Проект "Квадратні рівняння"

Краса і підступність квадратних рівнянь.

Автор проекту: учитель математики Зеленодольської ЗШ № 2 І-ІІІ ступенів

Апостолівського району Орлова Л.М

.

січень 2016 рік

Краса і підступність квадратних рівнянь.

Тема «Квадратні рівняння » є однією з найбільш актуальних. Квадратні рівняння – це фундамент, на якому стоїть велична будівля алгебри. Вони знаходять широке застосування в різних розділах математики.

Анотація проекту.

Матеріал проекту «Краса та підступність квадратних рівнянь» містить сторінки історії математики, теоретичні викладки способів та алгоритми розв'язування квадратних рівнянь, показано практичне застосування – розв'язування квадратних рівнянь різними способами і розв'язування рівнянь, що зводяться до квадратних.

У шкільній програмі розглядаються докладно п'ять способів розв'язання квадратних рівнянь, а в математичній науці їх більше.

До історії математики на уроках звертаємося

дуже рідко, часто учні не знають вчених,

які внесли свій вклад у розвиток

математичної науки.

• Матеріал проекту «Краса та підступність квадратних рівнянь» містить сторінки історії математики, теоретичні викладки способів та алгоритми розв'язування квадратних рівнянь, показано практичне застосування – розв'язування квадратних рівнянь різними способами і розв'язування рівнянь, що зводяться до квадратних. У шкільній програмі розглядаються докладно п'ять способів розв'язання квадратних рівнянь, а в математичній науці їх більше. До історії математики на уроках звертаємося дуже рідко, часто учні не знають вчених, які внесли свій вклад у розвиток математичної науки.

Анотація проекту.

Даний проект може бути використаний вчителями математики на уроках та спецкурсах з математики при вивченні теми «Квадратні рівняння», учнями для розширення і поглиблення знань при розв'язуванні квадратних рівнянь різними способами. Учні, використовуючи проект, можуть самостійно вивчати дану тему. Даний проект дозволить розширити область математичних знань учнів по темі за рахунок вивчення методів, яким приділяється мало часу в шкільному курсі математики або взагалі не приділяється.

• Даний проект може бути використаний вчителями математики на уроках та спецкурсах з математики при вивченні теми «Квадратні рівняння», учнями для розширення і поглиблення знань при розв'язуванні квадратних рівнянь різними способами. Учні, використовуючи проект, можуть самостійно вивчати дану тему. Даний проект дозволить розширити область математичних знань учнів по темі за рахунок вивчення методів, яким приділяється мало часу в шкільному курсі математики або взагалі не приділяється.

Цілі

• Познайомити з історією квадратних рівнянь
• Дати означення квадратного рівняння
• Розглянути алгоритм розв'язування квадратних рівнянь
• Вивчити теорему Вієта та її окремі випадки
• Знайти цікавий матеріал по даній темі(кросворди, вірші)

Завдання

• Вивчити літературу з історії прийомів розв'язання квадратних рівнянь(з давнини до наших днів) .
• Провести аналіз навчально- методичної літе-ратури по розвязуванню квадратних рівнянь.
• Узагальнити накопичені знання про квадратні рівняння та способи їх розв'язування.
• Знайти ефективні прийоми швидкого розв'язування квадратного рівняння

Завдання

• Розглянути різні способи розв'язування квадратних рівнянь.
• Розробити дидактичний матеріал з розв'язання квадратних рівнянь в допомогу учням, що захоплюються математикою і вчителям для проведення уроків та факультативних занять.
• Наочно продемонструвати застосування наукових відкриттів у житті.
• Розширювати кругозір учнів, стимулювати їх пізнавальну активність і творчість.

Теми дослідження учнів

1. "Маршрут" досліджень історії квадратних рівнянь 1група Стародавній Вавилон та Діофант 2 група Індія та Європа.

2. 3 група Теоретичні відомості про квадратні рівняння.

3. 4 група Традиційні способи розв’язування квадратних рівнянь

4. 5 група Нестандартні способи розв’язування квадратних рівнянь

"Маршрут" досліджень історії квадратних рівнянь

Задача Діофанта

«Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а добуток -96»

Діофант міркує таким чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, тому що якщо б вони були рівні, то їх добуток дорівнював би не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто 10+х, інша ж менше, тобто 10-х. Різниця між ними 2х. Звідси рівняння(10+х)(10-х)=96 або ж 100-х²=96 , х²-4=0 Звідси х=2.Одне з шуканих чисел дорівнює 12, інше 8. Розв’язок х=-2 для Діофанта не існує, оскільки грецька математика знала тільки додатні числа.

