Производная функции

Тема: Производная функции.

Цель: Ввести понятия «производная функции», научить обучающихся находить производную функции в точке по определению.

Определения: Производная функции в точке, производная функции, дифференцирование.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Добиться дисциплины в классе. Проверить готовность учеников к уроку, мобилизовать внимание.

1. Актуализация знаний.

2. Введение нового материала.

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке [a;b]. Точка x [a;b]. В точке x функция y=f(x) имеет значение f(x).Точка (x+∆x) [a;b]. В точке (x+∆x) функция y=f(x) имеет значение f(x+∆x). Разность (x+∆х – x) - приращение аргумента. Обозначается ∆x.

Р азность f(x+∆x) – f(x)- приращение функции. Обозначается ∆ y, т.е.

∆y = f(x+∆x) – f(x).

Составим отношение

.

Если ∆x 0, то

.

Этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x.

Определение: Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Обозначают производную : f'(x) или или . Обычно, если данная функция обозначена буквой у, то ее про­изводная может быть обозначена у', читать: «производная функции у» или , читать: «производная функции у по х». Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может быть обозначена f '(х), читать: «производная функции f(x)».

Определение: Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Функция y=f(x), которая имеет производную в точке x, называется дифференцируемой в этой точке. Функция y=f(x), которая имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Общее правило дифференцирования (нахождения про­изводной) следующее:

1) найти приращение ∆y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента х+ ∆x и x;

2) найти отношение ∆y/∆x, для этого полученное выше равенство разделить на ∆x;

3) найти предел отношения ∆y/∆x при ∆x →0.

Еще Софья Ковалевская говорила : “Математик должен быть поэтом в душе”. Приведу стихотворение (из учительского фольклора) о производной с использованием таблицы алгоритмического поиска производной.

Пример 1. (Учитель на доске, ученики записывают в тетрадь) Найти производную функции у = х³ + 1 в любой точке x.

Решение. 1) ∆y = (x + ∆x)³ + 1 — (х³ + 1).

По выполнении действий:

∆y = Зx²∆x+Зx∆x ²+∆x ³;

2) ∆y/∆x=3x² + Зx∆x+∆x ²;

3) у'= lim(3x²+3x∆x+∆x ² )= 3x²+3x0+0 = 3x².

∆x→0

Пример 2. (учитель с классом) Найти производную функции .

Решение: Составим отношение:

Значит, .

Пример 3. (Учитель с классом) Найти производную функции f(x)=x

Решение:

(x)'=1

Пример 4. (Учитель с классом) Найти производную функции f(x)=5x+7.

Решение: Составим отношение:

. Но

Значит, (5x+7)'=5.

Пример 5. (Ученики выполняют самостоятельно в тетрадях) Найти производную функции f(x)=ax+b.

Решение: Составим отношение:

(ax+b)'=a.

Замечание: Заметим, что производная линейной функции у= kx+b есть величина постоянная, равная k.

Пример 6. (Один ученик у доски, остальные – в тетрадях) Найти производную функции f(x)=C (Const)

Решение:

Таким образом, (C)'=0

1. Решение упражнений

1. Вычислите ∆y/∆x в точке х₀, если: а) у=2х², х₀ = 1, ∆x равно 0,5; 0,1; 0,01; б) у=х², х₀ = 1, ∆x равно 0,5; 0,1; 0,01.

2. К какому числу стремится отношение ∆y/∆x при ∆x→0, если

а) ∆y/∆x =8 х₀ +4 ∆ х, х₀ равно 2; -1;

б) ∆y/∆x =3 х₀²+3 х₀ ∆ х +(∆ х) ², х₀ равно 1; -21;

в) ∆y/∆x = -2 х₀ + ∆ х, х₀ равно 1; 3?

1. Пользуясь определением производной, найдите значения производной функции у, если:

а) у = х² - 3х в точках -1; 2;

б) у=2х³ в точках 0; 1;

в) у =4 - х² в точках 3;0.

Учитель с учениками обсуждают полученные результаты.

1. Домашнее задание.

1. Пользуясь определением производной, найти значения производной функции у в точке, если:

1. у = х² - 3х +7 в точках -3; 4; 7;

2. у = х² - 9х - 18 в точках -1;2;

3. у =4 – 6х + х² в точках -2; 2;

4. у=2х³- 29х - 18 в точках -1; 3;

5. у=2х³ +4х² - 11х - 13 в точках 0;1;

6. у=-3х³ -42х² -24х - 1 в точках 1; 4,

7. , в точке 1.

2. Пользуясь определением производной, найти производную функции у, если:

1. ,

2. ,

3. у = 5 − 6x ,

4. у= 4 − 7x,

5. ,

6. ,

7. у = 2х² - 13х +3,

8. у=-3x²-13x,

9. у=7x²+3x,

10. у =4 – 5х + 2х²,

11. у = 3х² - 2х – 8,

12. у=х³- 9х – 4,

13. у=3х³ - 4х² - 8х – 4,

14. у =-2х³ -4х² -4х,

15. у = ,

16. у = ,

17. 

1. Подведение итогов урока.

Вопросы:

1) Что называется приращением аргумента?

2) Что называется приращение функции?

3) Что называется производной функции y = f(x) в точке x?

4) Как называется операция нахождение производной?

5) Какая функция называется дифференцируемой в точке?

6) Какая функция называется дифференцируемой на отрезке?

Отметить учащихся, активно работавших на уроке.