Проект по математике "Число пи"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 1 Г.СКОВОРОДИНО

Школьная научно-практическая конференция «Ступени в мир наук »

Секция «Математика»

ТЕМА РАБОТЫ

« Число π»

Подготовил:

Колесников Владислав

Учащийся 6 класса МБОУ СОШ № 1 г.Сковородино

Руководитель:

Колесникова Елена Ивановна

Учитель математики МБОУ СОШ № 1 г.Сковородино

г.Сковородино – 2016год

Содержание

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………2

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ…………………………………………………………….4

1.1. История числа π …………………….………………………………………4

1.2. Способы вычисления числа π ………………………………………….….7

1.3. Мнемонические правила для запоминания значения числа π…………..12

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………….........15

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………….16

ПРИЛОЖЕНИЯ………………………………………………………………….17

ВВЕДЕНИЕ

«Куда бы мы ни обратили свой взор, мы видим проворное и трудолюбивое число :

оно заключено и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине».

Ф.Кымпан

На уроке математики , при изучении темы «Длина окружности» мы выполняли практическое задание, в ходе которого обнаружили, что существует некоторое число, равное отношению длины окружности к её диаметру, одинаковое для любой окружности. Я узнал, что число π относится к таким числам, точное значение которых записать невозможно ни с помощью обыкновенных, ни с помощью десятичных дробей. Меня заинтересовало это число, и я решил выяснить его происхождение и можно ли его найти каким либо другим способом. Мне хотелось бы раскрыть тайны числа π и узнать, как вычисляли его числовое значение в древние времена и как вычисляют его сейчас, сравнить эти методы. Также мне интересно узнать, какие ученые, и в какие века занимались проблемой числа π, и попытаться самому вычислить приближенное значение числа π. Для меня актуальность данной исследовательской работы заключалась в том, что я практически научился вычислять число π различными способами.

Объект исследования: Число π.

Предмет исследования: Способы вычисления числа π.

Цель работы: изучить происхождение и способы вычисления числа π.

Задачи:

1. Изучить литературу по истории вычисления числа π.

2. Изучить способы вычисления числа π.

3. Рассмотреть приемы запоминания числа π .

Методы исследования:

- поисковый метод: использование литературы, поиск информации в сети Интернет;

- экспериментальный метод: практическое вычисление числа π;

-анализ: систематизация полученных в ходе исследования данных, подведение итогов.

Гипотеза:

Не все способы вычисления числа π приводят к точным результатам.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. История числа π

История числа шла параллельно с развитием всей математики.

Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитие математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.

1. Древний период.

Первооткрывателями числа π считают людей доисторического времени, которые при плетении корзин заметили, что для того, чтобы получить корзину нужного диаметра, необходимо брать прутья в 3 раза длиннее диаметра. Найдены таблички из обожженной глины в Месопотамии, на которых зафиксирован данный факт.

То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам. В большинстве случаев вычисления были связаны с геометрией. Поэтому данный период также называют геометрическим.

Письменная история числа π начинается с египетского папируса 2000 г. до нашей эры. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа π которое получается из формулы площади круга S = ( d – 1/9d ) 2. Этому правилу из 50 – й задачи папируса Райнда соответствует значение π = 4(8/9)2 = 3,1605. Однако, каким образом египтяне получили саму формулу, неясно.

Как считают специалисты, число π было открыто вавилонскими магами. Вавилоняне пользовались лишь грубым приближением, определив π = 3. Число использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни.

В Древней Греции идею заменить длину окружности периметром описанного (вписанного) многоугольника применил Архимед (III век до н.э.). Начав с шестиугольника, перешёл к 12-угольнику, затем к 24-угольнику, и так далее – до 96-угольника. Архимед доказал, что числоπ одинаково для любого круга.

В Древнем Китае высокого расцвета достигла вычислительная техника, основанная на приближённых вычислениях. Примером служит вычисление отношения длины окружности к её диаметру китайским математиком Цзу Чун-чжи (430-501г.н.э.), который получил приближение 355/113, дающее семь верных цифр числа π

Наиболее древняя формулировка нахождения числа π содержится в стихах индийского математика Арьябхатта: «Прибавь 4 к сотне и умножь на 8, потом ещё 62 000 прибавь. Когда поделишь результат на 20 000, тогда откроется тебе значенье длины окружности к двум радиусам отношенье». Он нашёл точное значение 62832/20000 или 3, 1416.

«В дошедших до нас с древних времён математических текстах встречаются различные приближенные значения числа π. К сожалению, невозможно понять, как эти значения были получены. Скорее всего, древние изучали и сопоставляли измерения окружающих их предметов практическим путем. Ниже приводятся некоторые сведения о найденных древними математиками приближениях для числа π. Происхождение их неизвестно.»

[1. Стр.17]

1. Классическая эра.