Вавілон

Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття від'ємного числа і загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.

Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені.

"Маршрут" досліджень історії квадратних рівнянь

Індія

Задача Мухаммеда ібн Муси ал-Хорезмі "Квадрат і 10 коренів рівні 39". Це завдання відповідає рівнянню х²+10х=39. Ал-Хорезмі пропонує такий шлях розв’язку: якщо б у нас був квадрат зі стороною (х+5), тоді його можна було б розбити на квадрат зі стороною х, два прямокутника 5х і квадрат зі стороною 5 (див. малюнок). Нам відомо, що х 2+2*5х=39. Тоді площа великого квадрата 39+25=64, а значить його сторона дорівнює 8. Але сторона цього квадрата дорівнює х+5, тобто

х=8- 5=3. Відповідь:3.

Європа XIII-XVII ст.

Формули розв'язування квадратних рівнянь за зразком аль-Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202 р. італійським математиком Леонардо Фібоначчі.Книга сприяла поширенню алгебраїчних знань в Італії, Німеччині, Франції та інших країнах Європи.

Теоретичні відомості про квадратні рівняння

Означення квадратного рівняння

Квадратним рівнянням називається рівняння виду ах²+вх+с=0, де х – змінна, а,в,с – деякі числа, причому а≠0. Числа а, в, с – коефіцієнти квадратного рівняння. Число а – перший коефіцієнт , в – другий коефіцієнт , с – вільний член . Якщо у квадратному рівнянні ах²+вх+с=0 хоча б один з коефіцієнтів або дорівнює нулю, то таке рівняння називається неповним квадратним рівнянням . Квадратне рівняння, в якому коефіцієнт

а=1 називається зведеним квадратним рівнянням

Якщо кросворд розгада но вірно, то у виділеному вертикальному стовпчику мож на прочитати термін, що відноситься до теми

Теоретичні відомості про квадратні рівняння

1 К

1

3

3 Р

і

в

а

в

2

2 Т

д

н

р

и

о

р

7

с

7 А

5 К

а

5

ч

л

9 Н

т

4 К

и

9

р

4

о

л

6 Д

н

и

р

6

о

е

е

н

п

ф

и

е

і

ь

е

ф

8 Р

н

о

м

о

11 В

11

н

8

е

ь

в

і

і

і

ф

е

10 В

12

а

н

12 В

в

л

т

10

ц

н

н

а

ь

е

і

и

і

є

в

ч

я

н

т

е

и

н

т

і

н

н

л

й

н

и

т

о

я

й

н

Класифікація квадратних рівнянь :

Квадратні

рівняння

Стандартного

виду

Інші

Повні

Неповні

Зведені

Незведені

Зведені

Незведені

Класифікація неповних квадратних рівнянь :

a ≠ 0 ; b ≠ 0 ;

c = 0

a ≠ 0 ; b = 0 ;

c ≠ 0

a ≠ 0 ; b = 0 ;

c = 0

х1 = 0;

х2 = –

х = 0

а і с мають

різні знаки

а і с мають

одинакові знаки

Дійсних

коренів немає

Таємниці

квадратних рівнянь

1). Якщо а + в +с = 0 , то х 1 = 1; х 2 = с/а

2). Якщо а + с = в , то х 1 = -1; х 2 = - с/а

3). Якщо ах 2 – ( а 2 + 1)х + а = 0 , то

х 1 = а; х 2 = 1/а

4). Якщо ах 2 – ( а 2 - 1)х – а = 0 , то

х 1 = а ; х 2 = -1/а

5). Якщо ах 2 + (а 2 + 1)х + а = 0 , то

х 1 = -а ; х 2 = - 1/а

6). Якщо ах 2 + ( а 2 - 1)х – а = 0 , то

х 1 = - а ; х 2 = 1/а

Теоретичні відомості про квадратні рівняння

Зведене квадратне рівняння

Квадратне рівняння,в якому старший коефіцієнт дорівнює одиниці .

Способи розв'язування квадратних рівнянь:

1. Розкладання на множники лівої частини рівняння.

2. Метод виділення повного квадрата.

3. Р озв’язування квадратних рівнянь за формулою.

