Программа элективного курса "Ох уж эти проценты"

17

Приложение.

Тема 1: «Еще раз - что такое процент? Основные задачи на проценты»

Слово «процент» происходит от латинского pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, т. к. они выражают части целых в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Ид6ея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых сделках.

В Европе десятичные дроби появились спустя тысячелетие: их ввел бельгийский ученый С. Стивен. В 1584 году он впервые опубликовал таблицу процентов. Введение процентов оказалось удобным не только для оценки содержания одного вещества в другом. В процентах стали измерять изменение производства товара, рост денежного дохода, прибыли, банковских ставок и т.д.

Еще в младших классах вам было известно, что процентом от любой величины - денежной суммы, числа учащихся школы, массы добытых в стране полезных ископаемых и т.п.- называется одна сотая часть этой величины.

1% - 0,01

3% - 0,03

10% - 0,1

45% - 0,45

100% - 1

225% - 2,25.

Вспомним три основных задачи на проценты: «Процент от числа», «Число по значению процентов», «Процентное отношение чисел».

Например:

1. Найдите 48% от 250 р.

2. Найдите число, 8% которого равны 12.

3. Сколько процентов составляет 180 от 450?

Процентные вычисления в жизненных ситуациях чаще всего связаны с первым типом задач: найти заданное число процентов от заданной величины.

Для нахождения заданного числа p процентов от заданной величины S можно сделать два шага:

1. Найти один процент - он равен S/100;

2. Полученный результат умножить на p%- получиться p·S/100.

Отступим от строгих требований к записям в математическом языке-

p % от S= pS/100.

Эту формулу называют формулой процентов. Ею можно пользоваться непосредственно.

48 · 250/100=120.

Но чаще всего, переводя проценты в десятичные дроби, поступают так: 250·0,48=120.

(Вспомните, на уроках в5-6 классах мы формулировали правила соответствующие типам задач.)

В качестве способа решения задачи можно показать применение пропорций.

250 р.----100%;

х р.---- 48 %.

Разобрать задачи, иллюстрирующие различные типы. Например:

1. За день рабочему надо сделать 80 деталей. До обеда он выполнил 60% нормы. Сколько деталей он сделал до обеда?

2. Стоимость упаковки составляет обычно 2% стоимости товара. Сколько будет стоить товар с упаковкой, если сам товар стоит 400 р.?

3. За год число учеников в школе выросло на 4% . Сколько стало учеников в школе к концу года, если в начале года их было 650?

4. До обеда рабочий обработал 18 деталей, что составляло 45% дневной нормы. Какова дневная норма рабочего?

5. Сколько процентов дневной нормы выполнил рабочий до обеда, если он сделал 22 детали, а дневная норма 55 деталей?

6. Количество ДТП сократилось в 2004 г. по сравнению с 2003г. на 5%.Сколько было ДТП в 2004г., если в 2003 г. их было 160?

7. В школьном туристском слете приняли участие 35% всех учащихся школы, это 224 ученика. Сколько уче­ников в школе?

1. Мужчины на заводе составляют 65% всего количества рабочих завода. Женщин — 175 человек. Сколько все­го рабочих на этом заводе?

2. Стоимость упаковки составляет обычно 2% стоимости товара. Товар с упаковкой стоит 367,2 р. Найдите сто­имость товара.

3. Один человек получил зарплату 9000 р. За квартиру он заплатил 1080 р. Какую часть своей зарплаты он тра­тит на оплату квартиры? Сколько процентов от своей зарплаты он тратит на оплату квартиры?

4. Из 28 учеников класса 10 человек учатся без троек. Ка­кую часть класса они составляют? Сколько процентов от численности класса они составляют? Ответ округли­те до 0,1%.

5. В справке о заработной плате написано: зарплата: 9000 р.; вычеты: подоходный налог 1170 р.; в пенсионный фонд 90 р. Сколько процентов от зарплаты получает владелец справки на руки?

6. В магазин привезли 160 упаковок консервированных овощей и фруктов. Овощные консервы составили 75% привезенного то­вара, причем 40% из них были в стеклянных банках. Какое ко­личество упаковок, содержащих овощные консервы в стеклян­ных банках, привезли в магазин?

1. Из 850 учащихся школы 80% занимаются в спортивных сек­циях, причем 5% из них — в шахматной. Сколько учащихся в шахматной секции?

1. Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введе­нии ученического совета участвовали 88% всех учащихся. На вопрос референдума 75% учащихся, принявших участие в голо­совании, ответили «да». Совет будет создан, если за него вы­скажется не менее 60% учащихся школы. Будет ли создан уче­нический совет в этой школе?

Тема 2: «Про цены»

С помощью процентов часто показывают изменение той или иной величины. Эта форма является наглядной числовой характеристикой изменения, показывающей значимость этого изменения.

Задача №1.

Банк обещает клиентам годовой рост вклада 12%. Какую сумму через год может получить клиент, положивший на счет в банке 2000 р?