«С конца семнадцатого столетия бурная река человеческой пытливости вышла из берегов элементарной математики – началась эра математического анализа» [ 1. Стр 46]

Н овые инструменты исследований позволили взглянуть на число π с другой стороны. До II тысячелетия было известно не более 10 цифр π. Дальнейшие крупные достижения в изучении π связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить π с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда. Одним из первых неожиданных и красивых результатов стал ряд, названный в честь открывшего его в 1673 году немецкого математика Г.В.Лейбница

Впервые обозначением этого числа греческой буквой   воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера   в 1737 году, который вычислил значение до 153 десятичных знаков

Это обозначение происходит от начальной буквы греческого слова   «периферия» - окружность.

В 1766 году немецкий математик Иоганн Ламберт доказал иррациональность числа π , число π не может быть представлено простыми дробями, как бы ни были велики числитель и знаменатель.

1. Эра цифровых компьютеров.

Самым неутомимым вычислителем числа π был английский математик Уильям Шенкс. Более 20 лет он посвятил вычислению 707 знаков числа π. К сожалению, несчастный Шенкс ошибся в пятьсот двадцатом знаке, и все последующие цифры в полученном им выражении неверны. Впечатляющие результаты Уильяма Шенкса возглавляли таблицу рекордов вплоть до XX века. Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов.

В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубо рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов.

31 декабря 2009 года французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов.

2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой.

19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой.

«Удивительный «марафон», начатый с вычисления Архимедом трёх точных знаков числа π, сегодня так же далёк от завершения, как и две тысячи лет назад.» [1. Стр. 64]

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 Первые 1000 знаков после запятой числа π[1]

1.2. Способы вычисления числа π

1. Способ. Отношение длины окружности к площади круга.

На уроке математики мы проводили практическую работу. На листе картона нарисовали и вырезали окружности различных диаметров.

Потом обмотали получившуюся окружность нитью. Измерив длину одного полного оборота нити, мы нашли длину окружности. Затем измерили диаметры, и нашли отношение длины окружности к длине диаметра, сравнили получившиеся результаты. У некоторых учащихся это отношение было приблизительно равно «3». Я собрал полученные данные в таблицу и нашел среднее арифметическое. Вот что у меня получилось.

Вывод: Это значение π отличается от реального значения на 0,05. Некоторые учащиеся нашего класса довольно точно нашли значение числа π, т.к. исходя из практики, описанной в разных источниках такой способ дает в обычных условиях приближенное значение числа π с точностью до 1 знака после запятой.

1. Метод Бюффона («падающей иголки»).

П и можно найти, проведя интересный эксперимент под названием метод иглы Бюффона, который стремится определить вероятность того, что случайно брошенные иглы приземляются либо между нарисованными равноудаленными параллельными прямыми, либо пересекут ровно одну прямую. Если расстояние между прямыми равно длине иглы, то отношение числа бросков, когда игла пересекает прямую, к общему числу бросков стремится к 2/Пи.

Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. Введем обозначения: а — расстояние между прямыми, l — длина иглы.

Вероятность Р(А) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж S раз и k раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом S имеем Р(А) = . Отсюда π ≈

Как показал Бюффон, эта вероятность выражается числом Такие эксперименты ставились в позапрошлом и прошлом веке многими учёными. Ниже приведена таблица, заимствованная из статьи А.Н. Зайделя.

Наиболее замечательный результат принадлежит Лаццарини, сделавшему 3 408 бросаний.

Я так же провел данный эксперимент. Размер моей иглы оказался 4 см. Всего я сделал 50 бросков, из них 36 пересекли линии. Я составил пропорцию 36/50=2/пи. Решив её, я получил ответ 2,77(7). Полем этого эксперимента оказался лист А4, с размеченными линиями по 4 см то есть с длину иголки. Результаты моего эксперимента представлены в таблице.

Вывод: К сожалению, мой результат отличается от реальногозначения на 0,364. Скорее всего, на данное отличие повлияло малое количество бросков.

1. Метод соотношений человеческого тела

Многим известна «золотая пропорция» или «золотое сечение». Золотая пропорция – деление отрезка на две неравные части так, что длина большей части превышает длину меньшей части ровно во столько раз, во сколько раз весь отрезок превышает длину большей части.

В таком отношении точка М делит отрезок АВ, если его большая часть АМ так относится к меньшей части МВ, как длина всего отрезка АВ относится к большей части АМ.

А _________М___В

Отношение часто обозначают буквой Ф в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н.э.), поскольку в пропорциях частей знаменитого храма Афины Парфенона, созданного Фидием, исследователи находят «золотую пропорцию». Отрезки золотой пропорции соотносятся, друг другу с помощью бесконечной иррациональной дроби 0,618..

