Проценты в нашей жизни

Разработки трех уроков по теме «Проценты в нашей жизни»

Номинация: ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ (математика)

Автор Кузьменко Татьяна Михайловна

Учитель математики, заместитель директора по увр Муниципального общеобразовательного учреждения

средней общеобразовательной школы № 10 г.Апатиты Мурманской области

Контакты: т. (881555)-2 – 50-09, м.т. 9533089935

[email protected]

Проценты в нашей жизни

• Развитие рыночных отношений создало объективную потребность создания образовательной среды для формирования экономической культуры подрастающего поколения. Финансовая математика становится неотъемлемой частью общего образования.

• Школьные курсы математики почти полностью игнорируют многие элементарные, но очень важные для повседневной жизни приемы анализа экономических процессов.

• Одной из таких тем является тема «Проценты». Эта тема является универсальной. Она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы.

• Понятие «проценты» буквально вошло в нашу жизнь, оно атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, инфляций, финансовых кризисов.

• Тема «Проценты» изучается в 6 классе, когда учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут получить полноценное представление о процентах, об их роли в повседневной жизни. На дальнейших этапах обучения возвращения к данной теме не предусматривается, хотя задачи на проценты включены в материал итоговой аттестации за курс основной и средней школы, в конкурсные экзамены.

• Понимание процентов и умение выполнять процентные вычисления в настоящее время необходимы каждому человеку. Очень велико прикладное значение этой темы. Она затрагивает финансовую, демографическую, экологическую. социологическую и другие сферы.

• Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель, сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.

Урок 1-2

Цель урока

1.Сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач

2.Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для общей социальной ориентации и решения практических задач.

Задачи урока

• Сформировать умение производить различные процентные вычисления

• Научить решать основные задачи на проценты, применять формулы простого и сложного процентного роста

• Прививать учащимся основы экономической грамотности

Ход урока

1.Повторение ранее известных сведений о процентах.

2.Актуализация знаний.

3.Рассмотрение основных типов задач на проценты.

4.Решение задач, связанных с банковскими расчетами.

5.Самостоятельная работа.

История возникновения процента.

Слово «процент» имеет латинское происхождение: «pro centum» - это «на сто». Часто вместо слова «процент» используют это словосочетание. То есть процентом называется сотая часть числа.

Проценты были известны индийцам ещё в V в. и это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления.

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.

Римляне брали с должника лихву (т.е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «на каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы». Это можно назвать первым кредитом мира.

От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584г. Он впервые опубликовал таблицу процентов.

Введение процентов было удобным для определения содержания одного вещества в другом; в процентах стали измерять количественное изменение производства товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и т.д.

Символ  появился не сразу. Сначала писали слово «сто» так: ^сt_о.

В 1685г. в Париже была напечатана книга «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке вместо ^сt_о было набрано . После этого знак  получил всеобщее признание и до сих пор мы пользуемся этим значком процента.

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

Эта тема стала весьма популярной на вступительных экзаменах в последние годы. Здесь нужно запомнить:

1. процент величины — одна сотая часть этой величины;

2. если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством a =b:100* p (или a =0,01 b* p);

3. если число a увеличено на p%, то оно увеличено в (1+0,01p) раз, а если уменьшено на q%, 0≤q≤100, то оно уменьшено в (1-0.01q) раз.

Получаются числа a(1+0.01p) и a(1-0.01q) соответственно.

Основные задачи на проценты

• Нахождение процентов от числа

• Нахождение числа по его процентам

• Процентное отношение двух чисел

• Вычисление простых и сложных процентов

Нахождение процентов от числа

Чтобы найти а% от в надо в*0,01а или в:100*а

Например:

Найдите двумя способами 5% от400, 10% от 270

Яблоки при сушке теряют 845 своей массы. Сколько сушеных яблок

получится из 300 кг свежих?

Нахождение числа по его процентам

Если известно. Что а% числа х равно в, то х=в:о,01а или х=в:а*100

Например:

Найдите двумя способами число, 40% которого равны 320,число 8% которого равны 400

Из свежих слив получается 355 сушеных. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить 140 кг сушеных?

Процентное отношение двух чисел

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%: а:в*100%.

Например:

Сколько процентов составляет 150 от 600, 29 от 100?

Из 800 обследованных школьников 160 оказались с пониженным зрением. Какой процент составляют школьники с пониженным зрением?