Решение:

Через год банк должен начислить по вкладу 2000·0,12=240р., тогда на счету клиента будет 2000+240=2240р.

Эту задачу можно решить и иначе: положив в банк некоторую сумму, клиент получает 12% от нее. Сама сумма составляет 100%, значит, через год на счете оказывается 112% от этой суммы. Поэтому

2000·1,12=2240.

Решим эту задачу в общем виде: если в банк , дающий p % в год, вложена сумма S р. , то процент составляет (p/100)Sр., а всего на счете вкладчика будет S1=S+pS/100=S(1+p/100)р.

Если использовать десятичные дроби, то вычисления будут проще. Например, если квартплата S повысилась на 30%, это значит, что прибавка составляет 0,3S, а новая квартплата будет 1,3Sр., если цена C товара снижена на 15%, то новая цена равна

C-0,15C=0,85C.

Задача №2.

Фирма покупает товар оптом по цене 23р. за 1кг. и продает в розницу с надбавкой в 40%. Какова розничная цена товара?

Решение:

1. 23·0,4= 9,2 (р.)

2. 23+9,2= 32,2(р.)-розничная цена товара.

или

23·1,4=32,2(р.)

Второй способ более полезен в случае, когда розничная надбавка постоянна для разных товаров.

Можно составить формулу зависимости розничной цены S1 от оптовой цены S и торговой надбавки p%:

S1= (1+p/100)S.

Заметьте, формула повторяется.

Вообще, получилась формула значения величины после ее прироста на p%. Приращение величины в математике обозначают ∆S. Тогда при увеличении S на p% ∆S=pS/100.

S1=S+∆S=(1+p/100)S.

Встречающиеся в повседневной жизни величины не только изменяются, увеличиваясь, приращение величины может быть и отрицательным. В этих случаях говорят об отрицательном росте, и формула выглядит так:

∆S= -pS/100;

S1=S-∆S = (1-p/100) ·S.

Задача №3.

В течение марта цена на яблоки выросла на 20%, а в течение апреля на 30%. На сколько повысилась цена яблок за два месяца?

Решение:

«Первые» 20% подсчитываются в конце февраля, «вторые» 30% от цены конца марта. За 100% при первом и втором расчетах новой стоимости яблок принимаются разные величины. Расчет стоимости можно проводить последовательно:

конец февраля- Sp.;

к концу марта- 1,2Sp.;

в течение апреля-1,3·1,2S=1,56S. Следовательно, цена 1 кг. яблок выросла на 56%. (1,56S-S=0,56S).

Если в основной формуле процентов обозначить p% от S через S2, то формула имеет вид:

S2=p·S/100; S2/S=p/100.

Задача №4.

В классе 25 ученика. 60% из них составляют девочки. Сколько девочек в классе?

Решение:

Можно воспользоваться полученной пропорцией.

25 уч.- 100%

х уч.- 60%.

Х=(25·60)/ 100=15(дев.)

Перед вами еще один способ решения задачи «Нахождение процента от величины», которым решали подобные задачи еще ваши бабушки и дедушки.

Кстати, решение задач на проценты с помощью пропорции очень широко применяется в расчетных задачах по химии, поэтому очень полезно повторить тему «Пропорции».

Задача №5.

В городе 100000 жителей, 80% из них – коренное население. Найдите количество коренных жителей.

Решается задача аналогично. Но согласитесь, самый короткий способ:

100000·0,8=80000(чел.)

Кстати, если коренные жители составляют 80% всех горожан, то можно сказать, что на каждые 100 человек приходится 80 коренных жителей.

Задача №6.

Сколько соли содержится в 170 граммах 70% раствора?

Решение:

Еще раз воспользуемся способом решения задачи с помощью пропорции.

100г раствора- 70г. соли,

170г - хг соли.

x=(170·70)/100=119(г).

Рассмотрим «обратную задачу на проценты»: известна не исходная величина, а заданное число p% от нее, и необходимо узнать исходную величину.

Задача №7.

Какое количество 10% раствора может получиться из 25 г соли?

Решение:

10г соли- 100г раствора,

25г - хг;

x=(25·100)/10=250 г раствора.

Задача №8.

Какую сумму следует положить в банк под 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1 млн руб?

Решение:

Через год на счете вкладчика лежит 125% вклада, т е сумма увеличилась в 1,25 раза. Поэтому задачу можно решить следующим образом: пусть на счете лежит Sр, тогда

1,25S=1млн;

S=1/1,25;

S=0,8 млн. т е 800000 р.

Или S р.- 100%;

1 млн р.- 125%.

S= (1* 100)/125 =0,8 р.

Задача№9

Человек обычно получает за работу «чистыми», т е после вычета налога в 13%. Сколько «по- настоящему» стоит выполненная работа, если он получил за нее 2000 р?

Решение:

Заметим, что полученная сумма составляет 100%- 13%= 87% от «настоящей»

стоимости работы, значит

0,87 S= 2000,

S=2000/0,87=2298,85р.

Эту же задачу можно было решить с помощью формулы S1=(1-p/100)S.

