Расстояние от точки до плоскости

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ 2

Иногда основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, не попадает на участок плоскости, изображенный на рисунке. В этом случае можно воспользоваться тем, что расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости, до этой плоскости. При этом перпендикуляр, опущенный из любой точки этой прямой на данную плоскость, будет равен расстоянию от исходной точки до плоскости.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ 3

Расстояние от точки до плоскости равно также расстоянию между параллельными плоскостями, одна из которых – данная плоскость, а другая проходит через данную точку. При этом перпендикуляр, опущенный из любой точки этой плоскости на данную плоскость, будет равен расстоянию от исходной точки до плоскости.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Куб 1

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BCC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Куб 2

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости CDD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Куб 3

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости A 1 B 1 C 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Куб 4

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BB 1 D 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

7

Куб 5

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BC D 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

8

Куб 6

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости CDA 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

9

Куб 7

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BDA 1 .

Решение: Диагональ AC 1 куба перпендикулярна плоскости BDA 1 . Обозначим O - центр грани ABCD , E - точка пересечения AC 1 и плоскости BDA 1 . Длина отрезка AE будет искомым расстоянием. В прямоугольном треугольнике AOA 1 имеем

AA 1 = 1; AO = ; OA 1 = .

Следовательно, AE =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Куб 8

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости CB 1 D 1 .

Решение: Плоскость CB 1 D 1 параллельна плоскости BDA 1 , и отстоит от вершины C 1 на расстояние

(см. предыдущую задачу). Учитывая, что длина диагонали куба равна , получим, что искомое расстояние AF равно .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Куб 9

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости, проходящей через вершины C , A 1 и середину ребра BB 1 .

Решение: Сечением куба данной плоскостью является ромб CEA 1 F . Искомое расстояние равно высоте AH прямоугольного треугольника ACA 1 .

AA 1 = 1, AC = , CA 1 = .

Следовательно, AH = .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Куб 10

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BC 1 D .

Решение: Обозначим O и O 1 – центры граней куба. Прямая AO 1 параллельна плоскости BC 1 D и, следовательно, расстояние от точки A до плоскости BC 1 D равно расстоянию от точки O 1 до этой плоскости, т.е. высоте O 1 E треугольника OO 1 C 1 . Имеем

OO 1 = 1; O 1 C = ; OC 1 = .

Следовательно, O 1 E =

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Куб 1 1

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости BA 1 C 1 .

Решение: Прямая AC параллельна плоскости BA 1 C 1 . Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от центра O грани ABCD куба до плоскости BA 1 C 1 . Из предыдущей задачи следует, что это расстояние равно

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Куб 1 2

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки A до п лоскости, проходящей через вершины C , B 1 и середину ребра DD 1 .

Решение: Сечением куба данной плоскостью является равнобедренная трапеция CEFB 1 . Плоскость ABC 1 перпендикулярна плоскости CEF . Искомое расстояние равно высоте AH треугольника APQ . Имеем

AP = , AQ = , PQ = .

Следовательно, высота AH равна высоте PG треугольника APQ и равна 1.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 1.

Пирамида 1

В правильном тетраэдре ABCD н айдите расстояние от вершины D до плоскости ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Обозначим E середину BC . Искомое расстояние равно высоте DH треугольника ADE , для которого DE =

, HE = . Следовательно, DH =

Ответ:

Пирамида 2

Основанием треугольной пирамиде SABC является прямоугольный треугольник с катетами, равными 1. Боковые ребра пирамиды равны 1. Найдите расстояние от вершины S до плоскости ABC .

Решение. Из равенства боковых ребер следует, что основанием перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC , является центр окружности, описанной около треугольника ABC , т.е. середина D стороны AC . Треугольник ACS – прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, искомый перпендикуляр SD равен

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Пирамида 3

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние от вершины S до плоскости ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомое расстояние равно высоте SO треугольника SAC , в котором SA = SC = 1, AC = Следовательно, SO =

Ответ:

Пирамида 4

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SBC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Обозначим E , F – середины ребер AD , BC . Искомое расстояние равно высоте EH треугольника SEF , в котором

SE = SF = , EF = 1. Откуда, EH =

Ответ:

Пирамида 5

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SBD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Пирамида 6

В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите расстояние от вершины S до плоскости ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомое расстояние равно высоте SO равностороннего треугольника SAD. Оно равно

Ответ:

Пирамида 7

В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SBE .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Пирамида 8

В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SCE .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Обозначим G точку пересечения AD и CE . Искомое расстояние равно высоте AH треугольника SAG , в котором

SA = 2, SG = , AG = , SO = Откуда AH =

Ответ:

Пирамида 9

В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SBF .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Обозначим G точку пересечения AD и BF . Искомое расстояние равно высоте AH треугольника SAG , в котором

