Расчет объемов и площадей поверхностей тел вращения

Название предмета: Математика

Занятие № 123

Дата: апрель 2025

Тема:

 Расчет объемов и площадей поверхностей тел вращения

Цели:

образовательная цель: обобщить знания по теме «Тела вращения», формировать навыки решения задач практического содержания, приблизить к самостоятельному решению нестандартных задач;

воспитательные: воспитывать культуру поведения при фронтальной, индивидуальной и работе в парах, формирование положительной мотивации;

убедить учащихся в научной, практической, жизненной, профессиональной значимости;

способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

развивающая цель: развитие умений обобщать полученные знания, установление связи понятия с практикой, развитие пространственного мышления;

Задачи:

Закрепить теорию по теме «Тела вращения»;

отрабатывать знания основных понятий, определений, формул и умения применять эти знания при решении задач различных по содержанию и уровню сложности;

развивать пространственное воображение, геометрическое мышление, интерес к предмету; развивать познавательную деятельность;

Тип занятия:

Урок рефлексии

Вид занятия:

Комбинированный урок

№

п/п

Этапы учебного занятия

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Методы и форма работы

Средства обучения

Планируемые результаты

Мотивационный этап

ü приветствует студентов, мотивирует на активную деятельность;

ü предлагает определить тему урока по слайду с задачами;

ü предлагает определить цель урока

 развивающая цель: развитие умений обобщать полученные знания, установление связи понятия с практикой, развитие пространственного мышления;

•       формулируют и записывают тему урока;

•       формулируют цель урока

Методы:

Беседа.

Организационные приёмы: запись даты и тема учебного занятия на доске, переход к следующему этапу занятия.

Технология: педагогика сотрудничества

Записи на доске, речь преподавателя

- создание комфортной обстановки и положительного эмоционального настроя на восприятие преподавателя и уч материала

№

п/п

Этапы учебного занятия

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Методы и форма работы

Средства обучения

Планируемые результаты

Актуализация знаний и осуществление первичного действия.

Предлагает вспомнить и записать формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей цилиндра, конуса и шара

Оформляют в тетрадях схематично рисунки фигур и формулы их объемов

Методы: словесный (объяснение), демонстрационный, иллюстративный активный и интерактивный методы .

Дидактический раздаточный материал, ТСО (проектор, доска), наглядные средства обучения

осуществление письменно-речевого общения, выполнение письменных заданий на закрепление

№

п/п

Этапы учебного занятия

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Методы и форма работы

Средства обучения

Планируемые результаты

Выявление индивидуальных затруднений в реализации нового знания и умения.

Организация и контроль за процессом решения задач.

Вспомнить, как выглядят тела вращения.

Вспомнить и закрепить знания формул площадей поверхностей и объемов тел вращения. Закрепить умение применять формулы при решении задач.

Работа в группах (4 группы)

1. Слепое письмо. Каждой группе предлагается набор гексов, в которые надо будет вписать недостающую информацию.

1 набор:

1. Конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

2 набор:

2. Цилиндром называется фигура, полученная вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

3 набор:

3. Шаром называется фигура, полученная вращением полукруга вокруг диаметра, ограничивающего этот полукруг.

Даются задачи общие для всех групп

Задача 1.Куча щебня имеет форму конуса, радиус основания которого 20м, а образующая 70м.  Сколько потребуется таких куч щебня, чтобы загрузить БЕЛАЗ грузоподъемностью 40т? Плотность щебня 1300кг/м³.

Задача 2. Сколько тонн бензина можно хранить в цистерне цилиндрической формы, если ее диаметр 5 м, длина 3 м, а плотность бензина 0,7 г/м?

У каждой группы общий лист для внесения решения. Далее производится проверка решения по эталону на слайде. Каждая группа защищает свое решение , обсуждаются основные ошибки

Работают над поставленными задачами в группах, парах собирая гексы, делают выводы, защищают свои работы.

