РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА задачи

Рациональные и рррациональные числа и геометрия

Задача. Дан отрезок длины 1. Доказать, что при любом натуральном N можно построить отрезок, квадрат длины кот равен N.

Теорема. Сторону и диагональ квадрата нельзя нарезать на части одинаковой длины.

Следствие. Отношение длины диагонали квадрата к его стороне не равно никакой дроби (правил или неправильной). Такие числа называются иррациональными.

Построение отрезков вида

Корень из целого числа Корень из заданного отрезка Отрезок длины обратной заданному

Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки

Корни кв уравнения (а≠0) м рассм как абсциссы т пересеч окружности с центром проходящей через точку А(0;1), и оси Ох.

Решение ур сводится к постр на коорд плоскости окружности с ц Q и радиуса QA (для этого и понадоб инстр) и опред абсцисс точек пересечения окружности с осью Ох.

Возможны 3 случая:

1) Если то окружность пересекает ось Ох в 2 точках и

уравнение имеет корни х₁ , х₂

₂₎ Если то окружность касается оси Ох в точке уравнение имеет корень х₁

₃₎ Если то окружность не имеет общих точек с осью Ох, у уравнения нет корней.

Если кв уравнение неполное a=1 то центр

Решение возможно с циркулем и линейкой при условии задания отрезков b.c и 1

Какие утверждения верны?

1. Сумма и разность двух рациональных чисел есть число рациональное.

2. Произведение и частное (если оно есть) двух рациональных чисел есть число рациональное.

3. Сумма и разность двух иррациональных чисел есть число иррациональное.

4. Произвед и частное (если оно есть) двух иррациональных чисел есть число иррациональное.

5. Сумма иррационального числа и рационального числа есть число иррациональное.

6. Произведение иррационального числа на рациональное есть число иррациональное.

ЗАДАЧИ

1. Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

2. В треуг ABC, длины сторон кот рац числа, прове высота BB₁. Докажите, что она делит противоп сторону на отрезки рациональной длины.

3. Числа x, y и z таковы, что все три числа  x + yz,  y + zx  и  z + xy  рациональны, а  

x² + y² =1.  Докажите, что число xyz² также рационально.

1. Ненулевые числа a и b удовл равенству

2.  a²b²(a²b² + 4) = 2(a⁶ + b⁶).  Док, что хотя бы одно из них иррац.

3. Число x таково, что среди четырёх чисел    ровно одно не является целым
   Найдите все такие x.

4. Олег нари пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказ что все 100 напис чисел раз, причём 50 из них рац, а остальные 50 – иррац Затем в каждую клетку табл он записал произв чисел, напис около её строки и её столбца ("табл умнож"). Какое наиб колич произв в этой таблице м оказ рац числами?

5. Существуют ли на плоскости три такие точки A, B и C, что для любой точки X длина хотя бы одного из отрезков XA, XB и XC иррациональна? 

6. В респ математиков выбрано число α 2 и выпустили монеты достоинством в 1 руб, а также в α^k рублей при каждом нат k. При этом α было выбр так, что достоинс всех монет, кр самой мелкой, иррац. М ли оказаться, что любую сумму в нат число руб м набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

7. Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника — рац числа. Док, что диагонали разрезают его на 4 треугольника, длины сторон кот — рациональные числа.

8. Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

Задачи с сайта problems.ru

60839 Представьте следующие рациональные числа в виде десятичных дробей: 

 35494 Докажите, что дроби  и  имеют равную длину периодов

 60880 Найти возможные значения знаменателя обычной дроби вида  которая представляется чисто периодической десятичной дробью с 2 цифрами в периоде. Отв11, 33, 99.

60845 Пусть число α задаётся десятичной дробью 
  а) 0,101001000100001000001...;    б) 0,123456789101112131415.... 
Будет ли это число рациональным? Ответ а-б) Не будет.

 35079 Докажите, что бесконечная десятичиая дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) - иррациональное число.

Реш Рациональные числа выраженные периодическими десятичными дробями. Предположим, что наша дробь периодической: некоторая посл=ть T, сост из n цифр, является периодом дроби начиная с m-го знака после запятой. Среди цифр после m-го значения встречаются ненулевые, поэтому в последовательности цифр T есть ненулевая цифра. Это означает, что на с m-й цифры после запятой, среди любых n цифр подряд есть ненулевая цифра. но в десятичной записи данной дроби должна быть десятичная запись числа 10^k, где k больше m и n. Эта запись встречается правее m-й цифры и содержит более n нулей подряд. Противоречие.

Доказательство формулы площади квадрата

Дано: квадрат со стороной а Доказать:

1)a=n Легко доказыв что 2) разобъем единичный квадрат на nxn маленьких

2)a –конечная 10-ичная дробь

Берем

Каждую из сторон квадрата со стороной a разобьем на m равных частей:

Квадрат с искомой площади s, разобьется на равных квадратов со стороной

и площадью Тогда искомая площадь

3) Пусть бесконечная десятичная дробь. К такому числу можно

приближаться меньшими рациональными числами. Например …

т е выбросим все знаки нач с (n+1)j

Обозначим тогда а заключено в пределах:

для искомой площади квадрата со стороной а имеем:

Иском квадрат вмещает в себя квадрат со стор и явл частью квадрата со стороной

Итак, доказано, что площадь квадрата со стороной а, где а любое положит число,

Задачи с сайта problems.ru

61013. Теорема о рациональных корнях многочлена.

Докажите, что если  (p, q) = 1  и  ^p/_q  – рациональный корень многочлена  P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  с целыми коэффициентами, то 
  а)  a₀ делится на p;   б)  a_n делится на q.

Решение Условие  f(^p/_q) = 0  можно записать в виде   Все слагаемые в левой части, кроме 1го, кратны p, значит, и  делится на p. Но p и q взаимно просты, следовательно, a₀ делится на p. Аналогично доказывается, что  кратно q.

 61014 Выведите из теоремы 61013 то, что   – иррациональное число.

1)Доказать: Если число N не яв квадратом целого числа, то есть число иррациональное.

ЛИТЕРАТУРА

1) http://www.problems.ru Задачи

2)Доказательство формулы площади квадрата do2.rcokoit.ru

3)Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, презентация

https://infourok.ru/prezentaciya-k-proektu-kvadratnie-uravneniya-2019770.html