В различных ситуациях в науке, экономике, социологии возникает задача сравнения данных экономического, политического, демографического и т п характера.

Например, в 8А без троек учатся 6 человек, а в 8Г -8 человек. Но это не значит, что 8Г «сильнее», ведь в 8Г может быть больше учащихся. Из сопоставления этих данных нельзя делать выводы. Надо сравнить число «отличников и хорошистов» в классах с количеством учащихся в них, т е найти отношение числа учащихся , успевающих без троек, к числу всех учеников класса. Для наглядности лучше это отношение выразить в процентах; его называют процентным отношением.

Задача №10.

В городе А с населением 100тыс. человек граждане до 18 лет составляют 40 тыс., а в городе В с населением 200тыс. человек- 60 тыс.граждан до 18 лет. В каком городе население моложе?

Решение.

Найдем процентное отношение 18-летних граждан к числу всех жителей города: город А- 40/100= 0,4 или 40% (в этом случае можно сразу назвать процентное отношение, т к 40 из каждых 100 это 40%);

город В- 60/200=0,3 или 30%.

Таким образом, в городе А население моложе.

Задача №11.

В 200 г воды растворили 50 г соли. Какова концентрация расвора?

Решение.

Необходимо учесть, что получился раствор массой 200+50=250(г). А теперь найдем процентное отношение массы соли к массе раствора:

50/250=1/5=0,2 или 20%.

Еще пример.

Государственный бюджет состоит из двух основных частей: доходы и расходы. Допустим, бюджет предусматривает расходы 2,1трлн р., а доходы- 1,4трлн р. Превышение бюджетных расходов над доходами образует «бюджетный дефицит», который равен 2,1-1,4=0,7(трлн. р). Для оценки экономической ситуации важно знать отношение дефицита (от лат.deficit- недостаток) к величине расходов, например, т е знать, какая часть расходов не подкреплена соответствующими доходами:

0,7/2,1=1/3≈33%.

Задача №12.

Предприятию необходимо увеличить выпуск продукции с 2500 до 3500 единиц в год. На сколько процентов надо увеличить производительность предприятия, чтобы обеспечить это условие?

Решение.

Выразим в процентах 3500 единиц по отношению к 2500:

3500/2500=7/5=1,4 или 140%, 2500 ед. составляют 100% (как план).

140%-100%=40%.

Рассмотрим очень важную задачу на ценообразование, поскольку с ценами на товары и услуги люди встречаются каждый день. Наиболее типичные ситуации следующие.

1. Если первоначальная цена товара S р, то после повышения ее на p% она составит S+Sp·0,01=S(1+0,01p). Аналогично, если цена товара понизилась на p%, то она составит S-Sp·0,01=S(1-0,01p).

Представим в виде следующей схемы:

увеличилась на р% S(1+0,01p)

S

уменьшилась на р% S(1-0,01p)

Задача№13.

Товар стоит 100р. Какова будет его новая цена после увеличения стоимости на 20% ?

Решение.

Воспользуемся формулой S1= S(1+0,01p).

100·1,2=120 р.

1. В результате повышения первоначальной цены S на p% и последующего понижения на q% окончательная цена равна

S(1+0,01p)(1-0,01q) руб.

Если же первоначальная цена S сначала понизилась на p%, а потом повысилась на q%, то новая цена равна

S(1-0,01p)(1+0,01q) руб.

Задача№14.

Цену товара снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась стоимость товара?

Решение.

Пусть первоначальная цена S р. После снижения цен она стала S-0,3S=0,7S. Повысили эту стоимость на те же 30%, т е 0,7S+0, 3·0,7S=0,91S. Таким образом, цена в итоге снизилась на 9%, т к S-0,91S=0,09S.

Кстати, можно поступить следующим образом: 0,7S (новая цена) уже стала составлять 100%, повысили цену на 30%- 100%+30%=130%, поэтому товар теперь стоит 1,3·0,7S=0,91S и т д.

Задача№15.

Цену товара повысили на 20%, а затем новую цену снизили на 20%. Как изменилась стоимость товара?

Решение.

S р.- первоначальная цена товара,

1,2S- новая цена после повышения,

100%-20%=80%, поэтому 0,8·1,2S=0,96 S.

S-0,96 S=0,04 S, т е цена снизилась на 4%.

Задача№16.

Цена товара поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Другой товар поднялся в цене на 30% и стал равным по цене первому товару. Какова первоначальная цена первого товара, если второй товар до повышения стоил 1,25тыс.р?

Решение.

Пусть первоначальная цена первого товара х р., тогда после первого повышения его цена составляет 1,25х р., а после второго- 1,25х·1,3=1,625х р.

Второй товар после повышения стоит 1,25·1,3=1,625тыс.р. Составим уравнение: 1,625х=1,625; х=1(тыс.р.).

Задача№17.

Товар стоил 3150 р. После двух последовательных снижений цены он стал стоить 1512р. Сколько стоил товар после первого снижения, если второе снижение на 20% больше, чем первое?

