Проект : " Фракталы."

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Центр образования №22 – Лицей искусств»

Индивидуальный проект на тему

“Фрактал”

Выполнил учашийся 10«А» класса

Прилепский Александр Дмитриевич

Руководитель проекта:

Белан Александр Александрович

Тула

2023-2024

Оглавление

Введение 3

1.1. История появления понятия «фрактал» 5

1.2 Классификация фракталов 7

1.2.1 Геометрические фракталы 7

1.2.2 Алгебраические фракталы 8

1.2.3 Стохастические фракталы 8

2. Применение фракталов 9

2.1 Фрактальная живопись. 9

2.2 Фракталы в медицине. 9

2.3 Фракталы в естественных науках. 9

2.4 Фракталы в природе. 9

2.5 Фракталы в экономике 9

Мастер-класс. 10

Заключение. 10

Список литературы. 11

Приложение 12

Введение

Великие открытия в науке имеют потенциал радикально изменить образ жизни людей. Например, разработанная вакцина способна спасти миллионы жизней, в то время как изобретение оружия может лишить эти жизни. Недавно человечество освоило электричество, что привело к появлению множества устройств, работающих на электроэнергии и ставших неотъемлемой частью нашей повседневной жизни. Однако существуют и такие открытия, которые часто остаются незамеченными, хотя они также оказывают значительное влияние на нашу жизнь. Одним из таких "незаметных" открытий являются фракталы.В каждом человеке присутствует врожденное стремление к познанию окружающего мира, которое проявляется через природную любознательность. Человек, анализируя происходящие процессы вокруг себя, пытается найти логику в происходящем и обнаружить закономерности. Ученые, занимающиеся этой задачей, ищут закономерности даже там, где кажется, что их быть не должно – в хаосе. Фракталы представляют собой связь между различными событиями, которую можно обнаружить даже в самом хаотичном порядке. Фракталы удивительно напоминают разнообразные объекты живой и неживой природы вокруг нас, будто они "живые". Вероятно, именно поэтому, как только человек увидит фракталы, он уже не сможет забыть этот опыт.

В своей книге "Фрактальная геометрия природы" американский математик Бенуа Мандельброт выдвигает интересную мысль о том, почему геометрию часто считают холодной и сухой. Одной из причин этого является то, что традиционная геометрия не в состоянии точно описать форму облака, горы, дерева или линию берега моря. Облака не являются сферами, линии берега не имеют формы окружностей, а кора деревьев искривлена, как и молнии, которые не движутся по прямой линии. Природа демонстрирует нам не просто более высокий уровень сложности, а совершенно иную степень организации. Все, что существует в реальном мире, может рассматриваться как фрактал, исходя из нашей гипотезы. Цель данного исследования заключается в демонстрации того, что математика не лишена чувств, а способна отражать духовный мир человека как индивидуума, так и общества в целом¹.

Исследование фокусируется на изучении фракталов в математике и их проявлении в реальном мире. В рамках работы были поставлены следующие задачи:

- Провести анализ и изучение литературы по данной теме.

- Рассмотреть разнообразные типы фракталов.

- Представить фракталы, которые встречаются в повседневной жизни

Актуальность выбранной темы обусловлена тем, чторабота учит искать и находить неразгаданные тайны и секреты математики.

Структура исследования определяется логикой и поставленными задачами, включая введение, две главы, мастер класс, вывод, список использованной литературы и приложения.

Анализ литературы:

1. Это сайт об удивительном явлении науки, современном виде компьютерного искусства, передовом крае трёхмерной графики — трёхмерных самоподобных фракталах.

2. Сайт рассказывает нам что такое «фракталы», их виды и где они встречаются в повседневном мире.

3. Этот источник содержит много информации про фрактал и их применения.

4. Данный сайт рассказывает про историю возникновения фракталов и их первые упоминяния .

5. Сайт показывает всю красоту фракталов в разных видах.

6. Этот сайт рассказывает нам про разновидности фракталов и их теории.