Тест:

1. (1 балл) Процент - это:

А)тысячная часть числа;

Б)сотая часть числа;

В)десятая часть числа.

2. (1 балл) Дробь 1/5 равна

А) 20%

Б) 30%

В) 50%

3. (2 балла) 30% от числа 800 равно

А) 24

Б) 240

В) 2400

4. (2 балла) У мамы 250 р. На покупку книги она истратила 10% этой суммы. Мама истратила:

А) 2,5 р

Б) 25 р

В) 5 р.

5. (1 балл) Чтобы найти 25% от числа, надо это число:

А) умножить на 25;

Б) разделить на 0,25; 

В) умножить на 0,25.

6. (1 балл) 1% дециметра называют:

А) миллиметр

Б) сантиметр

В) метр

7. (3 балла) В магазин привезли 25 ц. фруктов. Яблоки составляют 60%, а груши 20% от общего количества фруктов. Всего в магазин яблок и груш привезли:

А) 20 ц.

Б) 5 ц

В) 15 ц.

8. Банк начисляет 40% годовых. Какую сумму надо положить в банк, чтобы получить через год 3,5 тыс. руб.?

А) 2,1 тыс. руб.;

Б) 87 руб. 50 коп.;

В) 2,5 тыс. руб.

В зависимости от возможностей тест можно распечатать или воспользоваться его компьютерным вариантом, выполненным в программе Hot Potatoes.

Устные задачи

1.Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000руб.?

2.Вкладчик положил на счет в банк 3000руб. и написал поручение ежемесячно перечислять 5% этой суммы за квартплату. Сколько денег останется на его счете через 8 месяцев?

3.При выдаче наличных рублей по дорожным чекам AMERICAN EXPRESS выписываемых в долларах, банк удерживает 2% в качестве комиссионных. Какова будет сумма в рублях, если клиент заказал 400$ и курс обмена 30,4руб. в месяц?

4.Сбербанк начисляет по вкладам ежегодно 110%. Вкладчик внес в сбербанк 150 тыс. руб. Какой будет сумма вклада через 2 года?

Простой и сложный процентный рост

• Проценты могут рассчитываться по – разному в зависимости от вида, характера и срока ссуды.

• Одно из основных отличий заключается в выборе исходной базы для начисления процентов.

• Если проценты начисляются по отношению к исходной сумме, то это простой процентный рост.

• Если проценты начисляются по отношению к величине, включающей первоначальную сумму и проценты, начисленные за прошедший период, то это сложный процентный рост.

Условные обозначения:

P – первоначальная сумма

i – ставка простого процента

I – проценты за весь срок

T – срок ссуды

S – сумма к концу срока

t – период начисления

n=T/t – количество периодов начисления

P*I – начисленные проценты за один период начисления

Формула простых процентов: S = P + P*i*n = P* (1 + i*n)

Множитель (1 + i*n) называется множителем наращения простых процентов.

Рассмотрим пример:

Вы берете в банке ссуду 100000 рублей на два года под 16%. Необходимо

определить какую сумму вы вернете банку к концу срока.

P=100000, T=2, i=16, n=2:1=2

Тогда I=P*i*n=100000*0,16*2=32000

S=P+I=100000+32000=132000

Таким образом, при исчислении по методу простых процентов при ставке 16% годовых, с суммы в 100000 рублей вы должны будете вернуть банку 132000 рублей.

Сложный процентный рост

В долгосрочных финансовых операциях часто применяется не простые, а сложные проценты. С этим методом хорошо знакомы те, кто хранит свои вклады в сберегательном банке , иными словами дает банку ссуду под сложный процент. Как правило, сберегательные счета во всех коммерческих и государственных банках основаны на принципах сложных процентов.

Формула сложного процента

Проценты, полученные за год прибавляются к первоначальной сумме вклада, и в следующем году проценты начисляются уже на новую сумму, и так каждый год.

В принятых нами обозначениях сумма, образовавшаяся к концу срока, будет рассчитываться по формуле

S=P*(1+i) *(1+i)*… *(1+i) = P*(1+i)ⁿ

Эта формула означает, что рост первоначальной суммы по сложным процентам – это процесс, развивающийся в геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель (1+i). Величина (1+i)ⁿ - это множитель наращения сложных процентов.

Задачи на банковские проценты.

