Рациональные числа

Числа

Первое чудо, которое подарила нам математика, это числа .

Представления о числе у человечества складывались постепенно. И двигателем выступала практика. Уже на первом этапе развития человека появилась необходимость подсчета различных предметов. Сколько человек ушли на охоту и сколько вернулось? Сколько зверей добыл охотник?

Число

Математика появилась для решения практических задач, возникающих перед человеком. Практические задачи вынуждали ее развиваться. И хотя вам, наверное, кажется, что математика – сухая и скучная наука, это вовсе не так.

Начать наше общение я хочу с базового математического понятия – понятия числа.

Какие числа существуют? Сколько их? Что с ними можно делать и полны ли наши понятия о множестве чисел?

Ребенок, который научился считать до 10, чувствует себя великим математиком. Но вот перед ним открывается, что бывают числа больше 10, существует сотня, тысяча, миллион…

- а я умею считать до миллиона! – хвастается один

- а я – до ста тыщ миллионов! – заявляет другой

Но это – только крошечная часть удивительного мира чисел…

Натуральные числа

На координатной прямой натуральные числа можно изобразить точками, расположив их в порядке возрастания

Сложение на множестве натуральных чисел

• сложение всегда выполнимо на множестве натуральных чисел
• множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения

сложение всегда выполнимо на множестве натуральных чисел, или, другими словами, множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения.

Сложение

Складывать можно:

• На пальцах

• В уме

• На калькуляторе

На пальцах – если умственное развитие находится на уровне 5-7 лет

В уме – если он есть в наличии

На калькуляторе могут складывать все остальные

Свойства сложения

• коммутативность

• ассоциативность

Свойства сложения изучаются в первом классе. Тогда вы называли их переместительным и сочетательным законом. Теперь пришло время узнать их «взрослые» названия.

Действия над натуральными числами

• вычитание

такое что

Вычесть из числа а число б, значит найти такое число х ,

которое при сложении с б даст а

Действие, обратное сложению, называют вычитанием. Вычесть из числа а число б, значит найти такое число х, которое при сложении с б даст а

Действия над натуральными числами

• вычитание

Спуститься ниже тех ступенек, которые существуют, невозможно. А натуральные числа начинаются с 1. Поэтому вычитание не всегда выполнимо на множестве натуральных чисел. В начальных классах вам говорили – нельзя из 3 вычесть 5. Сейчас вы уже знаете, что можно, но для этого пришлось расширить понятие числа.

Вычитание на множестве натуральных чисел

• вычитание не всегда выполнимо на множестве натуральных чисел множество натуральных чисел не замкнуто относительно вычитания

вычитание не всегда выполнимо на множестве натуральных чисел

Действия над натуральными числами

умножение

Умножить число а на число б , это значит найти сумму б слагаемых, каждое из которых равно а

Умножение – это по сути несколько раз повторенное сложение

Умножить число а на число б, это значит найти сумму б слагаемых, каждое из которых равно а

Действия над натуральными числами

• умножение

Умножение напоминает игру в кубики

Умножение

Умножать можно:

• По таблице

• В столбик

• На калькуляторе

Если вы не выучили таблицу умножения во втором классе, наклейте ее на обложку тетради. Без таблицы умножение в столбик становится невозможным… впрочем, умножать можно и на пальцах. На 9, например. (показать прием умножения на 9 на пальцах)

Свойства умножения

• коммутативность

• ассоциативность

• дистрибутивность относительно сложения

Умножение также коммутативно и ассоциативно. Во втором классе вам показывали еще распределительный закон, иногда существенно облегчающий расчеты.

Действия над натуральными числами

• деление

такое что

Разделить число а на число б, значит найти такое число х ,

которое при при умножении на б даст а

Действие, обратное умножению, называют делением. Разделить число а на число б, значит найти такое число х, которое при умножении на б даст а

Умножение

Делить можно:

• В уме

• В столбик

• На калькуляторе

На множестве натуральных чисел деление выполнимо не всегда

На ноль делить нельзя!!

Разделить число а на число б, значит найти такое число х ,

которое при при умножении на б даст а

такое что

На ноль делить нельзя!!

Разделить число а на число б, значит найти такое число х ,

которое при при умножении на б даст а

такое что

На ноль делить нельзя!!

Разделить число а на число б, значит найти такое число х ,

которое при при умножении на б даст а

такое что

Признаки делимости чисел

• На 2

• делятся числа, заканчивающиеся нулем или четным числом

Признаки делимости чисел

• На 2

делятся числа, заканчивающиеся нулем или четным числом

Т.к.

