Проценты в школе. Математика.

Функциональная грамотность:

процент как метапредметное понятие

Гордеева Марина Эвальдовна

учитель математики

МБОУ «Космодемьянская СОШ»

Нормативно-методический аспект изучения понятия процента в курсе основной ступени школы

Базовый и углублённый уровень.  Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками на координатной плоскости. Линейный и экспоненциальный рост. Сложные проценты. (Линия «Числовые последовательности и прогрессии»)

Базовый уровень. Решать практико-ориентированные задачи, связанные с отношением величин, пропорциональностью величин, процентами…

Углублённый уровень. Задачи на проценты, банковские вклады, кредиты. (Линия «Числовые последовательности и прогрессии»)

8 класс

6 класс

«146.4.1.3... В начале 6 класса происходит знакомство с понятием процента». (Содержательно-методическая линия «Числа и вычисления» в разделе «Дроби»)

146.4.3.2. Понятие процента. Вычисление процента от величины и величины по её проценту. Выражение процентов десятичными дробями. Решение задач на проценты. Выражение отношения величин в процентах.

146.4.3.5. Решение задач, связанных с отношением, пропорциональностью величин, процентами; решение основных задач на дроби и проценты.

Решать практико-ориентированные задачи, связанные с отношением величин, пропорциональностью величин, процентами , интерпретировать результаты решения задач с учётом ограничений, связанных со свойствами рассматриваемых объектов. (Линия «Числа и вычисления»)

7 класс

9 класс

Базовый и углублённый уровень. Проценты, запись процентов в виде дроби и дроби в виде процентов. Три основные задачи на проценты , решение задач из реальной практики . (Линия «Числа и вычисления»)

Требования к содержанию изучения процента в соответствии с ФОП ООО

Нормативно-методический аспект изучения понятия процента в курсе основной ступени школы

ФОП ООП

146.2.7 Содержание программы по математике, распределённое по годам обучения, структурировано таким образом, чтобы ко всем основным, принципиальным вопросам обучающиеся обращались неоднократно, чтобы овладение математическими понятиями и навыками осуществлялось последовательно и поступательно, с соблюдением принципа преемственности, а новые знания включались в общую систему математических представлений обучающихся, расширяя и углубляя её, образуя прочные множественные связи .

• 146.2.6. Приоритетными целями обучения математике в 5–9 классах являются:
• формирование функциональной математической грамотности :

• умения распознавать проявления математических понятий, объектов и закономерностей в реальных жизненных ситуациях и при изучении других учебных предметов, проявления зависимостей и закономерностей,

• формулировать их на языке математики и создавать математические модели ,
• применять освоенный математический аппарат для решения практико-ориентированных задач ,
• интерпретировать и оценивать полученные результаты .

https://static.edsoo.ru/projects/fop/index.html#/sections/2

Какие ТЕКСТЫ нужны для формирования ФГ

• Сплошные (без визуальных изображений):

• описание (художественное, техническое, математическое, и др.);
• повествование (художественное, историческое и др.);
• объяснение (определение/толкование понятия, слова, резюме/выводы, интерпретация и др.);
• аргументация (комментарий, обоснование);
• инструкция (указание к выполнению работы; правила, законы, положения и др.).

Образовательная технология Б.Блума. Когнитивная область

• Несплошные (включающие визуальные ряды , необходимые для понимания текста, с большей или меньшей степенью слияния с текстом ):

• графики
• диаграммы
• таблицы, схемы
• карты
• рисунки, фотографии, иллюстрации
• анкеты, информационные листы, объявления

Задания с процентами по химии на ОГЭ

Решение задач на проценты встречаются:

в ВПР по химии 8 класса – зад. №5,6.4

в ОГЭ по химии – задания №18, №22

в ЕГЭ по химии – задания №26,28,34

Задание №18 ОГЭ. Перманганат калия (KMnO4) используется в медицине как дезинфицирующее средство.

Вычислите массовую долю (в процентах) калия в перманганате калия. Запишите число с точностью до десятых.

Задание №18 -69% выполнения

Проми́лле (лат. per mille, pro mille «на тысячу») — одна тысячная доля, 1⁄10 процента; обозначается (‰)

Задания с процентами на ОГЭ по географии

Задание №13 – 55% выполнения

Задание 13-2. В 2020 г. численность населения Республики Карелии составляла 618 056 человек, из них 119 227 человек – сельское население. Какова доля сельского населения в общей численности населения Республики Карелии (в %)? Полученный результат округлите до целого числа.

Задание 13-1. Используя данные таблицы «Грузооборот по видам транспорта в РФ

в 2020г.», определите долю автомобильного транспорта в общем объёме грузооборота (в %). Полученный результат округлите до целого числа.

Грузооборот по видам транспорта в РФ в 2020 г.(млрд тонно-км)

Задание 13-3. Средняя солёность поверхностных вод Чёрного моря составляет 18‰. Определите, сколько граммов солей растворено в 2 л его воды. Ответ запишите в виде числа.

Задания ОГЭ по биологии на проценты

Задание №23 -23% выполнения

Задание №23 -23% выполнения

Методические проблемы при освоении понятия процента

1) Отступление от принципов освоения темы – «неоднократно, последовательно и поступательно».

2) Школьники не всегда понимают универсальность процента как специального способа выражения доли величины.

2) Обучающиеся недостаточно владеют приемами работы с визуальным и невизуальными текстами;

3) Дети не умеют интерпретировать текст задач и переводить в известные им способы действия.

4) Не научились строить математические модели простейших жизненных ситуаций

Методика введения понятия «проценты» и обучению решения задач на проценты

Освоение понятия процента

• Знакомство с историей понятия «процент» его символом.
• Перевод доли в проценты. Работа с визуализацией процентных частей
• Разбор множества заданий для устойчивого понимания процента как одной сотой части числа (величины).

Решение задач

Тип задач №1. Нахождение процента от величины.

Тип задач №2. Нахождение величины по ее проценту.

Тип задач №3. Выражение отношения величин в процентах.

Тип задач №4. Практико-ориентированные задачи.

Тип задач №5. Задачи на простые проценты.

Тип задач №6. Задачи на сложные проценты.

Этапы методики обучения решению задач на проценты

• Первый этап. Основная цель этапа – сформировать понимание процента как специального способа выражения доли величины, выработать умение выражать процент соответствующей обыкновенной дробью. Учащиеся должны понять, что процент – это универсальная величина измерения, которая появилась из практической необходимости измерения и сравнения различных величин.

1 шаг. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ (опора на наглядно-действенное и наглядно- образное мышление)

Приемы опоры на наглядно-действенное: закрашивание, вырезание и пр.

Приемы опоры на наглядно- образное мышление: рисунки, таблицы, схемы и пр.

2 шаг. ОБОБЩЕНИЕ

1) Введение понятия. Найдите 3/100 от а, 15/100 от b, 31/100 от c, 103/100 от m и пр. Что для этого надо сделать? Сначала найти одну сотую часть числа, а потом умножить на количество сотых. Когда число делят на сто, говорят, что находят 1% числа, в нашем случае, нашли 3% от а, 15% от b, 31% от c, 103% от m и пр. Вводится определение процента. Введение понятия процента должно опираться на практическую деятельность, геометрическую наглядность, то есть на данном этапе должны быть задачи, в которых надо заштриховать, начертить, вырезать часть фигуры, составляющую определенный процент.

2) Надо дать обучающимся возможность овладеть новой терминологией через перевод задач с языка дробей на язык процентов и наоборот: 25% величины – это её четверть, половина величины – это 50%, 30% величины больше её четверти, вся величина – это 100% и пр.

3 шаг. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

• Знакомство с историей понятия «процент» его символом.

Из истории понятия процента

ПРОЦЕНТ – относительная величина

• сотая доля какого-либо числа, принимаемого за целое, за единицу;
• доход в процентах, получаемый кредитором от заемщика за пользование деньгами (или материальными ценностями);
• вознаграждение, исчисляемое в процентах к чему-либо.

Задание. Специалисты в области спортивной медицины провели исследования травм у спортсменов трёх игровых видов спорта. В результате были получены следующие результаты о наиболее вероятных травмах у волейболистов, футболистов, хоккеистов. Какой сустав чаще всего страдает у спортсменов, занимающихся данными видами спорта?

ВОЛЕЙБОЛ

ХОККЕЙ

ФУТБОЛ

Ответ. Коленный сустав

2. Перевод доли в проценты. Работа с визуализацией процентных частей

100-клеточное поле- 100%

42 зеленые клетки- 42%

58 белых клеток – 58%

100-клеточное поле

30 белых клеток- 30%,

1 клетка- 1%

70 коричневых клеток -70%

100-клеточное поле

25 клетки- 25%

Задание. Сколько процентов (%) составляет закрашенное поле в квадрате? Сколько % составляет незакрашенная часть поля?

Задание. Составим схему посадки растений на участке. В свободном порядке отметьте крестиком 10% клеток для посадки деревьев, кружочком 25% клеток для посадки кустарников, закрасьте 30% клеток для посадки цветов.

o

o

o

o

o

×

o

o

×

×

o

o

o

×

o

×

×

o

o

×

×

o

o

o

×

o

o

o

o

o

o

o

×

o

o

3.Разбор заданий для устойчивого понимания процента как одной сотой части числа (величины).

=40%

≈ 33,3%

100:5×2=40

100:5×2=40

100:6×2≈

100:6×2≈

=25%

≈ 33,3

=20%

≈ 33,3

100:8×2=

100:8×2=

≈ 16,6%

=25

100:10×2==20

=25

100:10×2==20

100:12×2≈16,6

100:12×2≈16,6

1=100%

1=100%

50%

100:2=50

≈ 33.3%

100:2=50

=25%

100:3≈33,3.

100:3≈33,3.

100:4=25

20%

100:4=25

100:5=20

100:5=20

≈ 16,6%

100:6≈16,6

100:6≈16,6

=12,5%

100:8=

100:8=

=10%

100:10=10

=8,3%

100:10=10

=12,5

=12,5

100:12≈

=5%

100:12≈

100:20=5

100:20=5

≈ 8,3

≈ 8,3

3. Разбор множества заданий для устойчивого понимания процента как одной сотой части числа (величины).

Задание. Заполните таблицу

Задача 1. Верно ли, что:

• 1% от 1м равен 1см; 2) 1а равен 1% от 1 га; 3) 1% от 1ц равен 1 кг.

Задача 2. Найдите: А) 2% от 284; Б) 3% от 126; В) 10% от 625.

Задача 3. Половина всех отдыхающих в пансионате – дети. Какой процент от всех отдыхающих составляют дети? Четверть всех отдыхающих в пансионате – спортсмены. Какой процент от всех отдыхающих составляют спортсмены? Одна пятая всех отдыхающих в пансионате – пенсионеры. Какой процент от всех отдыхающих составляют пенсионеры?

Задача 4. Найдите число, зная, что 1% от него равен:

А) 6; Б) 30; В) 4,2; Г) 0,08.

Задача 5. Какое число отличается от других:

А) 1% от 43; Б) 0,01 ⸱ 43; В) 0,1 ⸱ 43; Г) ⸱ 43

Далее следует сделать акцент, что, сравнивая две величины,

за 100% необходимо принимать ту, с которой проводится сравнение. Необходимо, чтобы у обучающихся наступило понимание, какую величину принимать за 100%.

ТОЛЬКО после этого можно переходить к рассмотрению задач на исчисление процента от числа.

Этапы методики обучения решению задач на проценты

Второй этап. Основная цель этапа – перенос правил нахождения дроби числа и числа по его дроби с действиями на проценты.

1 шаг. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ (опора на наглядно-действенное и наглядно-образное мышление)

Приемы опоры на наглядно-действенное: закрашивание, вырезание, наклеивание

Приемы опоры на наглядно- образное мышление: рисование, составление схем, таблиц и пр.

2 шаг. ОБОБЩЕНИЕ.

1. Необходимо провести обобщение -перенести правила нахождения дроби числа и числа по его дроби с действиями на проценты. Действия одни и те же, но звучат по-разному. В первом случае речь идет про числитель и знаменатель, во втором случае – про количество процентов.

2. Далее обучающиеся научаются находить процент величины умножением на десятичную дробь. Опять обобщаем, учим бегло переводить обыкновенную дробь в десятичную, в проценты; проценты – в обыкновенную и десятичную дроби.

3 шаг. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Далее решаются задачи на нахождение процента от числа – целого или записанного в виде десятичной или обыкновенной дроби. Аналогично, с обратной задачей – нахождение числа а, если r% от него равно b. Через неоднократно повторяющееся действие, а затем обобщение получаем a=(b∙100)/r.

1. Из 2000 школьников 90% правильно решили задачу № 1. Сколько школьников правильно решили задачу № 1?

2. Банк начисляет на срочный вклад 7% годовых. Вкладчик положил на счёт 3000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?

Сергей обедает в столовой. На обед он взял суп, плов и компот. Плов стоит 63% всей суммы, уплаченной за обед, суп – 27%. Компот стоил 29 руб. Сколько руб. заплатил мальчик за обед.

27%

Проценты

СУП

27%

Стоимость

ПЛОВ

63% 100%

КОМПОТ

?

10%

29 руб.

90%

63%

10% - 29 руб.

100% - ? руб.