Часть задач разбирается на уроке, часть дается учащимся для самостоятельного решения. В качестве домашней работы можно предложить учащимся творческое задание: познакомиться с различными видами вкладов государственного сберегательного банка и других банков, проанализировать собранную информацию, подготовить сообщение на следующий урок. Можно разбить класс на группы, каждой группе поручить изучение одного банка.

1. Кредит в сумме 500 000 руб. выдан на срок 5 лет под 7% годовых. Начисляются сложные проценты, периодичность начисления - в конце каждого года. Определите общую сумму задолженности по кредиту на момент погашения.

Решение.

(руб.)

Ответ: сумма задолженности на момент погашения равна 701275,87 рублей.

2) Банк начисляет 40% годовых. Какую сумму надо положить в банк, чтобы получить через год 3,5 тыс. руб.?

Варианты ответа:

а) 2,1 тыс. руб.; б) 87 руб. 50 коп.; в) 2,5 тыс. руб.

Решение.

Правильный ответ: в).
Пусть Вы положили X руб. Через год на Вашем счету

Если Вы получили ответ а), то ошибочно брали 40% прибыли от желаемой, а не от реально положительной суммы.
Если получили б), то Вы перепутали 40% и “в 40 раз”.

3) Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестринциев. Заимодавец поставил условие: "Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестринциев и еще 20% от этой суммы". Сколько сестринциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу?

4) (из данных сберегательного банка России) Вкладчик положил некоторую сумму на вклад «Молодежный» в сбербанк России. Через два года вклад достиг 2809 рублей. Каков был первоначальный вклад при 6% годовых?

Решение.

Пусть х рублей первоначальный вклад.

Sо → Sо∙(1+6∙0,01) → Sо∙(1+6∙0,01) ∙(1+6∙0,01)

х∙(1+0,06)²=2809

1,06 ² х=2809

1,1236х=2809

х=2500

Ответ: первоначальный вклад составлял 2500 рублей.

5) Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик положил 1 января 1000 рублей и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 рублей. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад?

Решение.

Пусть на i% ежегодно увеличивается сумма денег. Положенная на «студенческий» вклад.

S=1210, P=1000, n=2

По формуле сложных процентов получаем: 1210=1000*(1+ i)²

(1+ i)²=1,21

1+ i=1,1

i = 0,1

Ответ: процентная ставка составляет 10%.

6) Банк выплачивает 3% годовых. Через сколько лет первоначальная сумма удвоится?

Решение.

Пусть это произойдет через n лет. Тогда P*(1+0,03)ⁿ = 2Р

n=log_1,03 2≈23

Ответ: через 23 года.

7) Сберегательный Банк России предлагает населению «образовательный кредит» для получения высшего и среднего образования, составляющий 70% от общей суммы оплаты обучения, под 17% годовых на срок не более 11 лет. Стоимость обучения на экономическом факультете КФ ПетрГУ составляет в среднем 32000 рублей за семестр, срок обучения– 5 лет. Подсчитайте сумму гашения кредита и сумму гашения процентов для первых трёх месяцев выплаты, если образовательный кредит выдан сроком на 5 лет.

Решение.

Подсчитаем общую сумму на обучение (стоимость одного семестра х на количество семестров в течение 5 лет): 32 000 х 10 = 320 000 (р.)

Подсчитаем размер кредита (как 70% от суммы на обучение):32 000 х 70% = 224 000 (р.)

Подсчитаем ежемесячную сумму на гашение кредита (как отношение размера кредита к количеству месяцев кредитования): 224 000 : (5 х 12) = 3 733, 333 ≈ 4 000 (р.)

на гашение процентов для первого месяца выплаты (17% от кредита : на количество месяцев в году): 224 000 х 17% : 12 = 3 173, 333 ≈ 3 500 (р.)

Подсчитаем сумму платежа за кредит для первого месяца выплаты ( как сумму гашения кредита и гашения процентов): 4 000 + 3 500 = 7 500 (р.)

Подсчитаем остаток после первого месяца выплаты ( как разность кредита и платежа кредита за 1 месяц): 224 000 – 4 000 = 220 000 (р.)

Подсчитаем сумму гашения процентов для второго месяца платежа (17% от остатка : на количество месяцев в году): 220 000 х 17% : 12 = 3 116, 667 ≈ 3 200 (р.)

Подсчитаем остаток после второго месяца выплаты ( как разность остатка после первого месяца выплаты и гашения кредита): 220 000 – 4 000 =216 000 (р.)