4. Р озв’язування квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта.

5. Р озв’язування квадратних рівнянь способом «перекидання».

6. Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

7. Графічне розв’язування квадратних рівнянь.

8 Р озв’язування квадратних рівнянь за допомогою лінійки і циркуля.

9. Р озв’язування квадратних рівнянь за допомогою номограми.

10.Геометричний спосіб розв'яз ув ання квадратних рівнянь

0 , то Якщо DЯкщо D = 0 , то 2 кореня Рівняння не має коренів 1 корінь " width="640"

Алгоритм розв'язування квадратних рівнянь:

ах ² + b х+с=0

Визначити

коефіцієнти а, b ,с

Обчислити дискримінант

D=b ² -4ас

Якщо D0 , то

Якщо D

Якщо D = 0 , то

2 кореня

Рівняння не

має коренів

1 корінь

Нестандартні завдання на розв'язування квадратних рівнянь :

Нестандартні завдання на розв'язування квадратних рівнянь:

КАРТА ШВИДКОГО РАХУНКУ«РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПОВНИХ КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬЗА ДОПОМОГОЮ ТЕОРЕМИ ВІЄТА» ВАРІАНТ 1

ВКАЗІВКА: Дільники 72: 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72

1.

2.

х 2 +73х+72=0

х 2 −38х+72=0

х 1 ·х 2 =

3.

х 1 +х 2 =

х 1 ·х 2 =

4.

х 2 −21х−72=0

х 1 +х 2 =

х 2 +14х−72=0

5.

х 1 ·х 2 =

х 1 =

х 1 ·х 2 =

х 2 −18х+72=0

6.

х 1 +х 2 =

х 1 =

х 2 =

х 2 +х−72=0

х 2 =

х 1 +х 2 =

х 1 =

х 1 ·х 2 =

7.

х 2 =

х 1 =

8.

х 2 +71х−72=0

х 1 +х 2 =

х 1 ·х 2 =

х 1 +х 2 =

х 2 −34х−72=0

х 2 =

х 1 =

9.

х 1 ·х 2 =

х 1 ·х 2 =

х 2 =

х 2 −27х+72=0

10.

х 1 =

х 1 +х 2 =

х 2 +22х+72=0

х 1 +х 2 =

х 2 =

х 1 =

11.

х 1 ·х 2 =

х 2 =

х 2 +6х−72=0

х 1 =

12.

х 1 +х 2 =

х 1 ·х 2 =

х 1 +х 2 =

х 2 −17х+72=0

х 2 =

х 1 ·х 2 =

х 1 =

х 2 =

х 1 ·х 2 =

х 1 =

х 1 +х 2 =

х 2 =

х 1 +х 2 =

х 1 =

х 2 =

х 1 =

х 2 =

Нестандартні завдання на розв'язування квадратних рівнянь:

КАРТА ШВИДКОГО РАХУНКУ«РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПОВНИХ КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬЗА ДОПОМОГОЮ ТЕОРЕМИ ВІЄТА» ВАРІАНТ 2

ВКАЗІВКА: Дільники 72: 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72

1.

2.

х 2 +17х+72=0

х 2 −6х−72=0

х 1 ·х 2 =

3.

х 1 +х 2 =

х 1 ·х 2 =

4.

х 2 −22х+72=0

х 1 +х 2 =

х 2 +27х+72=0

5.

х 1 ·х 2 =

х 1 =

х 1 ·х 2 =

х 2 +38х+72=0

6.

х 1 +х 2 =

х 1 =

х 2 =

х 2 −71х−72=0

х 2 =

х 1 +х 2 =

х 1 =

х 1 ·х 2 =

7.

х 2 =

х 1 =

8.

х 2 +34х−72=0

х 1 +х 2 =

х 1 ·х 2 =

х 1 +х 2 =

х 2 −14х−72=0

х 2 =

х 1 =

9.

х 1 ·х 2 =

х 1 ·х 2 =

х 2 =

х 2 −х−72=0

10.

х 1 =

х 1 +х 2 =

х 2 +18х+72=0

х 1 +х 2 =

х 2 =

х 1 =

11.

х 1 ·х 2 =

х 2 =

х 2 −73х+72=0

х 1 =

12.

