Производная функции

Дистанционные задания по алгебре для учеников

10 классов

Январь, урок №1 по теме:

Производная.

Подпишите работу

ФИО ____________________________________________________________________________

Задание: Прочтите текст. Внимательно разберите приведенные примеры. Выполните задания.

Определение: Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x₀. Приращение аргумента Δx – не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Δy и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x₀ и обозначают f’(x₀).

Теперь давайте посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции:

Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x₀ касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

О пределение: Производная функции в точке x₀ равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс. И так производная нашей функции равна:

Алгоритм нахождения производной функции y=f(x).

а) Зафиксировать значение x, найти f(x).

б) Найти приращение аргумента x+ Δx, и значение приращения функции f(x+ Δx).

в) Найти приращение функции Δy= f(x+ Δx)-f(x).

г) Составить соотношение: Δy/Δx

д) Вычислить - это и есть производная нашей функции.

Если функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x).

Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда просто напросто нельзя провести касательную.

И так запишем выше сказанное как определение:

Определение: Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но касательную провести нельзя, а значит и производной не существует.

Пример 1. Найти производную функции y=5x²

Решение: Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.

1)Для фиксированного значения x, значение функции y=5x²

2)В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=5(x+ Δx)²=5(x²+2xΔx+Δx²)

3)Найдем приращение функции:Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 5x²+10xΔx+5Δx²-5x²=10xΔx+5Δx²

4)Составим соотношение:

5)Найдем предел:

На отдельном листочке выполните решение заданий. Верный вариант ответа обозначьте кружком.

1. Определите производную функции y = 3x

а) 3x в) –3

б) 3 г) 5x

2. Определите производную функции y = 3x²+1

а) 3x в) 6x

б) 2x г) 1

3. Определите производную функции y = –5x³

а) –15x в) –15x²

б) 15x г) 15x²

4. Определите производную функции y = –3x³+2x²

а) –9x в) –9x² – 4

б) 9x²+2 г) –9x²+4x