Исследовательская работа на тему:
«Устный счёт- гимнастика ума» Цель работы:
-
Изучить некоторые приёмы организации устного счёта, позволяющие ускорить и рационализировать вычисления.
-
Развивать память и повышать математическую культуру мышления, автоматизи-ровать навыки устного счёта, развить речь, логическое мышление, математичес-кие способности, наблюдательность, интерес;
-
Развивать познавательный интерес к математике с помощью использования раз-личных видов устного счёта.
Задачи:
-
Составить алгоритмы для быстрого вычисления арифметических действий- например, для быстрого умножения двузначных чисел на другие числа.
-
Освоить описанные ниже приемы устного счета для быстрого выполнения арифметических действий;
-
Научиться использовать приёмы устного счёта на различных уроках и в повседневной жизни.
Актуальность:
Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
Знание упрощенных приемов устных вычислений особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении калькулятора и компьютера.
Тезисы:
-
Умножение на 11
2. Умножение на 22, 33, .... 99
3. Умножение на число, оканчивающиеся на 5
4. Умножение и деление на 25 и 75
5. Умножение и деление на 75
6. Умножение и деление на 50
7. Умножение и деление на 37
8. Умножение и деление на 111,1111 и т.д.
9. Умножение двузначных чuceл, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10
10.Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые
11. Умножение чисел, оканчивающихся на 1
12. Умножение на число, близкое к 1000
13.Умножение чисел на 101,1001 и т.д.
Умножение натуральных чисел
1. Умножение на 11
Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.
Примеры:
72x11 = 7(7 + 2)2 = 792;
35x11 = 3(3 + 5)5 = 385.
Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.
Пример:
94 х 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.
2. Умножение на 22, 33, .... 99
Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 х llj 55 = 5 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11 (см. выше п. 1):
24 х 22 = 24 х 2 х 11 = 48 х 11 = 528;
23 х 33 - 23 х 3 х 11 = 69 х 11 = 759;
18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792.
Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого:
28 х 33 = (28 х 3) х (33 : 3) = 84 х 11 = 924,
48 х 22 = (48 х 2) х (22 : 2) .« 96 х 11 = 1056 и т.д.
3. Умножение на число, оканчивающиеся на 5
Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило.
Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.
Примеры:
44 х 5 = (44 : 2) х 5 х 2 = 22 х 10 = 220;
28 х 15 = (28 : 2) х 15 х 2 = 14 х 30 = 420;
32 х 25 = (32 : 2) х 25 х 2 = 16 х 50 = 800.
При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределе второго десятка. Бели возьмем произвольное число (четное), тогда придется потрудиться и перемножить двузначные числа:
Примеры:
48 х 65 = (48 : 2) х 65 х 2 = 24 х 130 = (24 х 10 + 24 х 3) х 10 = = (240 + 72) х 10 = 312 х 10 = 3120;
36 х 85 = (36 : 2) х 85 х 2 = 18 х 170 = (18 х 10 + 18 х 7) х 10 = = (180 + 126) х 10 = 306 х 10 = 3060.
Чтобы научиться быстро умножать на 65, 75, 85 и 95, надо хорошо знать, как умножать устно двузначные числа такого вида:
14 х 18 - 14 х (10 + 8) = 14 х 10 + 14 х 8 = 140 + 112 - 252;
13 х 19 = 13 х (20 - 1) = 13 х 20 - 13 = 260 - 13 = 247.
4. Умножение и деление на 25 и 75
Для того, чтобы научиться устно умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4.
На 4 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4:
Примеры:
124 делится на 4, так как 24 делится на 4;
1716 делится на 4, так как 16 делится на 4;
1800 делится на 4, так как 00 делится на 4.
Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умно-жить на 100.
Примеры:
484 х 25 = (484 : 4) х 25 х 4 = 121 х 100 = 12 100; 124 х 25 - 124 : 4 х 100 - 3100.
Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.
Примеры:
12 100 : 25 = 12 100 : 100 х 4 = 484; 3100:25 = 3100:100x4 = 124.
5. Умножение и деление на 75
Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умно-жить на 300.