х 1 +х 2 =

х 1 ·х 2 =

х 1 +х 2 =

х 2 +21х−72=0

х 2 =

х 1 ·х 2 =

х 1 =

х 2 =

х 1 ·х 2 =

х 1 =

х 1 +х 2 =

х 2 =

х 1 +х 2 =

х 1 =

х 2 =

х 1 =

х 2 =

Проблемні питання

• Яке рівняння є квадратним та які існують способи знаходження його коренів?

• У чому суть теореми Вієта?

• Чи можна розв’язати інші рівняння, використовуючи знання про квадратні рівняння?

Навчальні питання

Що називається рівнянням?

Що означає розв'язати рівняння?

Яке рівняння називається квадратним рівнянням?

Які види квадратних рівнянь існують?

Які квадратні рівняння називаються неповними?

Які квадратні рівняння називаються зведеними?

Як розв’язати неповне квадратне рівняння?

Як розв’язати квадратне рівняння за формулою?

Як розв’язати зведене квадратне рівняння?

Розкладання на множники лівої частини рівняння

Спосіб перекидання

Метод виділення повного квадрата

За властивостю коефіцієнтів рівняння

За допомогою лінійки і циркуля

Метод виділення повного квадрата

Застосування теореми Вієта

За допомогою номограми

Графічний спосіб

Геометричний спосіб

Способи розв'язування квадратних рівнянь:

Базові

Просунуті

1 урок проекту

• Постановка основного питання і проблемних питань;
• Формулювання дидактичних цілей та методичних завдань;
• Вибір тем індивідуальних досліджень;
• Визначення творчого назви проекту;
• Бесіда про квадратні рівняння, їх значення, історії;
• Первинна анкета про знаннях учнів.

2 урок проекту

• Формування груп;
• Обговорення можливих джерел інформації;
• Обговорення плану роботи в групі;
• Способи розв'язування квадратних рівнянь.

3 урок проекту

• Способи розв'язування квадратних рівнянь;
• Лекція по теорії розв'язування квадратних рівнянь;
• Перевірка знань (самостійна робота, тест, практична робота, графічний диктант);
• Робота учнів у групі, оговорення заідань кожного в групі.

4 урок проекту

• Самостійна робота в групах: підготовка презентації, буклету, кросвордів, словника термінів (робота вдома).
• Консультування.

5 урок проекту

• Огляд знань з теорії та практики розв'язування квадратних рівнянь різними способами.
• Захист проектів.
• Подання підсумків роботи за темами дослідження.

Очікувані результати

Після завершення проекту учні зможуть:

• розв'язувати квадратні рівняння декількома способами;
• складати алгоритми для розглянутих способів розв'язування рівнянь;
• обирати раціональний спосіб розв'язування квадратних рівнянь.
• бачити проблему і намісати шляхи її рішення;
• самостійно працювати з великим об'ємом інформації;
• створювати комп'ютерну презентацію;
• створювати кросворди,буклети та презентації.
• працювати в групі.

Дидактичні матеріали, розробки урочних та позакласних заходів проекту

Після завершення проекту накопичений такий матеріал:

№ 1 Презентація «Історія Квадватних рівнянь»

№ 2 Дослідницька робота - презентація «Історія виникнення квадратних  рівнянь»

№ 3 Позакласний захід- презентація «Прийоми усного розв’язування квадратного рівняння»

№ 4 Мультімедійний тренажер «Розв’язування квадратних рівнянь»

№ 5 Презентація «Шість способів розв’язування квадратних рівнянь»

№ 6 Презентація «10 способів розв’язування квадратних рівнянь»

Дидактичні матеріали, розробки урочних та позакласних заходів проекту

Після завершення проекту накопичений такий матеріал :

№ 7 Самостійна робота «Повні квадратні рівняння та координатна площина» (дидактичний матеріал)

№ 8 Карта швидкого рахунку «Теорема Вієта» 2 варіанта та відповіді до неї.(дидактичний матеріал)

№ 9 Презентація «Невідоме про відомі квадратні рівняння»

№ 10 Індивідуальні завдання «Квадратні рівняння»

48 варіантів та відповіді .(дидактичний матеріал)

№ 11 Презентація «Теорема Вієта»

№ 12 «Квадратні рівняння» Довідник,СР, Тести, КР.(дидактичний матеріал)

№ 13 «Квадратні Рівняння» 3 варіанта з самоперевіркою

(дидактичний матеріал)

№ 14 Урок-подорож «Бій з драконом»

Презентація-позаурочний захід