SA = 2, SG = , AG = , SO = Откуда AH =

Ответ:

Пирамида 10

В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SBC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Пусть O – центр основания, G – середина ребра BC . Искомое расстояние равно высоте OH треугольника SOG , в

котором SO = , OG = , SG = Откуда OH =

Ответ:

Пирамида 11

В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SCD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Пусть P , Q – середины ребер AF , CD . Искомое расстояние равно высоте PH треугольника SPQ , в котором

PQ = SO = , SP = SQ = . Откуда PH =

Ответ:

Пирамида 12

В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите расстояние от точки A до плоскости SBD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Пусть P , Q – середины отрезков AE , BD . Искомое расстояние равно высоте PH треугольника SPQ , в котором

PQ = 1, SP = SQ = , SO = Откуда PH =

Ответ:

Призма 1

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью A 1 B 1 C 1 .

Ответ: 1.

Призма 2

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью BB 1 C 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Призма 3

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и п лоскостью BCA 1 .

Решение: Через точки A 1 и D – середину ребра BC , проведем прямую. Искомым расстоянием будет расстояние AE от точки A до этой прямой. В прямоугольном треугольнике ADA 1 имеем,

AA 1 = 1, AD = , DA 1 = .

Следовательно, AE =

Ответ:

Призма 4

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью A 1 B 1 C .

Решение: Достроим данную треугольную призму до четырехугольной. Искомым расстоянием будет расстояние от точки A 1 до плоскости CDA 1 в призме A … D 1 . Это расстояние мы нашли в предыдущей задаче. Оно равно

Ответ:

Призма 5

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью A 1 C 1 B .

Решение: Искомое расстояние равно расстоянию от точки A до плоскости A 1 B 1 C из предыдущей задачи.

Ответ:

Призма 6

В треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 все ребра равны 1, углы A 1 AB и A 1 AC равны 60 о . Найдите расстояние от вершины C 1 до плоскости A 1 B 1 C.

Решение. Пирамида A 1 BB 1 C 1 C – правильная с вершиной A 1 , в основании которой квадрат. Следовательно, основанием перпендикуляра, опущенного из вершины C 1 на плоскость A 1 B 1 C , является середина D отрезка B 1 C . Длина этого перпендикуляра равна

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Призма 7

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости A 1 B 1 C 1 .

Ответ: 1.

Призма 8

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости DEE 1 .

Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AE . Она равна .

Ответ: .

Призма 9

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости CDD 1 .

Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AC . Она равна .

Ответ: .

Призма 10

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BCC 1 .

Решение: Продолжим отрезки CB и FA до пересечения в точке G . Треугольник ABG равносторонний. Искомым расстоянием является длина высоты AH треугольника ABG. Она равна

Ответ:

Призма 11

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BDD 1 .

Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AB. Она равна 1 .

Ответ: 1 .

Призма 12

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BEE 1 .

Решение: Пусть O – центр нижнего основания . Треугольник ABO – равносторонний. Искомое расстояние равно высоте AH этого треугольника. Она равна

Ответ:

Призма 14

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BFF 1 .

Решение: Пусть O – центр нижнего основания, H – точка пересечения AO и BF . Тогда AH – искомое расстояние. Оно равно

Ответ:

Призма 15

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости CEE 1 .

Решение: Проведем диагональ AD . Обозначим H – ее точку пересечения с CE . AH – искомое расстояние. Оно равно

Ответ:

Призма 16

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости CFF 1 .

Решение: Проведем отрезок AE . Обозначим H – его точку пересечения с C А . AH – искомое расстояние. Оно равно

Ответ:

Призма 17

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости BA 1 E 1 .

Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляра AH , опущенного из точки A на прямую A 1 B . Оно равно

Ответ:

Призма 18

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости A 1 B 1 D .

Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляра AH , опущенного из точки A на прямую A 1 E . Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник AEA 1 . Имеем AA 1 = 1, AE = , A 1 E = 2. Следовательно, угол AEA 1 равен 30 о и высота AH равна .

Ответ: .

Призма 19

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости A 1 B 1 C .

Решение: Искомое расстояние равно высоте AH прямоугольного треугольника AGA 1 , в котором AA 1 = 1, AG = , GA 1 =

Из подобия треугольников AA 1 G и HAG находим AH =

Ответ:

Призма 20

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до п лоскости F 1 C 1 D .

Решение: Заметим, что данная плоскость параллельна плоскости A 1 B 1 C из предыдущей задачи, причем AE = 2 AG . Следовательно, искомое расстояние AH от точки A до п лоскости F 1 C 1 D в два раза больше расстояния от точки A до плоскости A 1 B 1 C , т.е. равно

Ответ: