Производные функций

Производные функций

4. Дифференциальное

исчисление

функции

одной переменной

4.1. Понятие производной функции

4.2. Основные формулы дифференцирования (вычисления производной)

4.3. Правила дифференцирования

Пример 1. Вычислить производную функции

Пример 1

Пример 1

Пример 2. Вычислить производную функции

Самостоятельная работа 1

Найти производную функции

Задание.

Варианты

ответов:

Сверим ответы

Пример 3. Вычислить производную функции

Решение

Пример 3. Вычислить производную функции

Решение

Пример 4

u = cos x + 5; v = e x

Пример 4

u = cos x + 5; v = e x

Пример 5

u = log 2 x; v = sin x - 2

Пример 6

u = log 2 x; v = sin x - 2

Пример 6

4.4. Производная сложной функции

а

Если

то

- сложная функция аргумента х

Производная сложной функции вычисляется по правилу:

Найти производную функции y=cos3x

Пример 7 .

Решение

По формуле (4)

Так как cos 3x – сложная функция,

Следовательно,

Пример 8 .

Найти производную функции

Решение

1. Сначала рассматриваем функцию как степенную

Решение

1. Сначала рассматриваем функцию как степенную

4.5. Геометрический смысл производной

Y

X

0

Уравнение касательной

Пример 9. Если функция y=ln(5+x), то значение производной в точке х=1 равно…

Решение

При х=1

(5)

Пример . Написать уравнение касательной к графику функции в точке М(1,-2) x 0 =1; y 0 =-2

Уравнение касательной из (8)

(8)

4.6. Производные высших порядков

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на некотором промежутке.

Тогда ее производная (называемая также производной первого порядка ) будет новой функцией аргумента х, заданной на этом промежутке, и может иметь свою производную (производную второго порядка).

Эту производную называют производной второго порядка и обозначают одним из символов:

Производную от производной 2-го порядка

называют производной третьего порядка

функции y=f(x) и обозначают:

Пример 12.

Пример 11.

Найти вторую производную функции y=2x 2 +3x-6

Найти вторую производную функции y=2x 2 +3x-6

Найти вторую производную функции y=2x 2 +3x-6

Найти вторую производную функции y=2x 2 +3x-6

Найти вторую производную функции y=2x 2 +3x-6

Найти вторую производную функции y=2x 2 +3x-6

Найти вторую производную функции y=2x 2 +3x-6

Найти вторую производную функции y=2x 2 +3x-6

Найти вторую производную функции y=2x 2 +3x-6

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Находим вторую производную

Находим вторую производную

Находим вторую производную

Находим вторую производную

Находим вторую производную

Находим вторую производную

Находим вторую производную

Находим вторую производную

Находим вторую производную

Находим вторую производную

Самостоятельная работа 4

Задание. Найти вторую производную функции y=3x 2 -5x+11

Варианты A. 6 B. 11

тветов: C. 0 D. 9

Сверим ответы

Сверим ответы

Сверим ответы

Сверим ответы

Сверим ответы

Сверим ответы

Сверим ответы

Сверим ответы

Сверим ответы

Сверим ответы

Найти вторую производную функции y=3x 2 -5x+11

Найти вторую производную функции y=3x 2 -5x+11

Найти вторую производную функции y=3x 2 -5x+11

Найти вторую производную функции y=3x 2 -5x+11

Найти вторую производную функции y=3x 2 -5x+11

Найти вторую производную функции y=3x 2 -5x+11

Найти вторую производную функции y=3x 2 -5x+11

Найти вторую производную функции y=3x 2 -5x+11

Найти вторую производную функции y=3x 2 -5x+11

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Решение

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Используем правила дифференцирования

Находим вторую производную

Находим вторую производную

Находим вторую производную

Пример 12.

Найти четвертую производную

Пример 13.

Пример 13.

Пример 13.