Производная степенной функции.

Производная степенной функции.

Используя определение производной, найдём сначала производную самой простой степенной функции .

По определению производной,

Значит,

Теперь найдём производную кубической функции

Значит,

Найдём теперь производную степенной функции с отрицательным показателем .

Преобразуем эту функцию: и найдём её производную.

Значит, или .

И ещё одна степенная функция с отрицательным показателем: .

Преобразуем эту функцию: и найдём её производную.

Значит, или

Обобщим все рассмотренные примеры и выведем общую формулу производной степенной функции .

Воспользуемся формулой: . Тогда,

Значит,

По этой формуле находим, что

Мы вывели формулу простой степенной функции, однако, такие функции встречаются не всегда, очень часто мы имеем дело со сложными функциями вида . Формула производной этой функции выводится аналогичным образом. Кто всерьёз интересуется математикой, рекомендую эту формулу вывести самостоятельно.

Чтобы найти производную сложной степенной функции, нужно взять производную степени и умножить на производную основания степени.

1. Найти производную функции:

   		;

2. Найти , если:

3. При каких значениях производная функции равна ?

4. При каких значениях производная функции равна ?

5. Решить уравнение , если .

6. Решить уравнение , если .

7. Найти такие значения , при которых производная функции принимает указанное значение.

8. Упростив выражение для , найдите , если:

1. Упростив выражение для , найдите , если:

2