7. В данном источники показывается вся красота и разновидность фракталов.

8. В книге рассказывается о фрактальной геометрии природы.

9. В этой работе нас вводят в понятие «фракталы» и их теорию.

1. История появления понятия «фрактал»

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке.

Георг Кантор (1845-1918) был немецким математиком, логиком и теологом, который разработал теорию бесконечных множеств. Его метод заключался в удалении центральной трети линии, а затем повторении этого действия с оставшимися отрезками. Этот процесс приводил к созданию так называемой "Пыли Кантора". (см. приложения 1).

Итальянский математик Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano; 1858-1932) представил особый геометрический объект, который начинается с прямой, разделенной на 9 отрезков, каждый из которых в 3 раза короче исходной прямой. Этот процесс повторяется с каждым отрезком до бесконечности. Уникальность этой линии заключается в том, что она заполняет всю плоскость. Позднее аналогичная конструкция была осуществлена в трехмерном пространстве. (приложения 2).

Термин "фрактал" был введен выдающимся ученым Бенуа Мандельбротом в 1970-х годах.² (приложение 3).

Он произошел от латинского слова fractus, что переводится как "ломанный" или "дробленый". Фрактал обычно описывает графическое изображение структуры, которая повторяется в самой себе на более крупном масштабе.

Основы математики для теории фракталов были заложены задолго до появления Бенуа Мандельброта, однако развитие этой теории стало возможным только с развитием компьютерной техники. В начале своей карьеры Мандельброт работал в научном центре компании IBM, где исследовалась передача данных на расстояние. Во время этих исследований ученые столкнулись с проблемой значительных потерь из-за шумов. Он сталкивался с задачей предсказания возникновения шумов в электронных схемах, для решения которой статистический метод был неэффективен.

При изучении результатов шумовых измерений, Мандельброт обнаружил удивительную закономерность: графики шумов выглядели одинаково при различных масштабах. Эта особенность наблюдалась независимо от того, были ли это данные за день, неделю или час. При изменении масштаба графика наблюдалось повторение одной и той же картины.

В своей жизни Бенуа Мандельброт неоднократно подчеркивал, что не увлекается формулами, а просто экспериментирует с изображениями. Его мышление было крайне образным, и он всегда сводил любую алгебраическую задачу к геометрии, где, по его мнению, правильный ответ всегда проявляется ясно.

Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал создателем фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит, когда начинаешь изучать изображения и погружаешься в значимость странных узоров и вихрей.

Фрактальный рисунок характеризуется отсутствием одинаковых элементов, при этом он обладает подобными структурами на всех уровнях масштаба. Ранее создание подобного изображения с высокой степенью детализации было практически невозможно вручную из-за необходимости выполнения огромного объема вычислений.³

Один из первых графических представлений фрактала был ассоциирован с множеством Мандельброта, возникшим в результате исследований Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia). (приложение 4).

Множество объектов в природе обнаруживает фрактальные характеристики, такие как береговые линии, облака, кроны деревьев, снежинки.

1.2 Классификация фракталов

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:

-геометрические фракталы;

-алгебраические фракталы;

-стохастические фракталы.

1.2.1 Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал. Примерами геометрических фракталов могут служить:

1) Кривая Коха⁴ - фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге Фон Кохом. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха (приложение 5).

2) Дерево Пифагора - разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны». Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман (1891-1961) , используя обычную чертёжную линейку (приложение 6).

3) Треугольник Серпинского - фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского. (приложение 7).

1.2.2 Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Они оправдывают своё название, так как строятся на основе алгебраических формул, иногда довольно простых. К ним можно отнести фрактал Ньютона (приложение 8), множество Жюлиа (приложение 9) и многие другие.

