выяснила и приняла число пи =3,1в заданных формулах.

Нашел способ, как легче запомнить число пи до четырёх знаков после запятой.

Первые цифры числа π можно запомнить по числу букв в каждом слове следующей фразы:

Что я знаю о круге:

π = 3, 1 4 1 5

Заключение:

Из курса школьной математики я узнал, что число Пи (греческая буква π) - это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Число пи иррационально и бесконечно. Существует масса формул, которые вычисляют эту константу, формулы эти были выведены как древними учеными, так и современными математиками.

Изучение числа π еще далеко незавершенный этап. И человечество ждёт многие научные открытия, связанные с этим числом.

Данная работа имеет практическую значимость как пособие для учителя математики , так и физики и ученика, которое позволяет всесторонне изучить число пи, а также познакомиться с его тайнами и значением в жизни человека.

Список литературы:

Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/ Е.А.Бунимович, Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова и др., «Просвещение» 2010 г.

Жуков А.В. Вездесущее число Пи.- М.:URSS,2012, 240 с.

Звонкин А. Что такое пи // Квант, 1978 №11.

Кымпан Ф. История числа пи. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, 138 с.

Райк А.Е. Очерки по истории математики в древности. - Саранск, 1987, 95 с.