Разбор типовых заданий № 10 ЕГЭ по математике базового уровня

Разбор типовых заданий № 10 ЕГЭ по математике базового уровня

Геометрия

1) ПЕРИМЕТР

• ПЕРИ́МЕТР  ( др .-греч.  περιμετρέο —  измеряю вокруг ) — общая длина границы  фигуры .

Решение

30+40+30 = 100

Ответ: 100

Решение

40 + 50 + 40 + 50 – 3 = 177

Ответ: 177

4. Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах .

! Алгоритм выполнения

• Вычислить периметр прямоугольника.
• Прибавить длину разделяющей части.

P = 30 м + 30 м + 25 м + 25 м = 110 м.

110 м – длина забора без перегородки.

Прибавим длину разделяющей части.

По рисунку видно, что длина разделяющей части 25 м.

110 м + 25 м = 135 м.

Решение

2* (30 + 25) + 2*15 = 140

Ответ: 140

2) ПЛОЩАДЬ

ПЛОЩАДЬ – численная характеристика двумерной геометрической фигуры, которая показывает размер этой фигуры.

7. Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 35 и 45 м. Дом, расположенный на участке, имеет на плане форму квадрата со стороной 7 м. Найдите площадь оставшейся части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах.

! Алгоритм выполнения

• Находим площадь прямоугольного участка.
• Находим площадь квадратного дома.
• Находим разность этих площадей, отняв от большего числа меньшее.

35 · 45 = 1575 (кв.м) – площадь всего участка

7 · 7 = 49 (кв.м) – площадь дома

1575 – 49 = 1526 (кв.м) – площадь оставшейся части участка

Решение

25*30 – 15*15 = 525

Ответ: 525

3) ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Теоре́ма Пифаго́ра  — одна из основополагающих  теорем   евклидовой геометрии , устанавливающая соотношение между сторонами  прямоугольного треугольника : сумма квадратов длин  катетов  равна квадрату длины  гипотенузы .

6. Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к окну дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах.

! Алгоритм выполнения

Приставленная к стене лестница образует с этой стеной и горизонтальной площадкой возле дома прямоугольный треугольник. Высота, на которой находится верхний конец лестницы, является одним из катетов этого треугольника. Следовательно, для нахождения ее величины нужно использовать теореме Пифагора.

4) ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

8. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 5 м?

! Алгоритм выполнения

• Рассматриваем 2 подобных треугольника. В первом стороны образуют линия фонаря и расстояние от его основания до верхней точки тени от человека. Во втором – линия роста человека и линия его тени.
• Поскольку треугольники подобны, то можем соотнести соответствующие стороны и оставить из этих отношений пропорцию.
• Из полученной пропорции выражаем искомую величину. Вычисляем ее.

Обозначим искомое расстояние через  х .

Из рисунка имеем 2 треугольника. Один (больший) построен на сторонах 5 м и ( х +9) м. Другой (меньший) – 1,8 м и 9 м. Составим пропорцию из отношений соответствующих сторон этих треугольников:

5 : 1,8 = ( х  + 9) : 9.

Из пропорции получим:

5 · 9 = 1,8 · ( х  + 9)

1,8 х  + 16,2 = 45

1,8 х  = 28,8

х  = 16 (м)

5) ОКРУЖНОСТЬ

5. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в 16:00?

! Алгоритм выполнения

• Сначала мы найдем, сколько в градусах занимает один час.
• Затем найдем угол, который образуют стрелки в 16:00

Так как вся окружность — 360°, а часов 12, то один час:

360° : 12 = 30°

Значит, в четыре часа угол будет равен:

30° • 4 = 120°

5) СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ

1. Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,25 м, а наибольшая высота h2 равна 2,25 м. Ответ дайте в метрах.

! Алгоритм выполнения

• Определить, что за фигура на рисунке.
• Вспомнить определение средней линии трапеции.
• Записать формулу для нахождения средней линии трапеции.
• Подставить данные.
• Вычислить среднюю линию трапеции.