Подсчитаем сумму гашения процентов для третьего месяца выплаты (17% от остатка после второго месяца выплаты : на количество месяцев в году): 216 000 х 17% : 12 = 3 060, 333 ≈ 3 100 (р.)

Ответ: Гашение кредита – 4 000 рублей в месяц. Гашение процентов: 1-й месяц – 3500 рублей; 2-й месяц – 3200 рублей; 3-й месяц – 3100 рублей. Сумма платежа за кредит для первого месяца выплаты – 7 500 рублей.

8) (МИФИ 2001г.) На счет, который вкладчик имел вначале первого года, банк начисляет в конце этого года р % годовых, а на тот счет, который вкладчик имел вначале второго года, банк начисляет в конце этого года r % годовых, при чем p + r=140.Вкладчик положил на счет вначале первого года некоторую сумму и снял со счета в конце года (после начисления процентов) пятую часть положенной суммы. При каком р счет вкладчика в конце года окажется максимально возможным?

Ответ: 80%

9) (А.В.Фарков «Математические олимпиады в школе». Задача 8.32)

М.В.ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%. На ту же денежку он приобретал пол хлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены еще вырастут на 20%?

Итог:

Мы познакомились лишь с некоторыми видами задач на проценты, встречающимися в финансовых вычислениях. Эта тема несомненно очень актуальна и ее изучение будет продолжено.

Урок 3

Цель урока

1. Обобщение знаний детей по теме "Проценты" и усвоение учащимися практической значимости этого понятия в различных сферах деятельности человека.

2. Закрепление навыка решения практических задач с использованием математического понятия "процент" на материалах ЕГЭ

Задачи урока

• сформировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности;

• решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов;

• привить учащимся основы экономической грамм

Ход урока

1.Урок начинается с компьютерного тестирования (авторский тест прилагается).

2.На втором этапе урока учащиеся, разделенные заранее на группы,

отчитываются о выполнении домашнего задания.

а) проценты в коммунальных платежах (пеня)

б) проценты в банковских расчетах (вклады, кредиты, ссуда)

в) проценты в социологических исследованиях (итоги переписи населения)

г) проценты в статистической отчетности

д) обзор ресурсов сети интернет по данной теме

3.На завершающем этапе урока учащимся предлагается самостоятельно решить несколько задач на проценты по материалам ЕГЭ

1. Флакон шампуня стоит 200 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?

2. Флакон шампуня стоит 150 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 700 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%?

3. Шариковая ручка стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 700 рублей после повышения цены на 25%?

4. Тетрадь стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 350 рублей после понижения цены на 15%?

5. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 130 рублей за штуку. Торговая наценка составляет 25%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 700 рублей?

6. В городе N живет 200000 жителей. Среди них 10 % детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, домохозяйки, безработные). Сколько взрослых работает?

7. В городе N живет 250000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, домохозяйки, безработные). Сколько взрослых работает?

8. Футболка стоила 1000 рублей. После снижения цены она стала стоить 810 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

9. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 2320 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?

10. Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой %. При каком наименьшем значении температуры нагревателя КПД этого двигателя будет не менее 40%, если температура холодильника ?

4.Подведение итогов урока.

На следующих уроках или факультативных занятиях можно рассмотреть такие темы, как различные виды кредитования, как жить на проценты и т.д.

Литература:

Е.Видгорчик, Т.Нежданова Элементарная математика в экономике и бизнесе.

Вита-Пресс, 1995

Г.П.Барашин Элементы финансовой математики. – М., Математика №27(1995г)

И.Н.Петрова Проценты на все случаи жизни.

Южно-Уральское книжное издательство, 1996

Г.П.Барашин Начала финансовой математики. – М., 1997

А.В.Шевкин Текстовые задачи. - М.:Просвещение,1997

Л.О.Денищева, М.Б.Миндюк Дидактические материалы по алгебре и началам анализа.

10-11 класс. М., 2001

Г.В.Дорофеев, Е.А.Седова Процентные вычисления. М.Дрофа,2003

В.Н.Студенецкая, Л.С.Сагателова Программа элективного курса по математике Процентные расчеты на каждый день. Волгоград: Учитель, 2007 Е.Бирюкова, методическая газета «Математика», изд. – «Первое сентября» №20, 22, 23 - 2004, №10, 21 – 2007г.

Сборники материалов для подготовки к ЕГЭ 2003-2008г.

Сборники задач для поступающих в ВУЗы.

Учебники математики.

Ресурсы интернет.