Уроки по теме "Решение дробных рациональных уравнений".

Уроки по теме "Решение дробных рациональных уравнений".

Цели урока:

Обучающая:

• формирование понятия дробных рационального уравнения;

• рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;

• рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;

• обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;

Развивающая:

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

• развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение;

• развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

Воспитывающая:

• воспитание познавательного интереса к предмету;

• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Не всегда уравненья

Разрешают сомненья

Но итогом сомненья

Может быть озаренье.

3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)

Какие уравнения вам знакомы? (Линейное.)

Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).

Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.)

Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)

Что называется ОДЗ выражения? (Областью допустимых значений (для краткости ОДЗ) уравнения называется множество всех значений неизвестного х, при которых математические выражения, входящие в обе части уравнения, имеют смысл, (т.е. все те значения х, при которых можно выполнить действия, указанные в этих выражениях).

Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)

Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

Свойство пропорции.

4. Изучение нового материала.

На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнение, левые и правые части которого есть рациональные выражения относительно х, называют рациональным уравнением с неизвестным х.

Корнем уравнения (или решением) с неизвестным х называют число, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство.

Решить уравнение - значит найти все его корни или показать, что их нет.

При решении рациональных уравнений приходится умножать и делить обе части уравнения на не равное нулю число, переносить члены уравнения из одной части в другую, применять правила сложения и вычитания алгебраических дробей.

В результате будет получаться уравнение, равносильное исходному, т. е. уравнение, имеющее такие же корни, и только их.

Уравнения 1-го типа:

, где А(х), В(х) - многочлены относительно х.

Метод решения:

Напомнить еще раз правило равенства дроби 0.

Тогда А(х)=0 и В(х) ≠ 0.

Решить № 207(1-3).

Уравнения 2-го типа:

, где А(х), В(х), С(х), D(х) - многочлены относительно х.

Метод решения:

• Переносят все члены уравнения в одну сторону

• Используют правило вычитания дробей

• Решают уравнение А(х) D(х)-В(х) С(х)=0.

• Отбирают корни, которые не обращают знаменатель В(х)·D(х) в нуль.

Либо по свойству пропорции.

• Решают уравнение А(х) D(х)=В(х) С(х)

• Отбирают корни, которые не обращают знаменатель В(х)·D(х) в нуль.

Решить № 207(4, 10, 12).

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Перенести все в левую часть.

Привести дроби к общему знаменателю.

Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Решить уравнение.

Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.

Записать ответ.

Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель).

5. Упражнение «Чудо-нос».

После слов «задержу дыхание» учащиеся делают вдох и задерживают дыхание. Учитель читает стихотворный текст, ребята только выполняют задание.

Выполним задание,

Задержим дыхание.

Раз, два, три, четыре –

Снова дышим:

Глубже, шире…

глубоко вдохнули.

спину потянули,

руки вверх подняли

радугу нарисовали

повернулись на восток,

продолжаем наш урок.

6. Закрепление нового материала.

Решить № 207(6, 8, 9, 13)

7. Самостоятельная работа.

Решить № 208(4).

8. Рефлексия.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;

2 – интересно, но не понятно;

3 – не интересно, но понятно;

4 – не интересно, не понятно.

9. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.

Д/з. Выучить п.7, решить № 208(1-4).

Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.

Уроки по теме "Решение дробных рациональных уравнений".

Цели урока:

Обучающая:

• закрепление понятия дробных рационального уравнения; различных способов решения дробных рациональных уравнений;

Развивающая:

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

• развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение;

• развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

Воспитывающая:

• воспитание познавательного интереса к предмету;

• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

1. Организационный момент.

«Уравнение представляет собой наиболее

серьёзную и важную вещь в математике».

Лодж О.

2. Мотивация урока.

Не всегда уравненья

Разрешают сомненья

Но итогом сомненья

Может быть озаренье.

3. Актуализация знаний. Проверка д/з.

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что такое уравнение?

Что значит решить уравнения?

Определение равносильных уравнений.

Какие уравнения называются дробными рациональными?

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

Основное свойство пропорции.

Когда дробь равна 0?

4. Решение алгебраических уравнений.

Решить № 207(4, 5, 10, 11, 12), 212(1, 2).

5. Исторический материал об Омаре Хайяме.

Омар Хайям – математик и поэт

Одни их крупнейших средневековых алгебраистов был персидский и таджикский ученый и поэт Омар Хайям (1048-1131). Он родился в семье ремесленника в городе Нишапуре (ныне Северный Иран), к югу от Ашхабада, жил и работал в Самарканде, Исфахане и других городах Средней Азии и Ирана. Когда он был еще молодым, большая часть Среднего Востока была захвачена сельджуками. Положение честных ученых, которых преследовали властители, было крайне тяжелым.