Не делится на 2

Признаки делимости чисел

• На 2

делятся числа, заканчивающиеся нулем или четным числом

Т.к.

Не делится на 2

Т.к. 7 - нечетное

Признаки делимости чисел

• На 5

• делятся числа, заканчивающиеся нулем или цифрой 5

Признаки делимости чисел

• На 5

• делятся числа, заканчивающиеся нулем или цифрой 5

Признаки делимости чисел

• На 5

• делятся числа, заканчивающиеся нулем или цифрой 5

Признаки делимости чисел

• На 5

• делятся числа, заканчивающиеся нулем или цифрой 5

Признаки делимости чисел

• На 10

• делятся числа, заканчивающиеся нулем

Признаки делимости чисел

• На 4

делятся числа,

• заканчивающиеся на два нуля
• заканчивающиеся на два нуля
• заканчивающиеся на два нуля
• заканчивающиеся на два нуля
• заканчивающиеся на два нуля

• если две последние цифры выражают число, делящееся на 4
• если две последние цифры выражают число, делящееся на 4
• если две последние цифры выражают число, делящееся на 4
• если две последние цифры выражают число, делящееся на 4
• если две последние цифры выражают число, делящееся на 4

Признаки делимости чисел

• На 25

делятся числа,

• заканчивающиеся на два нуля если две последние цифры выражают число, делящееся на 25
• заканчивающиеся на два нуля если две последние цифры выражают число, делящееся на 25
• заканчивающиеся на два нуля если две последние цифры выражают число, делящееся на 25
• заканчивающиеся на два нуля если две последние цифры выражают число, делящееся на 25
• заканчивающиеся на два нуля
• если две последние цифры выражают число, делящееся на 25

Признаки делимости чисел

• На 3

делятся числа, сумма цифр которых делится на 3

Признаки делимости чисел

• На 3

делятся числа, сумма цифр которых делится на 3

Признаки делимости чисел

• На 3

делятся числа, сумма цифр которых делится на 3

5 не делится на 3

Признаки делимости чисел

• На 9

делятся числа, сумма цифр которых делится на 9

Признаки делимости чисел

• На 9

делятся числа, сумма цифр которых делится на 9

41 не делится на 9

Простые и составные числа

• Число называется простым , если делится только на ноль и себя

• Если число имеет больше двух натуральных делителей, оно называется составным

N+0

Множество натуральных чисел можно дополнить нулем и получить множество неотрицательных целых чисел.

множество

неотрицательных целых чисел

Целые числа

Одних неотрицательому ных целых чисел оказалось недостаточно для решения практических задач. Например, для отражения температуры – выше нуля и ниже нуля, для записи долга, для описания движения в противоположных направлениях и др. Поэтому потребовалось ввести числа, противополжные положительным – отрицательные. Числа 1 и -1, 5 и -5 называют противоположными. Натуральные числа, противополжные им и ноль вместе дают множество целых чисел.

Целые числа

Модуль

Расстояние до начала координат

На координатной прямой противоположные числа изображаются неподвижными точками, расположенными на равном расстоянии от нуля

Модулем положительного числа называется само число, модулем отрицательного числа – противоположное ему, т.е. модуль, по сути, это расстояние от начала координат до точки, изображающей данное число

Целые числа

Сложение

Сложение чисел с одинаковыми знаками

Сложение чисел с разными знаками

Для того, чтобы сложить числа с одинаковыми знаками, надо сложить их модули, и поставить знак этих чисел

Для того, чтобы сложить числа с разными знаками, надо из большего по модулю вычесть меньшее и поставить знак большего по модулю числа

При вычитании отрицательного числа минус на минус дает плюс, получаем сложение чисел

Вычитание

Целые числа

Умножение и деление

п люс на плюс

и

минус на минус

дают

плюс

п люс на минус

минус на плюс

д ают

минус

При умножении и делении правила одинаковы:

При действии с числами, имеющими одинаковые знаки, получаем положительное число, при действии с числами, имеющими разные знаки, получаем отрицательное число

Возведение в степень

а – основание степени

n – показатель степени

Возведение в степень по сути – многократное умножение

Свойства степени

При действиях со степенями, имеющими одинаковые основания, можно использовать следующие свойства, позволяющие существенно упростить расчеты

Свойства степени

Полезно запомнить четыре частных случая

Свойства степени

Запишите формулы, если не помните или забываете

Z - множество целых чисел

Множество целых чисел замкнуто относительно:

• Сложения

• Вычитания

• Умножения

Если а и б целые, то их сумма – тоже целое число,

Если уменьшаемое и вычитаемое целые числа, то разность – целое число

Если множители целые, то произведение принадлежит множесту целых чисел

Но если делимое и делитель целые, частное может и не являться целым числом.

