Рациональные выражения.
Прежде, чем ввести понятие рационального выражения, определим понятия целого и дробного выражения.
Целым называется выражение, которое состоит из чисел, переменных и знаков арифметических действий (сложение, вычитание, возведение в степень), включая деление на какое-либо число, отличное от нуля.
Например,
Поскольку в целом выражении может производиться деление на число, не равное нулю, то целое выражение имеет смысл всегда!
Дробным называется выражение, которое состоит из чисел, переменных, знаков арифметических действий (сложение, вычитание, возведение в степень), включая деление на выражение с переменной.
Например,
Поскольку в дробном выражении производится деление на выражение с переменной, то дробное выражение имеет смысл не всегда! Ведь возможны такие значения переменных, при которых знаменатель равен нулю! Так вот…
Значения переменных, входящих в дробное выражение, при которых это выражение имеет смысл, называются допустимыми значениями переменных.
Например:
-
– любое число, кроме
, т.к.
-
(т.е. x и y – любые, кроме нуля)
-
(т.е. c и d могут быть любыми, кроме тех случаев, когда
или
)
-
-
Целые и дробные выражения – это два больших множества математических выражений. Если их объединить, то получим множество рациональных выражений.
Рациональным выражением называется множество всех целых и дробных выражений.
Одним из частных случаев рациональных выражений является дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены. Такая дробь называется рациональной.
Рациональной дробью называется дробь, числитель и знаменатель которой представлены в виде многочлена.
Например,
.
Также, как и в дробном выражении, допустимыми значениями переменных называются те их значения, которые не обращают в нуль знаменатель рациональной дроби.
-
Определите, какие из приведённых выражений являются целыми, а какие – дробными. В каждом из этих выражений укажите допустимые значения переменных.
-
Из рациональных выражений:
выпишите те, которые являются:
-
целыми выражениями;
-
дробными выражениями.
-
Найдите значение выражения:
-
Заполните таблицы:
-
-
-
Найдите, при каких значениях переменной не имеет смысла рациональная дробь:
-
Найдите, при каких значениях переменной имеет смысл рациональная дробь:
-
Составьте дробь, у которой:
-
числитель является суммой переменных
и
, а знаменатель – разностью этих переменных;
-
числитель является произведением переменных
и
, а знаменатель – суммой их квадратов;
-
числитель является удвоенной разностью переменных
и
, а знаменатель – квадратом суммы этих переменных;
-
числитель является разностью квадратов переменных
и
, а знаменатель – произведением их кубов.
-
Велосипедист проехал по шоссе
км со скоростью
км/ч, по просёлочной дороге
км со скоростью, на
км/ч меньшей, чем по шоссе. Сколько времени затратил велосипедист на всю дорогу? Составьте выражение и найдите его значение при
и
.
-
Расстояние от
до
автобус проехал со скоростью
км/ч, а расстояние от
до
– со скоростью
км/ч. Сколько времени затратил автобус на весь путь, если
км,
км? Составьте выражение и найдите его значение при
-
Укажите допустимые значения переменной в выражении:
-
При каком значении
значение дроби
:
-
равно 0; | -
равно 1; | -
больше 1; | -
меньше 1? |
-
При каком значении
значение дроби
:
-
равно 0; | -
равно 1; | -
больше 1; | -
меньше 1? |
-
Найдите допустимые значения переменной в выражении:
-
Составьте дробь с переменной
, которая имеет смысл при всех значениях
, кроме:
-
Составьте дробь с переменной
, которая имеет смысл при всех значениях
, кроме:
2