Обсуждают ошибки

Отвечают на вопросы

Какое задание я выполнял?  Какое знание я использовал / каким способом решал задачу?  Что делал сначала? Потом?  Где возникло затруднение?  Почему? Чего мне хватает для правильного решения?

эвристическая беседа, репродуктивный, практический и частично – поисковый

технология:

ИКТ, технология развивающего обучения

Дидактический раздаточный материал, ТСО (проектор, доска), гексы

формирование целостной системы ведущих знаний по теме, выявление уровня овладения знаниями и способами действий.

№

п/п

Этапы учебного занятия

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Методы и форма работы

Средства обучения

Планируемые результаты

Построение плана по разрешению возникших затруднений (поиск способов разрешения проблемы, выбор оптимальных действий, планирование работы, выработка стратегии).

 Общая цель всегда одна: коррекция знаний, устранение пробелов. Для каждого ученика (или группы) цель будет конкретной: научиться решать задачи по данным формулам. Составляется план по решению возникших затруднений.

Повторно дает студентам конкретное представление об изучаемых фигурах. От студентов ожидается восприятие, осознание, первичного обобщения и систематизации знаний, усвоения учащимися способов, путей, средств выхода из затруднений, к которым они пришли.

Раздает студентам карточки со всеми видами фигур (одна карточка на одну группу). Дает студентам задание по командам: каждая команда готовит защиту своей фигуры на основе материала из учебника по необходимым критериям (на слайде) (приложение 1)

Выслушивает представителя каждой группы, корректирует ответы. Далее совместно с обучающимися формулирует план решения задач предыдущих задач, в которых возникло затруднение . Далее демонстрирует план решения на слайде

Методы:

объяснение,

приёмы: , составление плана решения проблемной задачи.

Технология: педагогика сотрудничества

Групповая работа

ТСО, доска и содержащаяся информация на ней, карточки с фигурами вращения, рисунки фигур вращения.

Выполнение поиска и выделение необходимой информации, применение методов информационного поиска; смысловое чтение и выбор чтения в зависимости от цели; осознанно и произвольно строят речевое высказывание;

построение логической цепи рассуждений, анализ, синтез

№

п/п

Этапы учебного занятия

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Методы и форма работы

Средства обучения

Планируемые результаты

Реализация на практике выбранного плана, стратегии по разрешению проблемы

самостоятельная работа по составленному плану.

Дает подобные задачи, в которых возникли затруднения , просит применить составленный план решения задач на практике. Преподаватель при необходимости направляет обучающихся, задает наводящие вопросы.

Группа 1.

Задача 3. . Куча щебня имеет форму конуса, радиус основания которого 10м, а образующая 70м. Сколько ходок должен сделать водитель, чтобы перевезти 10 таких куч щебня, если за одну ходку он перевозит 25тонн? Плотность щебня 1300кг/м³.

Задача 4. Цилиндрический резервуар высотой 0,6 м наполнен бензином (плотность 0,7 г/см3). Найти радиус основания цилиндра, если в резервуар вмещается 8,4 кг бензина.

Группа 2.

Задача 5. Куча песка имеет форму конуса, окружность основания которого равна 25,12 м, а образующая -5м. Сколько машин вместимостью 3 т потребуется для его перевозки, если масса 1 куб. м составляет 2 т?

Задача 6. Бак имеет форму цилиндра с горизонтальной осью. Будучи наполненным на У4 (по глубине), он вмещает 1,3 куб. м бензина. Определить полную вмести­мость бака.

Группа 3.

Задача 7. Хватит ли кучи песка конической формы для засыпки ямы формы усечен­ной пирамиды, если диаметр конуса 2 м, образующая 3 м, а стороны квад­ратных оснований пирамиды 0,5 м и 1 м, а высота 80 см?

Задача 8. . Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна, диаметр которой 18 м и высота 7м, если плотность нефти 0,85 г/см3?

Выполняют задачи на основе составленного плана решения задач. Учащиеся, быстро справившиеся с заданием выступают в роли консультантов и помогают другим.