Число π связано с золотой пропорцией в теле человека следующим соотношением π =2L/H, где L – расстояние от пупка до ступней, а H – расстояние от макушки до пупка. Я провел измерения данных величин на моей семье. Результаты эксперимента представлены в таблице.

Вывод: Среднее значение числа π вычисленное с помощью соотношений золотого сечения оказалось достаточно точным и отличается от реального на 0,02

Кроме данных способов вычисления числа существует еще много других, которые мне пока не удалось выполнить. Например такие как:

1. Метод взвешивания

На листе картона начертить квадрат, в него вписать круг. Вырезать квадрат и взвесил его на аптечных весах масса квадрата (m кв) . Далее вырезать из квадрата круг и взвесить его, масса круга (m кр). Из выше приведенных преобразований следует, что π = . Подставляем наши данные в эту

1. Метод Монте-Карло (метод «дождя»)

Приготовить кусок картона, нарисовать на нём квадрат и вписать в квадрат четверть круга. Некоторое время такой чертёж подержать под дождём. На его поверхности останутся следы от капель. Подсчитать число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приблизительно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места равновероятно.

П усть — число капель в кругу, — число капель в квадрате, тогда π = (1)

1. Мнемонические правила для запоминания значения числа π

На уроке математики мы один раз познакомились с числом пи и на продолжении учёбы в 6 классе к нему обращались очень редко. И если три первые цифры числа =3,14… запомнить не очень сложно. То остальные мало кто знает. Поэтому для запоминания числа π были придуманы разные четверостишия .

1. Чтобы нам не ошибиться ,

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

1. Надо только постараться

И запомнить все как есть:

Три, четырнадцать ,пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

1. Три, четырнадцать, пятнадцать

Девять, два, шесть, пять, три, пять.

Чтоб наукой заниматься,

Это каждый должен знать.

1. Подсчитайте количество букв в каждом слове в нижеприведенных фразах (без учета знаков препинания) и запишите эти цифры подряд – не забывая про десятичную запятую после первой цифрой «3» , разумеется. Получится приближенное число π.

«Это я знаю и помню прекрасно: Пи многие знаки мне лишни , напрасны»

(3, 14159265358)

1. Раз у Коли и Арины

3 1 4 1 5

Распороли мы перины.

9 2 6

Белый пух летал, кружился,

5 3 5 8

Куражился, замирал,

9 7

Ублажился…

9

Нам же дал головную боль старух,

3 2 3 8 4 6

- Ух, опасен пуха дух.

1. 6 4 3 (3,141592653589793238462643…)

1. При округлении числа до десятитысячных можно использовать фразу: «Что я знаю о кругах?» по количеству букв в каждом слове (3,1416)

2. При округлении числа до разряда миллионных можно использовать фразу: «Вот и знаю я число, именуемое Пи, - молодец!» (3,1415927).

3. При округлении числа до разряда сто миллиардных можно использовать фразу: «Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать» (3,14159265359).

Заключение

В результате своей исследовательской работы я узнал много нового и интересного из истории числа . Изучил некоторые способы вычисления этого числа. Экспериментально получил значения числа  тремя способами. Полученные значения числа  незначительно отличаются от приближённого значения, используемого в повседневной жизни. В результате эксперимента я подтвердил выдвинутую мною гипотезу о том, что не все способы приводят к точному результату. Проанализировав полученные результаты, я пришёл к выводу, что наибольшая погрешность получилась при применении метода Бюффона. Самым точным оказался метод с использованием «Золотого сечения». Метод простейших измерений также дал не плохие результаты. Хотя число было открыто ещё в древности, но до настоящего времени ему уделяется огромное внимание и до сих пор продолжаются попытки найти как можно больше знаков после запятой.

В дальнейшем я хочу продолжить работы по изучению данной темы. Так как существует много интересных фактов связанных с этим числом. Например 14 марта в мире отмечается один из самых необычных праздников — Международный день числа «Пи» . Впервые День был отмечен в 1988 году в научно-популярном музее Эксплораториум в Сан-Франциско. Так же я хочу узнать, где кроме уроков математики можно встретится с этим замечательным числом.

Полученная мною информация в ходе исследования не только очень интересна и увлекательна, но и полезна. Я надеюсь , что она пригодится мне в дальнейшей учёбе.

Список литературы

1. Жуков А.В. Вездесущее число Пи – М.:Изд-во ЛКИ, 2007.

2. Шумихин, С. Число Пи. История длиною в 4000 лет / С. Шумихин, А. Шумихина. — М.: Эксмо, 2011..

3. Борвейн, Дж.М. Рамануджан и число Пи. / Борвейн, Дж.М., Борвейн П.Б. В мире науки. 1988 – №4.

4. Зайдель А.Н. Обман или заблуждение//Квант.- 1983

5. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. – М.Просвещение 1990 г.

18