Рациональные выражения. Область допустимых значений.

Рациональные выражения.

Прежде, чем ввести понятие рационального выражения, определим понятия целого и дробного выражения.

Целым называется выражение, которое состоит из чисел, переменных и знаков арифметических действий (сложение, вычитание, возведение в степень), включая деление на какое-либо число, отличное от нуля.

Например,

Поскольку в целом выражении может производиться деление на число, не равное нулю, то целое выражение имеет смысл всегда!

Дробным называется выражение, которое состоит из чисел, переменных, знаков арифметических действий (сложение, вычитание, возведение в степень), включая деление на выражение с переменной.

Например,

Поскольку в дробном выражении производится деление на выражение с переменной, то дробное выражение имеет смысл не всегда! Ведь возможны такие значения переменных, при которых знаменатель равен нулю! Так вот…

Значения переменных, входящих в дробное выражение, при которых это выражение имеет смысл, называются допустимыми значениями переменных.

Например:

1. – любое число, кроме , т.к.

(т.е. x и y – любые, кроме нуля)

(т.е. c и d могут быть любыми, кроме тех случаев, когда

или )

Целые и дробные выражения – это два больших множества математических выражений. Если их объединить, то получим множество рациональных выражений.

Рациональным выражением называется множество всех целых и дробных выражений.

Одним из частных случаев рациональных выражений является дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены. Такая дробь называется рациональной.

Рациональной дробью называется дробь, числитель и знаменатель которой представлены в виде многочлена.

Например, .

Также, как и в дробном выражении, допустимыми значениями переменных называются те их значения, которые не обращают в нуль знаменатель рациональной дроби.

1. Определите, какие из приведённых выражений являются целыми, а какие – дробными. В каждом из этих выражений укажите допустимые значения переменных.

2. Из рациональных выражений:

выпишите те, которые являются:

1. целыми выражениями;

2. дробными выражениями.

1. Найдите значение выражения:

   при	при
   при	при

2. Заполните таблицы:

1. Найдите, при каких значениях переменной не имеет смысла рациональная дробь:

2. Найдите, при каких значениях переменной имеет смысл рациональная дробь:

3. Составьте дробь, у которой:

1. числитель является суммой переменных и , а знаменатель – разностью этих переменных;

2. числитель является произведением переменных и , а знаменатель – суммой их квадратов;

3. числитель является удвоенной разностью переменных и , а знаменатель – квадратом суммы этих переменных;

4. числитель является разностью квадратов переменных и , а знаменатель – произведением их кубов.

1. Велосипедист проехал по шоссе км со скоростью км/ч, по просёлочной дороге км со скоростью, на км/ч меньшей, чем по шоссе. Сколько времени затратил велосипедист на всю дорогу? Составьте выражение и найдите его значение при и .

2. Расстояние от до автобус проехал со скоростью км/ч, а расстояние от до – со скоростью км/ч. Сколько времени затратил автобус на весь путь, если км, км? Составьте выражение и найдите его значение при

3. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

4. При каком значении значение дроби :

   равно 0;

   равно 1;

   больше 1;

   меньше 1?

5. При каком значении значение дроби :

   равно 0;

   равно 1;

   больше 1;

   меньше 1?

6. Найдите допустимые значения переменной в выражении:

7. Составьте дробь с переменной , которая имеет смысл при всех значениях , кроме:

   и

8. Составьте дробь с переменной , которая имеет смысл при всех значениях , кроме:

2