В молодости Омар Хайям увлекался астрономией и математикой, позже в нем пробудился интерес к географии, философии и поэзии. Всему миру известны его знаменитые стихи – рубаи (не склоняемое существительное). Вот одно из них.

Я для знаний воздвиг сокровенный чертог,

Мало тайн, что мой разум постигнуть не смог.

Только знаю одно: ничего я не знаю!

Вот моих размышлений последний итог.

Первое его математическое сочинение – “Трудности арифметики” - до нас не дошло. Благодаря материальной помощи, оказанной ему одним самаркандским меценатом, Хайям смог продолжить свои научные исследования и написать важнейший труд – “О доказательстве задач алгебры и алмукабалы”. Эта книга содержала почти всю совокупность алгебраических знаний того времени. В ней дается классификация уравнений и излагается решение уравнений первой, второй и третьей степени. Во введении автор утверждает, что алгебра – это наука об определении неизвестных величин, состоящих в некоторых отношениях с величинами известными. Определение неизвестных осуществляется с помощью составления и решения уравнений. Это первое дошедшее до нас определение алгебры как науки.

6. Самостоятельная работа.

Решить № 207(13).

7. Рефлексия. Итоги урока. Д/з.

Составьте, пожалуйста «Сенкан»-один из жанров поэзии

1 строчка – рациональное уравнение;

2 строчка – 2 прилагательных;

3 строчка – 3 глагола;

4 строчка –предложение, выражающее личное отношение.

А, вот мой сенкан:

1 строчка – рациональное уравнение;

2 строчка – гармоничное, многоголосное;

3 строчка – завораживают, удивляют, вдохновляет;

4 строчка –они открыли для меня гармонию математики.

Д/з. Решить № 208(5-7), 213(1, 4).

Тема урока: Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.

Цели урока:

Обучающая:

закрепление понятия дробного рационального уравнения;

составление математической модели задачи, перевод условия задачи с обычного языка на математический;

проверка уровня усвоения темы путем проведения проверочной работы.

Развивающая:

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

развитие интеллектуальных умений;

развитие умения принимать решения.

Воспитательная:

воспитание познавательного интереса к предмету;

воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята.

Среди наук из всех главнейших
Важнейшая всего одна.
Учите алгебру, она глава наукам,
Для жизни очень всем нужна,

Когда достигнешь ты наук высоты,
Познаешь цену знаниям своим,
Поймешь, что алгебры красоты,
Для жизни будут кладом не плохим.

2. Мотивация урока.

Ещё начиная с начальной школы вы учились решать задачи. Для этого с каждым годом вы обучались всё новым и новым методам и способам решения. Сегодня мы познакомимся с задачами, решение которых сводится к дробным рациональным уравнениям.

3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Какие уравнения называются дробными рациональными?

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

4. Объяснение нового материала.

Прежде чем приступать к решению задачи необходимо несколько раз внимательно прочитать условие задачи, понять какую величину обозначить за неизвестную.

Ввести алгоритм решения задач на движение в одном направлении, если известны расстояние, соотношение между скоростями и время отставания (задержки в пути).

Алгоритм

Пусть объекты движутся в одном направлении и при этом известны:

1. Расстояние S

2. Соотношение между скоростями V₁ и V₂.

3. Время отставания или задержки в пути t

Тогда решение таких задач находится с помощью уравнения:

При составлении уравнения удобно пользоваться следующей таблицей:

После решения задачи необходимо ещё раз объяснить ход решения и поинтересоваться у учащихся, понятно ли им данное решение. Так же необходимо заметить, что в некоторых случаях целесообразно создавать геометрические модели для лучшего восприятия условия задачи. Чаще всего такие модели составляются к задачам на движение.

4. Первичное осмысление нового материала.

Решить № 209, 214, 215.

5. Релаксация: “Поза покоя”

Сесть ближе к краю стула, опереться на спинку, руки свободно положит на колени, ноги слегка расставить. Формула общего покоя произносится медленно, тихим голосом, с длительными паузами.

Все умеют танцевать,

Прыгать, бегать, рисовать,

Но пока не все умеют

Расслабляться, отдыхать.

Есть у нас игра такая –

Очень лёгкая, простая,

Замедляется движенье,

Исчезает напряжение…

И становится понятно –

Расслабление приятно!

6. Самостоятельная работа.

Решить № 213(3).

7. Постановка домашнего задания.

Прочитать п.7 из учебника, разобрать примеры.

Решить № 210, 216, 213(6).

8. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с задачами, решение которых предполагает составление и решение дробных рациональных уравнений, научились решать эти задачи при помощи составления математической модели, проверили свои знания с помощью самостоятельной работы. Всем спасибо, урок окончен.