Производная и ее геометрический смысл

Производная и её геометрический смысл

Ход урока

1. Организационный этап. Постановка цели. Мотивация учебно - познавательной деятельности учащихся

2. Повторение.

Задания для учащихся

№1Самостоятельная работа в виде теста.

На листе бумаги записаны два столбика: в первом выписаны различные функции, а во втором – различные производные. Для каждой функции из первого столбика найдите ее производную из второго столбика и запишите ответ. Самопроверку провести по ответам на экране (за каждый правильный ответ выставляется 1 балл в лист опроса).

Функция Ее производная

1) 10 х + 2x + 3 а) 14 cos 7x + 1

2) 2 sin 7x + x б) 15 x – x

3) 3 x + x в) 20 x + 2

4) 4 cos( 2 x) г) 0

5) sin x + cos x д) -8 sin( 2x )

№2 Верно ли утверждение. Проверка устно ( за каждый правильный ответ выставляется 1 балл в лист опроса)

1. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему

2. Если к графику функции в некоторой точке провести касательную, то угловой коэффициент касательной равен значению функции в этой точке.

3. Значение тангенса острого угла есть - число отрицательное.

4. Угловой коэффициент касательной к графику функции равен тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс

5. tg45⁰ = 1, tg135⁰ = -1

6. Производная линейной функции равна угловому коэффициенту.

7. Если касательная к графику функции в некоторой точке параллельна оси абсцисс, то значение производной функции в этой точке равно нулю.

3. Основная часть урока

Класс разбит на 4 группы: 1) ученики

2) методисты

3) экономисты

4) эксперты

Каждая группа получила задания.

1. Группа. Ученики. Найти и решить задачи по теме: «Производная и её геометрический смысл» и отстоять интересы учащихся.

2. Группа. Методисты. Найти и решить задачи по теме: «Производная и её геометрический смысл» и выступить с защитой своей точки зрения как методисты ФИПИ.

3. Группа. Практики. Подобрать и решить задачи по теме: «Производная», которые применяются в экономике.

4. Группа. Эксперты. Отобрать, проанализировать степень сложности, разнообразие задач, соответствие их стандартам.

Выступает 1 группа. Ребята из каждой группы познакомят учащихся с условием задач и представят их решение. Листочки с текстами задач – у учащихся на столах. При разборе решения задач будет проведено:

а) поэтапное объяснение,

б) повторение теоретического материала по теме урока

- правила дифференцирования;

- как определить угол между касательной и осью Ох?

-физический смысл производной.

- в чём заключается геометрический смысл производной?

- чему равен угловой коэффициент?

Задания 1 группы

№1. Найдите производную функции у = 4х⁵ - e^х

1. у' = 20х⁵ – е^х , 2) у' = 20х⁵ + е^х , 3) у' = 4х⁴ - е^х , 4) у' = 20х⁴ – е^х.

№ 2 Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t)=-2t²+20t-7, где х(t) координата точки в момент времени t. Найдите скорость точки в момент времени t = 2.

.

1) 12 2) 16 3) 5 4) 9

№ 3.Прямая проходящая через начало координат касается графика функции в точке

В (-2; -2,8). Найдите f'(-2).

№ 4. На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале

(-9;8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = 2х+5 или совпадает с ней.

Рисунок 1.

№ 5 Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = sin 2x – ln(x +1) в точке с абсциссой х₀ = 0.

Решение.

y=f(x₀)+ f^{' '}(x₀)(x-x₀), уравнение касательной к графику функции

f( x₀) = sin2×0 – ln(0 +1) =0, f^{' '}(x₀) = 2 – 1=1

f^{' '}(х) = 2 cos2x - _ , у = 0 +1(х – 1)

у = 1 уравнение касательной к графику функции.

Выступает 2 группа. При разборе решения задач будет проведено:

а) поэтапное объяснение,

б) повторение теоретического материала по теме урока

- правила дифференцирования;

- как определить угол между касательной и осью Ох?

- в чём заключается геометрический смысл производной?

- чему равен угловой коэффициент?

- записать уравнение касательной.,

- физический смысл производной.

Задания 2 группы

№ 1 Найдите значение производной функции у = 4х⁵ - e^х в точке х₀ = 0.

Решение:

y`=20x⁴ - e^х

y`(0)= -1

Ответ: -1.

№2. Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t)=-2t²+20t-7, где х(t) координата точки в момент времени t. В какой точке координатной прямой произойдет мгновенная остановка?