1.2.3 Стохастические фракталы

Третьей крупной разновидностью фракталов являются стохастические фракталы, которые образуются путем многократных повторений случайных изменений каких-либо параметров. В результате процесса получаются объекты очень похожие на природные фракталы - несимметричные деревья, изрезанные лагунами береговые линии островов и многое другое. Двумерные стохастические фракталы используются преимущественно при моделировании рельефа местности и поверхности моря. (приложение 10).

1. Применение фракталов

2.1 Фрактальная живопись.

Фрактальная живопись - одно из направлений современного арта, популярное среди цифровых художников. Фрактальные картины необычно и завораживающе действуют на зрителя, рождая яркие пылающие образы. Сказочные абстракции создаются посредством скучных математическим формул, но воображение воспринимает их живыми.

2.2 Фракталы в медицине.

На данное время фракталы находят, и вероятно будут находить применение в медицине для исследования внутренних процессов в организме человека, изучение сердечного ритма, работы кровеносных сосудов и нервной системы. Сам по себе человеческий организм состоит из множества фракталоподобных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи и т.д. (приложение 11).

2.3 Фракталы в естественных науках.

Очень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не секретчто побережья островов и континентов имеют некоторую фрактальную размерность, зная которую можно очень точно вычислить длины побережий. (приложение 12).

2.4 Фракталы в природе.

Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения⁵. (приложение 13).

2.5 Фракталы в экономике

Фракталы появляются на рынке достаточно часто. Они появляются и исчезают, поэтому многим, как показывает опыт, не под силу освоить данные инструмент выявления основной структуры рынка. (приложение 14)

Мастер-класс.

Я провёл мастер-класс в 6Б классе по теме своего проекта. В результате проведённого мастер-класса дети познакомились с понятием фрактала, проявили интерес к данной теме и желание более углублённо её изучить. (приложение 15)

Заключение.

Помимо той полезной роли, которую играет фрактальная геометрия при описании сложности природных объектов, она предлагает ещё хорошую возможность популяризации математических знаний.Её формы привлекательны с эстетической точки зрения и имеют разнообразные приложения. Поэтому Фрактальная геометрия, возможно, поможет опровергнуть взгляд на математику как на сухую и недоступную дисциплину и станет дополнительным стимулом для учащихся в освоении этой интересной и увлекательной науки.

Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма, разглядеть которую нам помогают фракталы. Природа - лучший архитектор, идеальный строитель и инженер.

Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам.

Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Уверен, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.

Мне удалось показать, все, что существует в реальном мире, является фракталом. Мы убедились, что тому, кто занимается фракталами, открывается прекрасный, удивительный мир, в котором царят математика, природа и искусство. Я надеемся, что после знакомства с нашей работой, вы, как и я, убедитесь в том, что математика прекрасна и удивительна.

Список литературы.

1. http://fractals.nsu.ru;

2. http://fraktals.ucoz.ru;

3. http://ru.wikipedia.org;

4. http://sakva.narod.ru/fractals.htm#History;

5. http://www.fractalus.com/galleries/.

6. http://www.ghcube.com/fractals;

7. Красота математических поверхностей. - М.: Куб, 2005;,

8. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002;

9. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 1999 г.;

Приложение

1. “Пыль” Георг Кантор

1. Кривая Джузеппе Пеано

3. Бенуа Мандельброту

4. Множества Мандельброта

5. Кривая Коха

6. Дерево Пифагора

7. Треугольник Серпинского

8. фрактал Ньютона

9. Множество Жюлиа

10. стохастические фракталы

11. Фракталы в медицине

12. Фракталы в естественных науках

13. Фракталы в природе

14. Фракталы в экономике

1. Мастер-класс

1^Б. Б. Мендельброт «фрактальная геометрия»» 2002 10 страниц

2^Бенуа Мендельброт - гениальный учёный, который вывел понятие «фрактал»

3^Б. Б. Мендельброт «фрактальная геометрия»» 2002 25 страниц

4^Б. Б. Мендельброт «фрактальная геометрия»» 2002 59 страниц

5^Мандельброд Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: «институт компьютерных исследований», 2002, 102 страниц