Ответ: 290 руб

100%- 90%=10%

• класс. Задание «Ковер в детскую комнату»

Объект оценки: применять алгоритм нахождения процентов числа

2090

http://skiv.instrao.ru/bank-zadaniy/matematicheskaya-gramotnost/2021_%D0%9C%D0%93_6/05_%D0%9A%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%20%D0%B2%20%D0%B4%D0%B5%D1%82%D1%81%D0%BA%D1%83%D1%8E%20%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%83_%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%81%D1%82.pdf

7 класс. Задание «Набор к чаю» Объект оценки: вычислять процент от числа, интерпретировать результаты решения задачи с учётом ограничений: выбирать решения, попадающие в заданный числовой интервал, применять алгоритм нахождения процентов числа

761,6

Выбран ответ 3 (В наборе, так как стоимость товаров по акции - 858,6 руб., стоимость в наборе - 820 руб.).

http://skiv.instrao.ru/bank-zadaniy/matematicheskaya-gramotnost/mg-7-2022/03_%D0%9C%D0%93_7_%D0%9D%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%80%D1%8B%20%D0%BA%20%D1%87%D0%B0%D1%8E_%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%81%D1%82.pdf

Задача 1. Велосипедист проехал 35% всего маршрута, а затем 20% оставшегося расстояния. Сколько километров нужно ещё проехать велосипедисту, если длина всего маршрута составляет 105 км?

• 35%=0,35 км
• 0,35·105=36,75 км – часть А
• 105-36,75=68,25 км – часть Б и С
• 20%=0,2 км
• 0,2·68,25=13,65 км – часть Б
• 68,25-13,65=54,6 км – часть С

Задача 2. В сплав входят медь, олово и сурьма в отношении 4:15:6.

Сколько процентов сплава составляет каждый металл?

Решение. Всего 4+15+6=25 частей

Третий этап. Задачи на процентное содержание, задачи на растворы, смеси и сплавы, решение социально-экономических задач. На этом этапе главное внимание уделяется формированию умения моделировать.

1 шаг. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ (опора на наглядно-действенное и наглядно- образное мышление)

Приемы опоры на наглядно-действенное: провести опыт на смешение соляного раствора, раствора с марганцем и пр.

Приемы опоры на наглядно- образное мышление: рисунки (рисунок «стаканы») составление таблицы, схемы и пр.

2 шаг. Работа с математической моделью текстовой задачи:

• Сначала по действиям решаем задачи, в которых встречается такая ситуация. Замечаем, что все задачи решаются одинаково, у них одинаковая арифметическая модель.
• Например, очень часто встречающая ситуация, когда некоторая величина а увеличилась (уменьшилась) на r% описывается выражением: (100+r)/100∙a или (100-r)/100∙a.
• Замечаем это. Приходим к выводу, что э то результат обобщение действий: a/100∙r – r% от числа а; a+a/100∙r=(100+r)/100∙a.
• Выводим формулу – создаем алгебраическую модель ситуации . И используем формулу при решении задач: число а увеличилось на 10%, получилось 1,1·а; число а уменьшилось на 10%, получилось 0,9·а и пр. И обратные задачи: было – а, стало – 3·а, на сколько процентов увеличилось? (На 200%.)

3 шаг. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

1. В июле весы стоили 2700 руб. В августе они подешевели на 12% , а в сентябре подешевели еще на 25%. Сколько рублей стали стоить весы в октябре?

2700

2700 - 12% от 2700

2376

Х= 2700 -

=

2376

2376 - 25% от 2376

1782

Х= 2376 -

=

2. В январе весы стоили 2800 рублей. В феврале они подешевели на 15%, а в марте — ещё на 5%. Сколько рублей стали стоить весы в апреле?

3. Турист прошёл 35% всего маршрута, а затем 20% оставшегося расстояния. Сколько километров нужно ещё пройти туристу, если длина всего маршрута составляет 105 км?

4. В июне 1 стакан клубники стоил 180 рублей, в июле клубника подорожала на 40%, а в августе – ещё на 25%. Сколько рублей стоил 1 стакан клубники после подорожания в августе?

5. В спортивном магазине любой свитер стоит 500 рублей. Сейчас магазин проводит акцию: при покупке двух свитеров – скидка на второй свитер 90%. Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух свитеров в период действия акции?

Система задач на проценты

1) решение обычной «готовой» задачи; 2) составление обратной задачи и её решение; 3) составление задачи, решение задачи, проверка решения с помощью обратной задачи, переход к родственному, но более сложному упражнению; 4) самостоятельное составление обучающимися упражнений, задачи на основе сравнения и обобщения, аналогии

Прямая задача. В феврале мобильный телефон стоил 7200 рублей. В марте его цена увеличилась на 15%. А в апреле месяце цена телефона по акции составляла на 30% меньше от мартовской стоимости. Сколько стоит мобильный телефон в апреле

Решение.