Примеры:
32 х 75 = (32 : 4) х 75 х 4 = 8 х 300 = 2400; 48 х 75 = 48 : 4 х 300 = 3600.
Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.
Примеры:
2400:75 = 2400:300x4 = 32; 3600 : 75 = 3600 : 300 х 4 = 48.
6. Умножение и деление на 50
Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100.
Примеры:
432 х 50 = (432 : 2) х 50 х 2 = 216 х 100 = 21 600; 848 х 50 = 848 : 2 х 100 = 42 400.
Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2.
Примеры:
'
21 600 : 50 = 21 600 : 100 х 2 = 432;, -.' 42 400 : 50 = 42 400 : 100 х 2 = 848. ..
7. Умножение и деление на 37
Прежде чем научиться устно умножать и делить на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3.
На 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3:
Примеры:
42 кратно 3, так как 4 + 2 = 6, 6 делится на 3;
123 кратно 3, так как 1 + 2 + 3 = 6, 6 делится на 3.
Отсюда: 24 х 37 - (24 : 3) х 37 х 3 = 8 х 111.- 888, 27 х 37 = 27 : 3 х 111 = 999.
Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.
Чтобы устно разделить число на 37, надо это число разделить на 111 и умножить на 3.
Примеры:
999 : 37 = 999 : 111 х 3 = 27; 888 : 37 = 888 : 111 x 3 = 24.
8. Умножение и деление на 111,1111 и т.д.
Кто знает, как умножать и делить на 11, может легко умножать и делить на 111. Рассмотрим примеры.
Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д.
Примеры:
24 х 111= 2 (2 + 4) (2 + 4) 4 = 2664;
36 х 111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) 6 = 3996;
24 х 1111 = 2 (2 + 4) (2 + 4) (2 + 4) 4 = 26 664;
36 х 1111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) (3 + 6) 6 = 39 996.
Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами.
72 х 111 111 = 7 999 992.
Раздвинуть 7 и 2 на 5 шагов.
Если единиц 7, то шагов будет на 1 меньше, то есть 6.
Если единиц 9, то шагов будет 8 и т.д.
Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.
Примеры:
48 х 111 = 4 (4 + 8) (4 + 8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 + 1) (2 + 1) 28 = 5328;
75 х 111 = 7 (7 + 5) (7 + 5) 5 = 7 (12) (12) 5 = 8325.
В этом случае надо к первой цифре 7 прибавить 1, получим 8, далее 2 + 1 = 3;
а последние цифры 2 и 5 оставляем без изменения.
Получаем ответ:8325
85 х 111 = 8 (13) (13) 5 = (8 + 1) (3 + 1) 35 = 9425;
69 х 111 = 6 (15) (15) 9 = (6 + 1) (5 + 1) 59 = 7659.
Зная, как умножать на 11, 25, 37, 75, 125, можно устно умножать некоторые числа, большие 1000.
Примеры:
24 х 1011 = 24 х (1000 + 11) = 24 000 + 264 - 24 264;
24 х 1025 = 24 х (1000 + 25) = 24 000 + 600 - 24 600;
24 х 1037 = 24 х (1000 + 37) = 24 000 + 888 = 24 888;
24 х 1075 = 24 х (1000 + 75) - 24 000 + 1800 = 25 800;
24 х 1125 = 24 х (1000 + 125) = 24 000 + 3000 = 27 000;
24 х 1050 = 24 х (1000 + 50) = 24 000 + 1200 = 25 200;
24 х 1250 = 24 х (1000 + 250) = 24 000 + 6000 = 30 000;
24 х 1500 - 24 х (1000 + 500) = 24 000 + 12 000 = 36 000.
9. Умножение двузначных чuceл, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10
Пример:
24 х 26 = (24 - 4) х (26 + 4) + 4 х 6 = 20 х 30 + 24 = 624.
Числа 24 и 26 округляем до десятков и находим их произведение, чтобы получить
число сотен, и к числу сотен прибавляем произведение единиц.