фронтальная, групповая, парная.

Дидактический раздаточный материал (карточки с самостоятельной работой), ТСО (проектор, доска)

формирование целостной системы ведущих знаний по теме, выявление уровня овладения знаниями и способами действий. Знание формул площадей и объемов тел вращения. Применение данных формул в процессе решения задач.

№

п/п

Этапы учебного занятия

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Методы и форма работы

Средства обучения

Планируемые результаты

Обобщение выявленных затруднений.

Выдается задание на группу. Проговаривает задание , обсуждает совместно с обучающимися этапы решения согласно составленному плану решения задач.

Команда №1

Ваша команда решила расширить свое малое предприятие. В поисках необходимого помещения вы опять обратились к администрации города. В ответ администрации предоставила каждой команде требующее ремонта здание необычной формы: одной – в виде конуса, второй – в виде цилиндра, третьей – в виде усеченного конуса. Макет здания представлен у вас на столах. Необходимо рассчитать площадь поверхности здания, чтобы определить соответствующее количество материала на внутреннюю отделку, и объем помещения, чтобы оценить затраты на отопление помещения.

У каждой группы на столе по одному геометрическому телу.

План работы:

1. Произвести соответствующие измерения и занести данные в таблицу;

2. Выполнить соответствующие вычисления и занести полученные результаты в таблицу.

3. Ответить на вопросы:

1. Какое количество материала понадобиться для внутренней отделки помещения (стен, пола и потолка)?

2. Какой объем воздуха в помещении необходимо отапливать?

Первая команда: Конус

Команда №2

Ваша команда решила расширить свое малое предприятие. В поисках необходимого помещения вы опять обратились к администрации города. В ответ администрации предоставила каждой команде требующее ремонта здание необычной формы: одной – в виде конуса, второй – в виде цилиндра, третьей – в виде усеченного конуса. Макет здания представлен у вас на столах. Необходимо рассчитать площадь поверхности здания, чтобы определить соответствующее количество материала на внутреннюю отделку, и объем помещения, чтобы оценить затраты на отопление помещения.

У каждой группы на столе по одному геометрическому телу.

План работы:

1. Произвести соответствующие измерения и занести данные в таблицу;

2. Выполнить соответствующие вычисления и занести полученные результаты в таблицу.

3. Ответить на вопросы:

1. Какое количество материала понадобиться для внутренней отделки помещения (стен, пола и потолка)?

2. Какой объем воздуха в помещении необходимо отапливать?

Вторая команда: Цилиндр

Команда №3

Ваша команда решила расширить свое малое предприятие. В поисках необходимого помещения вы опять обратились к администрации города. В ответ администрации предоставила каждой команде требующее ремонта здание необычной формы: одной – в виде конуса, второй – в виде цилиндра, третьей – в виде усеченного конуса. Макет здания представлен у вас на столах. Необходимо рассчитать площадь поверхности здания, чтобы определить соответствующее количество материала на внутреннюю отделку, и объем помещения, чтобы оценить затраты на отопление помещения.

У каждой группы на столе по одному геометрическому телу.

План работы:

1. Произвести соответствующие измерения и занести данные в таблицу;

2. Выполнить соответствующие вычисления и занести полученные результаты в таблицу.

3. Ответить на вопросы:

1. Какое количество материала понадобиться для внутренней отделки помещения (стен, пола и потолка)?

2. Какой объем воздуха в помещении необходимо отапливать?

Третья команда: Усеченный конус

Учащиеся (группах) выполняют задания по тем правилам, применение которых вызвало наибольшее затруднение. При этом обязательно проговаривается порядок действий.

наглядно – иллюстративный метод, разноуров

невые задания

Групповая, индивидуальная

Распечатка геометрических тел , Доска, карточки с заданиями

Умение решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности. Умение работать в сотрудничестве, искать рациональные пути решения поставленной проблемы

№

п/п

Этапы учебного занятия

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Методы и форма работы

Средства обучения

Планируемые результаты

Осуществление самостоятельной работы и самопроверки по эталонному образцу

Собирает оценочный лист результатов работы группы. Рассаживает студентов обратно по партам. Выдает проверочную работу в виде теста.

