Производная функции

Министерство здравоохранения Кузбасса

Новокузнецкий филиал

Государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения

«Кузбасский медицинский колледж»

Дифференциальное исчисление

Шилепина Н. И., преподаватель математики

г. Новокузнецк, 2020

Задача

• Сколько надо ввести единиц инсулина пациенту, если его анализ на сахар имеет вид 1150 мл - 27,5 г/л

1 ЕД расщепляет 4 г сахара

Решение: 1) 27,5 г – 1000 мл

х г – 1150 мл

х = 31,625 г глюкозы

2) 31,625 : 4 = 7,9 ЕД

Ответ: 7,9 ЕД

Производная функции

• Что называют производной функцией?

Произво́дная  функции — определяется как  предел  отношения  приращения функции  к приращению её  аргумента  при стремлении приращения аргумента к  нулю , если такой предел существует.

ФОРМУЛЫ ПРОИЗВОДНЫХ

• ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ РАВНА…

• ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ РАВНА…

ФОРМУЛЫ ПРОИЗВОДНЫХ

• ПРОИЗВОДНАЯ ДРОБИ РАВНА…

• ПОСТОЯННЫЙ МНОЖИТЕЛЬ МОЖНО…

Сложная функция

• Сложная функция – функция от функции.
• Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией.

Примеры вычисления

•   Вычислите производную функции

у = ln(x 3  + )

Вычислите производные:

Задача 1

• Пусть численность популяции бактерий описывается функцией P(t) = 3000 + 100, где t – время, измеряемое в часах. Определить скорость роста популяции и ее значение через 5 часов.

Решение: для решения данной задачи используем физический смысл производной. Физический смысл производной – мгновенная скорость изменения некоторого процесса в определенный момент времени.

Итак, скорость роста популяции бактерий представляет производную от функции P(t):

1).

2).особей в час.

Ответ: скорость роста популяции прямо пропорциональна времени и через пять часов равна 1000 особей в час.

Задача 2

• Уравнение движения точки имеет вид:x(t) = 100 + 2t+4 (м). Найти зависимость скорости движения материальной точки от времени.

Решение: применяя физический смысл производной .

.

Ответ: .

Задача 3

• Материальная точка совершает гармоническое колебание по закону . Найти скорость точки в момент времени t = 0,5 с.

Решение: используя физический смысл производной, определим скорость точки.

Ответ: скорость точки в момент времени t = 0,5 с, равна .

Задача 4

• Концентрация раствора изменяется с течением времени по закону Найти скорость растворения.

Решение: мгновенная скорость химической реакции есть производная от функции x по аргументу t. Тогда получаем, Для вычисления производной функции , воспользуемся формулой .

.

Ответ: скорость растворения .

Задача 5

• Зависимость между количеством вещества Q, полученной в некоторой химической реакции, и временем t выражается формулой: . Определить скорость реакции.

Решение: .

Так, как функция является сложной, то для вычисления производной воспользуемся формулой:

.

Ответ: скорость реакции .

Домашнее задание

1. Пусть численность популяции бактерий описывается функцией P(t) = 2000 + 200, где t – время, измеряемое в часах. Определить скорость роста популяции и ее значение через 3 часа.

2. Уравнение движения точки имеет вид:

x(t) = 200 + 3t+4 (м). Найти зависимость скорости движения материальной точки от времени.

3. Материальная точка совершает гармоническое колебание по закону . Найти скорость точки в момент времени t = 1 с.

4. Концентрация раствора изменяется с течением времени по закону Найти скорость растворения.

5. Зависимость между количеством вещества Q, полученной в некоторой химической реакции, и временем t выражается формулой: . Определить скорость реакции.

Спасибо за внимание!!!