Решение:

Скорость материальной точки v (t) является производной ее координаты x(t).

v(t)=x ^' (t) , v(t) = ( -2t² + 20t – 7)_, v(t) = -4t + 20, v(t) = 0, -4t +20 = 0, t = 5

x(5)=-2 *5²+20*5-7, х(5) = 43.

Ответ: 43

№ 3. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀.

а) Рисунок 2.

б) Рисунок 3.

Решение:

f^''(х₀) = k, k = tg (α)

Достроим до треугольника, так чтобы его вершины имели целые координаты и найдем тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ох, tg α=y/x:

Рисунок 4.

а) tgα=6/6=1, при этом прямая с положительным направлением оси О_х составляет тупой угол, тогда ответ берется со знаком минус

Ответ: -1

Рисунок 5

б) tgα=6/4=1.5, при этом прямая с положительным направлением оси О_х составляет острый угол, тогда ответ берется со знаком плюс. Ответ: 1,5

№ 4.Функция y=f(x) определена на промежутке (-5;5). На рисунке изображен график ее производной. Найдите число точек графика функции y=f(x), в которых касательные к графику наклонены под углом 135⁰ к положительному направлению оси абсцисс.

Рисунок 6.

Решение: f ^'(х₀) =tgα. Для решения задачи необходимо найти на графике производной точки ординаты которых равны tg 135⁰= -1, тогда проведем прямую через точку (0;-1) параллельную оси ОХ, число точек пересечения графика

Рисунок 7.

мы видим 3 пересечения

№5. Прямая касается гиперболы у=4/х в точке (1;4). Найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.

Решение:

Запишем уравнение касательной к графику функции у=4/х в точке (1;4).

у(1)=4

у`(х)= -4/х²

у`(1)= -4

т.к. y=f(x₀)+ f^{' '}(x₀)(x-x₀), то у=4-4(х-1) и у=8-4х . Прямая у = 8 -4х пересекает оси координат в

в точках(0;8) и (2;0), получается прямоугольный треугольник с катетами 2 и8 . S = _٠2٠8 =8(кв.ед)

Выступает 3 группа, которая покажет применение производной для решения экономических задач.

1. Объем продукции V цеха в течении дня зависит от времени по закону

V(t) = _ * _+ _+ 50 t + 70, где 1 ≤ t ≤ 8. Вычислите производительность труда П при t = 7 ч.

П (t) = V^٠(t) , П (t) = -5t² + 15t + 50, П (7) = -5٠49 +15٠7 +50 = - 90 (ед/)

1. Функция спроса имеет вид Q_D=100 - 20p, постоянные издержки TFC (total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции - 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.

П = TR – TC, TR = P٠Q, TC = TFC +AVC. Найдём цену единицы продукции:

20р = (10 - Q_D) \ 20 , р = 5-Q_D\20 , тогда П=(5 - Q/20)Q - (50 + 2Q)= - Q² + 60Q – 1000

П'(Q)= -2Q+60 Приравняем производную к нулю:

-2Q+60=0

Q=30.

Допустим, Q30, тогда функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения.

Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.

1. Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции х выражается функцией y = 50x – 0,05_ (ден. ед.). Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

AC = _, MC = у_ (х)

AC = y (10) = 50*10 – 0,05* 1000 = 500 – 50 = 450

AC = 450 / 10 = 45 (ден. ед.)

MC = y' = 50 – 0,15 x²

MC = y' (10) = 50 – 0,15 * 100 = (35 ден.ед.)

Пока 4 группа готовится сделать вывод, учащиеся выполняют следующее задание.

Задания для учащихся

Задание № 3

1. Для каждой из функций, графики которых изображены на рисунке , определите её производную

Рисунок 8.

Задание № 4

Рисунок 9.

Выступает 4 группа. Эксперты отобрали, проанализировали степень сложности, разнообразие задач, соответствие их стандартам и составили свой банк задач для ЕГЭ, исходя из выступлений учеников, методистов и практиков.

Банк задач

Задание № 1

Найдите значение производной функции у = 4х⁵ - e^х в точке х₀ = 0.

Задание № 2

Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t)=-2t²+20t-7, где х(t) координата точки в момент времени t. Найдите скорость точки в момент времени t = 2.

Задание № 3

Функция спроса имеет вид Q_D=100 - 20p, постоянные издержки TFC (total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции - 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.

Задание № 4

. На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале

(-9;8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = 2х+5 или совпадает с ней.

Рисунок 1.

Задание № 5

Прямая касается гиперболы у=4/х в точке (1;4). Найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.

Итог урока. В оценочном листе учащиеся проставляют оценки за урок.

Оценочный лист