Проект "Определители"

определители

Определители второго порядка

Пусть дана квадратная таблица, состоящая из четырех чисел:

Такие таблицы называют матрицами , точнее – матрицами

размера 2х2 или квадратными матрицами второго порядка.

Определителем такой матрицы называется число

и обозначают

=

Схема для вычисления определителя

второго порядка

_

+

Примеры

5 2

1) = 5 3 – 7 2 = 15-14=1

7 3

2) a + b a – b

= (a + b) ² - (a – b)² =

a – b a + b

= a²+2ab+b²-a²+2ab- b²= 4ab

Определители третьего порядка

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка, т.е. таблицу из 3х3 чисел

a 1 b 1 c 1

a 2 b 2 c 2

a 3 b 3 c 3

Определителем такой таблицы является

выражение

a 1 b 1 c 1

a 2 b 2 c 2 =

a 3 b 3 c 3

Схема для вычисления определителя

третьего порядка

_

+

Правило треугольника

Примеры

Определители четвертого порядка

a 1 b 1 c 1 d 1

Определителем матрицы a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

a4 b4 c4 d4

называется выражение a 1 A 1 -b 1 B 1 +c 1 C 1 -d 1 D 1 , где

b 2 c 2 d 2 a 2 c 2 d 2

A 1 = b 3 c 3 d 3 , B1 = a 3 c 3 d 3 .

b 4 c 4 d 4 a 4 c 4 d 4

a 2 b 2 d 2 a 2 b 2 c 2

C 1 = a 3 b 3 d 3 , D 1 = a 3 b 3 c 3 .

a 4 b 4 d 4 a 4 b 4 c 4

определители третьего порядка.

Габриэль Крамер

В 1750 г. швейцарский математик Г. Крамер дал общие формулы, выражающие неизвестные через определители, составленные из коэффициентов системы. Метод решения систем уравнений при помощи определителей называется методом Крамера.

Теорема Крамера

Пусть дана система уравнений с двумя неизвестными:

a 1 x + b 1 y = h 1,

a 2 x + b 2 y = h 2.

Введем следующие обозначения:

a 1 b 1 h 1 b 1 a 1 h 1

∆ = a 2 b 2 ∆ x = h 2 b 2 ∆ y = a 2 h 2

Возможны три случая :

Случай 1

∆≠ 0 – определитель системы не равен нулю

Тогда

х = у =

Уравнение имеет единственное решение (х; у).

Случай 2

∆ =0 - в этом случае система не имеет решений .

Случай 3

∆ =0 , ∆ x =0 , ∆ y =0 – система имеет бесчисленное

множество решений .

Пример

y – 2x = 1, -2х + у = 1,

6x – y = 7. 6х – у = 7.

-2 1

∆ = 6 -1 = 2 – 6 = -4

1 1

∆ x = 7 -1 = -1 – 7 = -8

-2 1

∆ y = 6 7 = -14 – 6 = -20

Ответ: (2 ; 5)

Решение систем уравнений

с тремя неизвестными

Аналогично по теореме Крамера решаются системы уравнений с 3 неизвестными: находятся ∆ , ∆ x , ∆ y , ∆ z

Пример

2x + 3y + 5z = 10,

3x + 7y +4z = 3,

x + 2y + 2z = 3.

2 3 5

∆ = 3 7 4 = 28 + 30 +12 – 35 – 18 – 16 =1

1 2 2

10 3 5

∆ x = 3 7 4 = 140 + 30 + 36 – 105 – 18 – 80 = 3

3 2 2

2 10 5

∆ y = 3 3 4 = 12 + 45 + 40 – 15 – 60 – 24 = - 2

1 3 2

2 3 10

∆ z = 3 7 3 = 42 + 9 + 60 – 70 – 27 – 12 = 2

1 2 3

Ответ: ( 3; -2; 2 ).

Пример решения системы уравнений

с двумя неизвестными

с параметром

Найти все значения параметра a, при которых система уравнений

2x + 3y = 10 ,

ax – 5y = 15 . имеет единственное решение.

Решение:

Данная система имеет единственное решение при условии ∆≠0 .

2 3

Так как ∆ = = - 10 – 3а , - 10 – 3а ≠ 0

а -5

то система имеет единственное решение при а ≠

Ответ : при а система имеет единственное решение.

При решении систем уравнений

мы пришли к выводу, что:

• системы уравнений с 2, 3 и 4 неизвестными легко решать с помощью определителей;

• довольно большое число систем линейных уравнений, содержащих параметры, можно решать с помощью определителей;
• довольно большое число систем линейных уравнений, содержащих параметры, можно решать с помощью определителей;

• методы решения задач, показанные в нашей работе, могут быть использованы для подготовки к ЕГЭ, вступительным экзаменам в ВУЗ и для проведения факультативных занятий.

Спасибо за

внимание !