Решение.

Пусть процент снижения цены в первый раз- х, процент второго снижения равен х+20. Составим схему понижения цен:

3150

на х%

3150·(1- 0,01х)

на(х+20)%

3150·(1- 0,01х)·(1-0,01(х+20)) или 1512.

Составим уравнение:

3150·(1- 0,01х)(1-0,01(х+20))=1512;

1. 0,01х)·(0,8-0,01х)=0,48;

(100-х)(80-х)=4800;

x²-180x-3200=0;

x₁=160, x₂=20.

160- постороннее решение, т.к. первоначальная стоимость не может превышать 100%, иначе пришлось бы приплачивать 60% при продаже.

Итак, первое снижение 20%, значит, после этого снижения он стал стоить 3150·0,8=2520р.

Тема 3: «Проценты по вкладу».

Если человек не вносит своевременно плату за квартиру, аренду помещения, аренду автомобиля, процент по кредиту и т.п., то на него налагается штраф, который называется «пеня» (от лат. poena- «наказание»).

Если, например, пеня составляет 1% от суммы платежа за каждый день просрочки, то за 10 дней просрочки штраф составляет 10%, за 15 дней- 15%, и вместе с суммой самого платежа человек должен будет внести пеню, т.е. его оплата будет составлять, например, 115%.

Составим общую формулу платежей:

пусть S- ежемесячный платеж, пеня составляет p% за каждый день просрочки уплаты просрочки, n- число просроченных дней, Sn- сумма, которую должны заплатить после n дней просрочки. Тогда, за n дней просрочки пеня составит n·p% от суммы S, т.е. (p·n·S)/100. Всего за этот месяц надо будет заплатить S+(p·n·S)/100=S(1+pn/100)=Sn.

Задача№1.

Сколько надо заплатить, если платеж 2000 р. просрочен, пеня составит 1% за каждый день просрочки, а оплата производится с задержкой:

1. на 5 дней;

2. на 30 дней;

3. на три месяца.

Решение.

1. в этом случае надо заплатить Sn= 2000·(1+0,01·5)=1,05·2000=2100 р.

2. Sn =2000·(1+0,01·30)=1,3·2000=2600 р.

3. Sn=2000·(1+0,01·30·4)=2,2·2000=4400 р.

Рассмотрим другую ситуацию: банк выплачивает вкладчикам каждый месяц p% от внесенной в банк суммы. Клиент внес сумму S сроком на n месяцев, тогда через n месяцев на его счету будет сумма Sn такая, что

Sn=S(1+np/100).

Задача№2.

Банк выплачивает вкладчикам каждый год 11% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад 2000 р. Какая сумма будет на его счете:

1. через 5 лет;

2. через 10 лет.

Решение.

1. Sn=2000·(1+0,11·5)=1,55·2000=3100 р.

2. Sn=2000·(1+0,11·10)=2,1·2000=4200 р.

Мы получили ту же самую формулу, что и с просроченными платежами.

И, вообще, полученная формула применима не только для расчета просроченных платежей и нахождения суммы на банковском счете, но и во всех таких случаях, где некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула называется формулой простого процентного роста или формулой простого процента. Она показывает значение, которое принимает величина через n промежутков времени, если в каждый из промежутков она увеличивается на одно и то же число процентов p, считая от начального ее значения S.

Формула простого процента описывает и ситуацию, когда величина убывает в каждый период времени на одно и то же число процентов, считая от ее начального значения. В этом случае речь идет об отрицательном росте, и число процентов p становиться отрицательным. Например, при погашении беспроцентной ссуды ежегодно выплачивается 4% от суммы ссуды. Поэтому ежегодно размер долга уменьшается на 4%.

Человек всегда интересуется вопросами: насколько быстро растет та или иная величина « экономического» характера- платеж, если его не внести вовремя, сумма денег на счете в банке, выплата ссуды и т.п.

Задача№3.

На один счет в банке положили тыс.р. под 30% годовых, а на второй- 300 тыс.р. под 10%. На каком из счетов через 10 лет сумма будет больше?

Решение.

На первом счету:Sn=100·(1+0,1·30)=4·100=400тыс.р.

На втором счету: Sn=300·(1+0,1·10)=2·300=600тыс.р.

Задача№4.

При какой процентной ставке вклад на сумму 5000р. возрастет за полгода до 6500р.?

Решение.

Воспользуемся формулой простого процента Sn=S(1+np/100).

6500= 5000·(1+6·0,0·p);

1+ 0,06p=1,3;

6p=30;

p=5.

Задача№5.

Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33тыс.р.?

Решение.

S_n=S·(1+np/100);

33=S(1+0,04·8);

1,32S=33;

S=25.

Задача№6

Новый компьютер был куплен за Sр., и каждый год на его амортизацию списывается p%. Через сколько лет этот компьютер можно списать как полностью потерявший первоначальную стоимость?