Проверочный тест

1 вариант

1. Площадь поверхности шара 100π см². Вычислите объем шара

A)   B)   C)   D)   E)

2. Если увеличить радиус основания цилиндра в 2 раза, во сколько раз увеличится его объем?

A) 2B) 3C) 5D) 6E) 4

3. Шар, радиус которого 13см пересечен плоскостью на расстоянии 12см от центра. Найдите площадь сечения.

A) 30π см²B) 5π см² С) 20π см²D) 25π см²E) 16π см²

4. Ромб с большей диагональю d и острым углом α вращается вокруг оси, проходящей через вершину ромба и перпендикулярной к большей его диагонали. Определите объем тела вращения.

A) πd³tg  B) πd³tg  С)   d³tg  D)  d³tg  E)   d³tg

5. Полукруг свернут в коническую поверхность. Сколько градусов содержит угол между образующей и высотой конуса?

А) 25° B) 31° C) 34° E) 36° E) 30°

2 вариант

1. Найдите боковую поверхность цилиндра, высота которого равна 5см, если известно, что при увеличении его высоты на 4см, объем увеличится на 36πсм³

A) 45πсм³ B) 30πсм³ C) 60πсм³ D) 75πсм³ E) πсм³

2. Правильная четырехугольная призма вписана в шар. Найдите высоту призмы, если радиус шара 5см, а ребро основания призмы 6 см.

A) 8  см B) 2  см C) 7  см D) 3  см E) 8см

3. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями 

A)  B)   C)  D)   E) 

4. Развёрткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник, одна из сторон которого вдвое больше другой. Боковая поверхность цилиндра равна 20дм³. Определите полную поверхность цилиндра.

A)  B)   C)  D)  E) 

5. Найдите объем шара, если радиусы его внутренней и внешней поверхности равны 3см и 6см.

А) 126п см³ В) 189π см³ С) 250π см³ D) 252π см³ E) 163π см³

Ответы:

1 – вариант: е, а, д, д, е.

2 – вариант: в, в, с, в, д.

Демонстрирует ответы на слайде.

Учащиеся выполняют проверочную работу в индивидуальном порядке, задают вопросы. Учащиеся обмениваются заданиями, выполняют взаимопроверку работ по готовым ответам на слайде

Анализируют допущенные ошибки.

Сдают работы учителю.

Групповая , индивидуальная работа с последующей фронтальной проверкой, парная

Дидактический раздаточный материал (тестовая работа), ТСО (проектор, доска),

выработка обобщенных умений и формирование знаний на основе пройденного материала

Умение самостоятельно организовывать свою деятельность

Развитие навыков сотрудничества с одногрупниками.

№

п/п

Этапы учебного занятия

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Методы и форма работы

Средства обучения

Планируемые результаты

Осуществление рефлексии.

анализ работы студентов на занятии, подведение итогов учебного занятия. выставление оценок с учетом оценочного листа

Анализ и оценка успешности достижения цели; выявление качества и уровня овладения знаниями.

Выдает таблицы с рефлексивно – оценочной шкалой от 1 до5.

подведение итогов совместной и индивидуальной деятельности студентов, оценка личного вклада в совместную учебную деятельность.

Заполнение таблицы с рефлексивно – оценочной шкалой от 1 до5.

Методы: словесный.

Бланки с рефл – оценочной шкалой

Индивидуальная, групповая.

Бланки с рефл – оценочной шкалой

формирование умения самоконтроля и самокоррекции анализ и оценка достижения целей.

Название
тела

Чертеж

Чертеж развертки

Вращением какой фигуры
получено

Формула площади поверхности

Формула объема

Цилиндр

Конус

Усеченный конус

Шар