Проект урока "Как решить треугольник"

• Проект «Как решить треугольник

2017 г.

Образовательные стандарты

Основополагающий вопрос

• Что значит решить треугольник?

Учебные вопросы

• Как решить треугольник по двум углам и стороне?
• Как решить треугольник по двум сторонам и углу?
• Как решить треугольник по трем сторонам?
• Как измерить расстояние до недоступной точки?

Учебные предметы, которые затрагивает учебный предмет:

Проблемные вопросы:

• Для чего нам нужны теоремы синусов, косинусов?
• Какие основные типы задач можно выделить?
• Каким образом связана теорема Пифагора и теорема косинусов?
• Где в реальной жизни нам понадобиться решить треугольник?

Участники проекта:

Этапы работы над проектом:

• Организация групп
• Составление плана работы
• Распределение обязанностей
• Сбор и обработка информации
• Оформление результатов
• Защита проекта

Предполагаемый результат:

• Находить все элементы треугольника по двум сторонам и углу треугольника
• Находить все элементы треугольника по двум углам и стороне треугольника
• Находить все элементы треугольника по трем сторонам

• « Если я знаю,

что я знаю мало,

я добьюсь того,

чтобы

знать больше!»

Проект «Как решить треугольник?»

• Группа «Историки»

• Кто сказал, что математика скучна,
• Что она сложна, суха, тосклива?..
• В этом вы не правы господа,
• Знайте: математика – красива!

• Тригонометрия - «измерение треугольников» - развивалась, прежде всего в связи с потребностями астрономии, географии, навигации. Поэтому её зачатки были в Древнем Вавилоне, где астрономия получила значительное развитие.
• Индийский ученый Ариабхат впервые ввел термин «синус».

• При переводе арабских математических текстов в 9 -10 веке синус (sinus) – изгиб, кривизна.
• Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е . “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cos a = sin( 90° - a)).
• Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой,

;

;

Теорема косинусов

.

• Впервые теорема косинусов была доказана учёным –математиком Аль-Бируни (973-1048 г.г
• Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

• Теорему косинусов знали еще древние греки, ее доказательство содержится во 2 книге «Начал» Евклида как обобщенная теорема Пифагора.

• Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай, теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то соs А = соs 90° = 0 и по формуле получаем , то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Следствия

• В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

• Пусть а, в и с – стороны треугольника АВС, причем а- его наибольшая сторона.
• Если ,то треугольник тупоугольный.
• Если , то треугольник остроугольный.
• Если , то треугольник прямоугольный.

Теорема синусов

• Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

• Обобщенная теорема синусов
• Если в треугольнике против сторон a , b , c лежат углы  ,  ,  соответственно,
• то,
• где R - радиус окружности, описанной около треугольника.

Оказывается!

• Это интересно!
• Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на вашей ладони. Протяните руку (любую) и разведите как можно сильнее пальцы (как на плакате).

Выводы:

• С помощью теоремы косинусов и теоремы синусов можно будет полностью решить треугольник, т.е. вопрос о том, как зная одни из основных элементов треугольника (их 6: 3 угла и 3 стороны), найти другие.

Проект «Как решить треугольник?»

• Группа «Прямоугольный треугольник»

Цель группы:

• Часто знает и дошкольник,
• Что такое треугольник.
• А уж нам-то как не знать.
• Но совсем другое дело –
• Очень быстро и умло
• Треугольники «решать».

Теорема Пифагора

Тригонометрические соотношения

в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Выводы:

• Все геометрические задачи сводятся к решению прямоугольных треугольников

Проект «Как решить треугольник?»

• Группа

«Произвольный треугольник»

Цель группы:

• Кто ничего не замечает,
• Тот ничего не изучает,
• Кто ничего не изучает,
• Тот вечно хнычет и скучает.

• Решить треугольник – значит найти одни элементы треугольника, зная другие его элементы.
• А в этом нам помогут теоремы косинусов и синусов, их мы и будем применять на практических заданиях

• Возникает вопрос:
• Сколько же нужно знать, и какие именно элементы в произвольном треугольнике, чтобы найти остальные (три элемента)?
• Две стороны и угол между ними;
• Одну сторону и два прилежащих к ней угла;
• Три стороны.
• Таким образом, для решения треугольника, т.е. для нахождения трех его элементов, когда известны три другие его элементы, среди которых, по крайней мере, одна сторона, необходимо иметь три независимых соотношения между его элементами.

Выводы:

• Умение решать треугольники может пригодиться и на практике.

Проект «Как решить треугольник?»

• Группа
• «Практики»

Цель группы

Геометрия -

есть искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах

• Огромный вклад в развитие прикладной геометрии внес китайский трактат  “Математика морского острова”  в котором приведены решения различных задач на определение расстояний до предметов, расположенных на отдаленном расстоянии, и вычисление недоступных высот. Задачи  Лю Хуэя  довольно сложны. Решение своих задач он обычно давал в виде правил. Эти задачи имели большую практическую ценность и поэтому получили широкое распространение не только в Китае, но и далеко за его пределами.

Задача №1

• Для определения ширины непроходимого болота с вертолета, находящегося на высоте h , измерили углы α и β . Найдите ширину болота.

Дано: С D ‌ D В;

Найти: АВ.

Решение:

1. Из прямоугольного треугольника А DC находим:

• АС = h \ sin α

2. Из АВС по теореме синусов имеем:

АВ\ sin( α - β ) = AC\sin β

AB = AC sin( α - β )\ sin β =

= h sin( α - β ) \ sin β sin

• Ответ: h sin( α - β ) \ sin β sin

Задача №2

Вершина горы видна из точки А под углом 38°, а при приближении к горе на 200 м вершина стала видна под углом 42°. Найти высоту горы.

Дано: АВ = 200 м,

Найти: С D .

Решение. 1. Из СВА по теореме синусов имеем равенство CD\ sin α = AB\ sin γ , откуда

CB = AB sin α\ sin γ .

2. Угол β — внешний угол АВС, поэтому β = α +γ, откуда γ = β – α. 3. СВ = 200 sin α \sin( β - α ) .

4. Из СВ D находим

С D = СВ sin β = 200 sin α sin β \ sin( β - α ) = 1180 (м).

Ответ: С D = 1180 м.

Проверочная работа

• Найти расстояние от точки А, находящейся на берегу, до корабля.
• Дано:

• Найти расстояние от острова, находящегося на озере, до пункта В на берегу (остров О принять за точку).

Найти: АК

Дано: А = α; B = β, AB = b .

Найти: ОВ.

Выводы:

• Мы рассмотрели два типа практических задач на применение теоремы синусов и косинусов, но их гораздо больше. На следующих занятиях мы продолжим знакомство с ними.

Проект «Как решить треугольник?»

Цель группы:

Но для решения треугольников необходимы значения некоторых углов:

Зная основные тригонометрические формулы

и имея таблицу значений углов для синуса и тангенса, можно вычислить значения углов косинуса и котангенса

Выводы:

• В результате работы над проектом

• «Всякое знание остается мертвым, если в учащихся не развивается инициатива и самодеятельность: учащегося нужно приучать не только к мышлению, но и к хотению.»
• Н.А. Умов