• 7200+

Или 7200 ·1,15=8280 (руб.)

2)

В одно действие:

(7200 ·1,15) ·0,7=5796

Пример обратной задачи №1. В апреле стоимость телефона по акции составляла 5796 рублей, что составляло на 30% меньше его стоимости в марте. А в марте его цена была повышена на 15% от стоимости в феврале. Какова стоимость телефона в феврале и марте?

Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?

Метод решения задачи (пропорция, «метод стаканов», «старинный метод», табличный и пр.).

Фрукты

Масса фруктов

Свежие

(кг)

х

Высушенные

% полезных веществ

44

12

Масса полезных веществ (кг)

75

Так как масса полезных веществ не изменилась, составим уравнение:

Задачи на сухофрукты

Задачи на процентное содержание, задачи на растворы, смеси и сплавы

Задача 1. Первый сплав содержит 6% металла, второй – 11% металла. Масса второго сплава больше массы первого на 5 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 9% металла. Найдите массу третьего сплава.

Решение . Пусть масса первого сплава x кг. Тогда масса второго сплава (x + 5) кг, а третьего — x + (x + 5) кг. В первом сплаве содержится 0,06x кг металла, а во втором — 0,11(x + 5) кг, то в третьем сплаве содержится 0,09(2x + 5) кг

металла. Составим и решим уравнение:

0,06х+0,11(х+5)=0,09(2х+5)

0,17х+0,55=0,18х+0,45

0,01х=0,1

х=10

Масса первого сплава – 10 кг, масса третьего будет 2· 10+5=25

Ответ: 25 кг

Состояние смеси

Масса сплава

1 сплав

х

Доля/концентрация

2 сплав

Масса вещества/

0,06

х+5

1 сплав+2 сплав=3 сплав

масса металла

0,06х

х+(х+5)

0,11

0,11(х+5)

0,09

0,09(2х+5)

Задача 2. Смешали 30%-ый раствор соляной кислоты с 10%-ым и получили 600г 15%-ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Вариант решения 1. Составление одного уравнения

Вариант решения 2. Составление системы уравнений

Решение.

0,3х+0,1(600-х)=0,15·600

0,3х+60-0,1х-90=0

0,2х=30

Х=150

Ответ. 150 г 30%-го раствора,

450 г 10%-го раствора

Четвертый этап (8-9 классы) направить усилия на совершенствование умения решать задачи на проценты, рассматривая задачи на сплавы, концентрацию, кредиты и пр.,

позволяющие продемонстрировать применение математических знаний в реальных жизненных ситуациях.

9 класс. Сберегательные вклады

2.

1.

3.

http://skiv.instrao.ru/bank-zadaniy/matematicheskaya-gramotnost/%D0%9C%D0%93_9_%D0%A1%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%8B_%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%81%D1%82.pdf

Задачи на простые проценты

Задание . Банк концерна "А" с целью сказания финансовой помощи выдал ссуду 10 млн. руб. дочернему предприятию под 20% годовых сроком на 3 года. Проценты простые. Определить сумму возврата ссуды и доход банка.

Решение:

Сумма наращения денег по простым процентам: S = P (1 + ni),

где P - сумма кредита; n - срок кредита, лет;

i - процентная ставка.

1) Сумма возврата ссуды составит: S = 10 (1 + 3*0,2) = 16 млн. руб.

2) Доход банка - разность между суммой выдачи и суммой возврата (т.е. величина % по ссуде):  

16 - 10 = 6 млн. руб.

Ответ: 6 млн. руб.

Задачи на сложные проценты

Формула наращения по сложным процентам.

Пусть S 0 - первоначальная сумма долг, i=p/100 – cтавка сложных %.

Тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит S 0 (1+i), через 2 года S 0 (1+i)(1+i)= S 0 (1+i) 2 , через n лет — S 0 (1+i) n .

Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов:

S= S 0 (1+i) n

где S — наращенная сумма, i — годовая ставка сложных процентов, n — срок ссуды, (1+i) n — множитель наращения.

Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен S 0 , а знаменатель (1+i).

Разбор выполнения задач на сложные проценты в САО 2021-2023 гг

https://vgapkro.ru/wp-content/uploads/2023/09/volgogradskaya_sao-11-2023_glava-2-matematika-profilnaya.pdf