Поэтому возникла необходимость расширить множество известных чисел, добавив к ним дробные

Но

Незамкнуто относительно деления

Дробные числа

Обыкновенные дроби

а –сколько таких частей взяли

b - на сколько частей разделили

Дробные числа

Обыкновенные дроби

а –числитель

b - знаменатель

это 1 , то какими дробями будут следующие фигуры?

Если

Дробные числа

смешанные дроби

Превратить смешанную дробь в неправильную

Дробные числа

Сложение и вычитание

дробей с одинаковым знаменателем

Дробные числа

Сложение и вычитание

дробей с разным знаменателем

сначала подвести под общий знаменатель

Дробные числа

Сложение и вычитание

дробей с разным знаменателем

сначала подвести под общий знаменатель

k - общий знаменатель – число, которое делится на b и d

Дробные числа

Сложение и вычитание

дробей с разным знаменателем

сначала подвести под общий знаменатель

k - общий знаменатель – число, которое делится на b и d

Дробные числа

Сложение и вычитание

дробей с разным знаменателем

сначала подвести под общий знаменатель

k - общий знаменатель – число, которое делится на b и d

Дробные числа

Сложение и вычитание

дробей с разным знаменателем

сначала подвести под общий знаменатель

k - общий знаменатель – число, которое делится на b и d

Дробные числа

Сложение и вычитание

дробей с разным знаменателем

сначала подвести под общий знаменатель

k - общий знаменатель – число, которое делится на b и d

Дробные числа

Сложение и вычитание

дробей с разным знаменателем

сначала подвести под общий знаменатель

k - общий знаменатель – число, которое делится на b и d

Дробные числа

Сложение и вычитание

дробей с разным знаменателем

сначала подвести под общий знаменатель

k - общий знаменатель – число, которое делится на b и d

Дробные числа

Сложение и вычитание

дробей с разным знаменателем

сначала подвести под общий знаменатель

k - общий знаменатель – число, которое делится на b и d

Дробные числа

Сокращение дробей

Числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число

Дробные числа

Сокращение дробей

Числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число

Дробные числа

Сокращение дробей

Числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число

Дробные числа

Сокращение дробей

Числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число

Дробные числа

Сокращение дробей

Числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число

Дробные числа

Сокращение дробей

Числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число

Дробные числа

Сокращение дробей

Числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число

Дробные числа

Сокращение дробей

сокращать нельзя ,

если есть сложение или вычитание

Дробные числа

Сокращение дробей

сокращать нельзя ,

если есть сложение или вычитание

НО

Дробные числа

Сокращение дробей

сокращать нельзя ,

если есть сложение или вычитание

НО

Дробные числа

Умножение

Дробные числа

Умножение

Дробные числа

Умножение

Деление

Дробные числа

Умножение

Деление

Дробные числа

Десятичные дроби

дроби со знаменателем

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной, если знаменатель дроби не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Бесконечные

десятичные

дроби

периодические

Если знаменатель несократимой дроби имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то дробь не может быть записана в виде конечной десятичной дроби

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Бесконечные

десятичные

дроби

периодические

Если знаменатель несократимой дроби имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то дробь не может быть записана в виде конечной десятичной дроби

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Бесконечные

десятичные

дроби

периодические

Если знаменатель несократимой дроби имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то дробь не может быть записана в виде конечной десятичной дроби

Дробные числа

Преобразование десятичной дроби в обыкновенную

Дробные числа

Преобразование десятичной дроби в обыкновенную

Целые + Дробные = Рациональные

Рациональными числами называются числа, которые можно представить в виде дроби

Одно и то же рациональное число может быть записано разными способами:

Но среди всех записей одна и только одна несократимая обыкновенная дробь

Одно и то же рациональное число может быть записано разными способами:

Но среди всех записей одна и только одна несократимая обыкновенная дробь

Рациональные

Любое

рациональное число можно представить

в виде

несократимой обыкновенной дроби

Домашнее задание

Проверочная работа