Мы встретились с термином «списывается на амортизацию». Он означает, что каждый год стоимость компьютера уменьшается на p%. Через n лет его новая стоимость Sn=S(1- p·n/100). Эта стоимость называется остаточной. Компьютер можно списать, если остаточная стоимость равна нулю, значит 1-p·n/100=0,

p·n=100,

n=100/p.

Тема 4: «Сложные проценты по вкладу».

В Сберегательном банке России на некоторые виды вкладов (их называют «срочные» вклады) система начисления процентов на сумму, лежащую на счете, выглядит следующим образом: за первый срок нахождения суммы на счете она возрастает на некоторое число процентов согласно условиям по вкладу. В конце установленного срока вкладчик может снять со счета «проценты». Но можно не снимать эти деньги, тогда происходит «капитализация» процентов, т.е. начисление «процентов на проценты»- к концу следующего периода проценты начисляются на новую сумму, сумму с прибавлением начисленных процентов по первому периоду.

Рассмотрим следующий пример: вкладчик положил на счет банка сумму 2000р. под 10% годовых. Какую сумму получит вкладчик через 5 лет, если он не будет ни разу снимать проценты по вкладу?

Решение:

через 1 год на счете будет- 2000+2000·0,1=2000+200=2200р.;

прошел 2 год-2200+2200·0,1=2200+220=2420р.;

3 год-2420+2420·0,1=2420+242=2662р.;

4 год-2662+2662·0,1=2662+266,2=2928,2р.;

5 год-2928,2+2928,2·0,1=2928,2+292,82=3221,02р.

Подсчет можно было бы выполнить более просто, а не «в лоб»:

через 1 год на счете будет- 2000+2000·0,1=2000·(1+0,1)=2000·1,1=2200р.;

прошел 2 год-2200+2200·0,1=2200·(1+0,1)=2200·1,1=2420р.;

3 год-2420+2420·0,1=2420·(1+0,1)=2420·1,1=2662р.;

4 год-2662+2662·0,1=…=2661·1,1=2928,2р.;

5 год-2928,2+2928,2·0,1=…=2928,2·1,1=3221,02р.

Решим задачу в общем виде, воспользовавшись ранее введенными обозначениями.

через 1 год на счете будет S₁=S+p·S/100=S(1+p/100);

прошел 2 год-S₂=S₁+p·S₁/100=S1(1+p/100)=S(1+p/100)²;

3 год-S₃=S₂+p·S₂ /100=S(1+p/100)³;…

a лет -Sa=S·(1+p/100)ª, где, напомню еще раз, S- сумма, положенная на счет банка под p% , например, годовых, a - количество лет хранения суммы на счете банка. Эта формула называется формулой сложного процентного роста или формулой сложного процента.

Важно четко видеть разницу законов простого и сложного процентов. Она состоит в том, что при простом росте процент каждый раз начисляют, исходя из начального значения величины, а при сложном росте процент начисляется из предыдущего значения. При простом росте 100%- всегда начальная сумма, при сложном росте 100% каждый раз новые- это предыдущее значение величины.

Задача№1.

Какая сумма будет на счете вклада через 5 лет, если

1. банк начисляет 12% годовых и внесенная сумма равна 2000р.;

2. в банк внесена сумма 5000р. под 20% годовых?

Решение.

1. S₅= 2000· (1+0,12 )⁵ = 1,12⁵ · 2000 ≈ 1,7623·2000=3524,6р.;

2. S₅= 5000· (1+ 0,2 )⁵ = 1,2⁵ ·5000 ≈ 2,4883·5000=12441,6 р.

Задача№2.

Банк начисляет 20% годовых на счет, на который внесли 5000р. Какая сумма будет на счете через 3 года?

1. при начислении банком простых процентов,

2. при начислении сложных процентов?

Решение.

1. при простом проценте начисления проводятся по формуле

Sn=S(1+np/100); S₃=5000·(1+0,2·3)=8000 р.;

1. при сложном проценте Sa=S·(1+p/100)ª;

S₃=5000·(1+0,2)³=5000·1,2³=5000·1,728=8640 р.

Теперь вы сами можете ответить на вопрос- какое условие выгоднее? Желая внести деньги в банк, человек обязательно должен ознакомиться с условиями: какие, простые или сложные проценты выплачивает банк, платит ли он «проценты на проценты»? Для этого надо внимательно изучить текст договора перед его подписанием.

Формула применима к любой ситуации, когда рассматриваемая величина за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определенное число процентов, считая от его предыдущего значения.

Задача№3.

При двух последовательных одинаковых процентных повышениях зарплаты сумма в 100р. обратилась в 125,44р. Определите, на сколько процентов повышалась зарплата?

Решение.

Воспользуемся формулой сложного процента Sa=S·(1+p/100)ª, где Sa=125,44, S=100, a=2.

(1+p/100)²=125,44/100;

p²+200p-2544=0;

p₁=12; p₂=-212.

P= 12%.

Задача№4.

Каков процент изнашивания станка, если его стоимость по истечении двух лет уменьшилась с 50тыс.р. до 46,08тыс.р.?

Решение.

Sa=S· (1-p/100)ª ;

1- p/100=√46080/50000;

p=100· (1-0,96 )=4.

p=4%.

Задача№5.

После двух последовательных снижений объема производства выпуск продукции сократился в 2 раза. Определите процент сокращения производства?

Решение.

Sa=S·(1-p/100)ª; Sa/S=1/2; a=2.

(1-p/100)²=1/2;

p²- 200p+5000=0;

p =100±50√2;

p₁ =100+50√2100(сокращение продукции не может быть больше 100%);

p₂=100-50√2≈30.

p≈30%.

Задача№6.

Банк обещал своим вкладчикам удвоить их сбережения за 5 лет, если они воспользуются вкладом «Накопление» с годовой процентной ставкой 16%. Выполнит ли банк свое обязательство?

Решение.

Начисления по вкладу идут по формуле сложного процента, поэтому:

Sa=S· (1+p/100)ª , где р=16%, a=5.

S₅=S· (1+0,16 )⁵ = S·1,16⁵ ;т е вклад увеличится в 1,16⁵ ≈ 2,1 раза, а это значит что банк выполнит свои обязательства.

Тема 5: «Задачи на концентрацию».

Разговор пойдет о задачах, решение которых связано с поняти­ями «концентрация» и «процентное содержание». Обычно в их условиях речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или более веществ.

Для решения данного вида задач необходимо знать, что такое концентрация вещества в смеси (растворе или сплаве). Пусть в смесь входят ком­поненты А, В и С с массами т_a, т_b, т_с соответственно. Будем считать, что масса т смеси равна сумме масс компонентов, т.е. т = = т_a + т_в + т_с. Тогда концентрацией компо­нента А по массе будем называть отношение массы этого компонента к массе всей смеси и обо­значать как C^*_a:

C_a =_.

Аналогично для компонентов С_в и С_с.

Концентрация — безразмерная величина. По­нятно, что сумма концентраций всех компонен­тов смеси равна 1, т.е. С_А + С_в + С_с = 1.

Процентным содержанием компонента А на­зывается число р_а = с_а• 100%, т.е. это концент­рация вещества, выраженная в процентах.

Аналогично р_в = с_в • 100% и р_с = с_с • 100%.

При решении задач данного типа мы будем поль­зоваться наглядной моделью — схемой, в кото­рой смесь (раствор, сплав) изображается в виде прямоугольника, разбитого на фрагменты в соот­ветствии с числом входящих в нее (в него) ком­понентов, а непосредственно при составлении уравнения — проследить содержание какого-ни­будь одного компонента.

1. Имеются два сплава меди со свин­цом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200 г сплава, содержащего 30% меди?

Решение. Изобразим каждый сплав в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента. По­скольку данные сплавы соединяют в новый (на схеме эту операцию обозначим знаком « + » меж­ду прямоугольниками, а тот факт, что третий сплав — результат смешения первых двух, покажем с помощью знака «=») и он содержит те же самые компоненты, изобразим получающийся сплав в виде такого же прямоугольника.

+ =

Сверху подпишем названия компонентов спла­вов. Обычно бывает достаточно указать первые буквы в их названиях (если они различны). В дан­ном случае — это буквы М (медь) и С (свинец).

Теперь внутри соответствующих фрагментов каждого прямоугольника запишем данное в ус­ловии процентное содержание элементов (в на­шем примере только меди), а под прямоугольни­ком укажем массу сплава (нам известна только масса третьего сплава).

В результате получим следующую модель рас­сматриваемой в задаче ситуации .

М С М С М С

15%

65%

30%

+ =

200г.

Решим задачу двумя способами.

I способ. Пусть масса первого сплава х г, тог­да масса второго сплава (200 - х)г . Дополним модель данными- подпишем эти величины под первым «общим» и вторым соответственно прямоугольниками. Зная, что сумма масс меди в исходных сплавах равна массе меди в новом сплаве, составим урав­нение

0,15x + 0,65(200 – x ) = 0,3 • 200,

из которого х = 140.

Следовательно, надо взять 140 г первого сплава и 200 - 140 = 60 г - второго.

II способ. Можно обозначить х г и у г массу первого и второго сплава соответственно. Очевидно, х + у = 200 — первое уравнение систему. Второе уравнение получим, приравняв сумму масс меди в исходных сплавах и в новом сплаве. Таким образом,

х + у = 200

0,15x + 0,65y = 0,3 · 200,

х = 140,

у = 60.

Ответ: 140 г, 60 г.

Обратите внимание на то, что в любом из рассмотренных способов решения мож­но было составить уравнение и на основе подсче­та масс свинца. Ясно, что если в первом сплаве медь составляет 15% от его общей массы, то на свинец приходится 85%. Аналогично во втором и третьем сплавах свинца будет 35% и 70% со­ответственно. Тогда, решая задачу первым спо­собом, получим уравнение

0,85 х + 0,35(200 - х) = 0,7 • 200.

Очевидно, оно равносильно уравнению 0,15х + 0,65(200 - х) = 0,3 • 200.

Из двух возможных уравнений обычно выби­рают то, что проще составить по условию задачи или легче будет решить.

2. В 4 кг сплава меди и олова содер­жится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы содержание олова в новом сплаве было равно 70%?

Решение. Обозначим компоненты сплава буквами М (медь) и О (олово). Пусть к сплаву надо добавить х кг олова, тогда масса нового сплава будет равна (4 + х) кг. Составим модель рассматриваемой в задаче ситуации.

М О О М О

40%

100%

70%

+ =

4кг xкг (4+x)кг

Так как сумма масс олова, указанных в левой части схемы (до смешения сплавов), равна массе олова в новом сплаве, можно составить уравнение

0,4 • 4 + х = 0,7(4 + _Х), откуда х = 4.

Ответ: 4 кг.

3. Свежие грибы содержат 90% вла­ги, а сушеные — 12% влаги. Сколько сушеных грибов получится из 10 кг свежих?

Решение: Введем обозначения: ГМ — гриб­ная масса, В — вода (влага). Прцесс сушки грибов состоит в удалении из них большей части влаги. Если принять за х кг массу сушеных грибов, то масса удаленной влаги будет равна (10-х) кг.

90%

100%

12%

ГМ В В ГМ В

- =

10кг (10- x)кг xкг

Можно составить уравнение на основе подсче­та масс влаги, учитывая, что она удаляется из грибов:

0,9 • 10-(10-х) = 0,12х.

Можно поступить иначе. Найдем процентное содержание грибной массы в свежих (10%) и в сушеных грибах (88%) и, учитывая, что она в результате сушки не изменилась, составим уравнение

0,1 • 10 = 0,88х.

4. Из 40 т железной руды выплавля­ют 20 т стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?

Решение.

Воспользуемся следующими обо­значениями: Ж — железо в руде и стали, П — примеси. В процессе плавки удаляется большая часть примесей. Пусть в руде их содержится х%. Составим вспомогательную схему.

Ж П П Ж П

x%

100%

6%

+ =

40т 20т 20 т

Рассуждая, как и в предыдущей задаче, придем к уравнению

0,01 • х • 40 - 20 = 0,06 • 20.

Или, выразив процентное содержание железа в руде и стали: (100-х)% и 94% соответствен­но приравняем массы железа в обоих случаях, получим равносильное уравнение

0,01 • (100-х) • 40 = 0,94 • 20, откуда х = 53.

Ответ: 53%.

Для тестов можно использовать задачи из задачника, представленного ниже, воспользоваться задачами из списка рекомендуемой литературы, дидактическими материалами.

Задачник.

1. Найти:

   1. 5% от 16л;

   2. 0,3% от 0,3кг;

   3. 50% от 30 человек;

   4. 37% от 3 тыс.р.;

   5. 200% от 60 штук.

1. Сравните результаты:

   1. 150 р. увеличили на50% и 100р. увеличили на 100%;

   2. 100р. уменьшили на 50% и 150р. уменьшили на75%;

   3. 100р. увеличили на 25% и 150р. уменьшили на20%?

1. В первом квартале цены выросли на 5%, во втором- на 10%, в третьем- на 15%. На сколько процентов выросли цены за год?

1. В первом случае тариф сначала был увеличен на 10%, а затем снижен на 10%, во втором – сначала увеличен на 20%, а затем снижен на 20%. В каком случае произошло более существенное изменение тарифа?

1. В городе А постоянно живут 10тыс. граждан. 85% из них не достигли пенсионного возраста. Сколько граждан достигли его?

1. По расчетам предпринимателей предприятие принесет 150% чистой прибыли. Какую прибыль может получить каждый из трех предпринимателей, затратив соответственно 300тыс.р., 2млн.р. и 900тыс.р.?

1. Подоходный налог в городе А установлен в размере 13%. До вычета налога 1% от заработной платы отчисляется в пенсионный фонд. Работнику начислено 50тыс.р. Сколько он получит после указанных вычетов?

1. Какой будет заработная плата после повышения ее на 30%, если до повышения она составляла:

   1. 10000р.;

   2. 54000р.?

1. В магазине идет распродажа товаров со скидкой в 15%. Заполните таблицу.

Старая цена	1000р.	2000р.	4500р.	13000р.
Новая цена

1. В городе А привнесении квартирной платы на 1 день позже установленного срока начисляется пеня в размере 0,1% от суммы платежа. Сколько придется платить в этом случае, если квартирная плата составила:

   1. 800р.;

   2. 1256р.;

1. Один ученик сказал: «одна треть всех учащихся класса- это 30% всех учащихся класса». Прав ли он?

1. В одном магазине висит объявление «Цены снижены в 1,2 раза», а в другом- «Цены снижены на 20%». В каком магазине выгоднее приобрести товар?

1. В магазине А цены сначала были повышены на10%, а потом снижены на 15%. В магазине В цены сначала были снижены на 15%, а потом повышены на 10%. Сравните новые цены в магазинах, если до изменений они были одинаковыми?