Примеры:
18 х 12 = 2 х 1 х 100 + 8 х 2 = 200 + 16 = 216;
16 х 14 = 2 х 1 х 100 + 6 х 4 = 200 + 24 = 224;
23 х 27 = 2 х 3 х 100 + 3 х 7 = 62}.;
34 х 36 = 3 х 4 х 100 + 4 х 6 = 1224.
Все вычисления делаются устно.
При умножении двузначных чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а
сумма единиц равна 10, по таблице умножения находим число сотен и число
единиц и записываем их рядом, таким образом получаем ответ.
Примеры:
62 х 68 = 4216 (6 х 7 - 42, 2 х 8 = 16);
84 х 86 = 7224 (8 х 9 = 72, 4 х 6 = 24).
Пользуясь этим правилом, можно решать устно и более сложные примеры:
108 х 102 - 10 х 11 сот. +8x2 = 11 016;
204 х 206 - 20 х 21 сот. + 4 х 6 = 42 024;
802 х 808 - 80 х 81 сот. + 2x8 = 648 016;
905 х 905 = 90 х 91 сот. + 5x5 = 819 025.
10.Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые
При умножении двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые, надо перемножить цифры десятков и прибавить цифру единиц, получим число сотен и затем к числу сотен припишем произведение единиц.
Примеры:
72 х 32 = (7 х 3 + 2) сот. + 2 х 2 = 2304;
64 х 44 = (6 х 4 + 4) х 100 + 4 х 4 = 2816;
53 х 53 = (5 х 5 + 3) х 100 + 3 х 3 = 2809;
18 х 98 = (1 х 9 + 8) х 100 + 8 х 8 = 1764.
11. Умножение чисел, оканчивающихся на 1
При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо перемножить цифры десятков и к полученному произведению прибавить сумму десятков и единицу.
Примеры:
1. 81 х 31 = ?
80x30 = 2400, 80 + 30 = 110, 1x1 = 1;
81 х 31 = 2511.
2. 21 х 31 = ?
20 х 30 = 600, 20 + 30 = 50, 1x1 = 1;
21x31 = 651.
3. 61 х 51 = 3111; 31 х 41 = 1271
12. Умножение на число, близкое к 1000
Чтобы любое число умножить на число, близкое к 1000, надо это число умножить на разность между 1000 и дополнением второго множителя до тысячи!
Примеры:
245 х 998 = 245 х (1000 - 2) = 245 000 - 490 = 244 510;
375 х 999 = 375 х (1000 - 1) = 375 000 - 375 = 374 625;
225 х 997 - 225 х (1000 - 3) = 225 000 - 675 = 224 325.
-
Умножение чисел на 101,1001 и т.д.
Чтобы двузначное число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.
Примеры:
32 х 101 = 3232; 48 х 101.- 4848; 56 х 101 = 5656.
Чтобы трехзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число.
Примеры:
324 х 1001 - 324 324; 648 х 1001 - 648 648;
999 х 1001 = 999999.
Оглавление.
-
Умножение на 11
2. Умножение на 22, 33, .... 99
3. Умножение на число, оканчивающиеся на 5
4. Умножение и деление на 25 и 75
5. Умножение и деление на 75
6. Умножение и деление на 50
7. Умножение и деление на 37
8. Умножение и деление на 111,1111 и т.д.
9. Умножение двузначных чuceл, у которых цифры десятков одинаковые, а су-
ма цифр единиц составляет 10
10.Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые
11. Умножение чисел, оканчивающихся на 1
12. Умножение на число, близкое к 1000
13.Умножение чисел на 101,1001 и т.д.
Литература:
1. «Устный счет». Э.Л.Струнников
2. Развитие вычислительной культуры учащихся. НЛ. Мельникова
3. Устный счет — гимнастика ума. ГА. Филиппов
4. Алгоритмы ускоренных вычислений. Л.В. Бикташева
5. Библиотечка «Первое сентября»
Выводы и заключения:
Используя упрощенные приёмы устных вычислений мы добились произ-водить наиболее трудоёмкие арифметические действия без применения кальку-лятора и компьютера. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-матема-тического цикла.
Знание упрощенных приемов устных вычислений особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц или калькулятора.
6 556
7 522 