1. Найти, в каком случае первоначальная цена больше:

1. при скидке 5% заплачено 100р.;

2. при скидке 10% заплачено 90р.;

3. при скидке 20% заплачено 80р.

1. Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму надо найти заказ, чтобы заработать 2тыс.р.?

1. Какой должна быть заработная плата, чтобы после уплаты налогов и процентов по кредиту, составляющих в сумме 25%, получать10000р.?

1. В течение недели магазин получил 60тыс.р. дохода. Из них 15тыс.р. от продажи продовольственных товаров. Сколько процентов составил доход от продажи непродовольственных товаров?

1. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000р.на вклад, годовой доход по которому 12%. Какая сумма будет лежать на его счете через год; через 2 года; через6 лет?

1. Начальная сумма составляет 50000р. Ежемесячно она увеличивается на 11%. Какой будет эта сумма через:

1. 3 месяца;

2. 10 месяцев;

3. 2года;

4. 5 лет?

20. На каком из счетов через 3 года сумма будет больше, если вложены: на первый счет 10тыс.р. под 36% годовых, на второй 80тыс.р. под 19% годовых, а на третий 100тыс.р. под 10% годовых?

21.Уровень инфляции составляет в среднем 7% в месяц. На сколько возрастет инфляция за полгода?

22. Какой процент ежегодного дохода давал банк, если, положив на счет 13000р., вкладчик через два года получил 15730р.?

23. Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент уменьшилась со 125 до 80 р. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?

24.После двух повышений на одно и то же число процентов цена товара возросла с 3000р. до 4320р. На сколько процентов увеличилась цена товара при каждом повышении?

25. Какая сумма увеличится на 100тыс.р. при ставке 10% годовых за 5 лет?

На сколько лет нужно положить вклад в 20000р. под 10% годовых, чтобы получить не менее 100000р. дохода?

26. Владелец магазина дважды за год повышал цены на товары в среднем на 10%. На сколько процентов повысились цены на товары за год?

27. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за прибылью он увеличил цену на билет на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной?

28. Торговая база закупила партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше закупочной. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При продаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с закупочной ценой, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2р.?

29. Магазин выставил на продажу шубу, назначив цену на 150% выше оптовой. В конце сезона эта цена была снижена на 20%, а на распродаже весной новая цена была снижена еще на 40% и шуба была продана за 36000р. Какую прибыль получил магазин?

30. В комиссионном магазине цена выставленного на продажу товара каждый месяц снижается на 20% от предыдущей цены. Куртка была выставлена на продажу по цене 2000р. Сколько раз снижалась цена куртки, если она была продана за 1024р.?

31. Если положить на вклад «Юбилейный» некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на 20% от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик собирается положить деньги на этот вклад и два года подряд не пополнять его и не снимать с него деньги. Сколько рублей надо положить вкладчику, чтобы через два года вложенная им сумма увеличилась на 7920 рублей?

32. Морская вода содержит 5% соли. Сколько пресной воды надо добавить к 30 кг морской воды, чтобы она содержала 1,5% соли?

33. Из 10 кг свежих фруктов получает­ся 3,5 кг сушеных фруктов, содержащих 20% влаги. Чему равно процентное содержание влаги в свежих фруктах?

34.К 40%-ному раствору серной кис­лоты добавили 50 г серной кислоты, после чего ее концентрация увеличилась до 60%. Опреде­лите первоначальный вес раствора.

35. Если к сплаву меди и цинка доба­вить 20 г меди, ее содержание в сплаве станет равно 70%. А если к этому же сплаву добавить 70 г сплава, содержащего 40% меди, содержа­ние меди станет равно 52%. Определите перво­начальный вес сплава.

36. Имеются два раствора спирта в воде. Если смешать по 5л каждого раствора и добавить 5л воды, получится 20%-ный раствор спирта. Если же взять 4 л первого раствора, 2 л второго и добавить к ним 4 л 60%-ного раствора, то по­лучится 40%-ный раствор спирта. Чему равно про­центное содержание спирта в первом растворе?

37. В какой пропорции надо смешать 10%-ный и 35%-ный растворы аммиачной сели­тры, чтобы приготовить 15%-ный раствор?

38. В двух сосудах находятся растворы кислоты: в первом — 70%-ный, а во втором -46%-ный. Из первого сосуда перелили во второй 1 л раствора и перемешали жидкости. Затем из второго сосуда перелили в первый 1 л получив­шегося раствора и также перемешали. После это­го концентрация кислоты в первом сосуде стала равна 68%. Сколько жидкости было первона­чально во втором сосуде, если известно, что в первом ее было 10 л?

39. Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 р.?

40. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт в 50 000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

41. Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)

42. В комиссионном магазине цена товара, выставленного на продажу, ежемесячно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый месяц уменьшалась цена магнитофона, если, выставленный на продажу за 4000 рублей, он через два месяца был продан за 2250 рублей.