Раздел 7. Информация и информационные процессы. Тема: «Представления информации. Системы счисления»

План занятия № 3-4 (4 часа)

Дата проведения занятия _______________г.

Группа:

Преподаватель Любарь Ольга Васильевна

Раздел 7. Информация и информационные процессы.

Тема: «Представления информации. Системы счисления»

Цели занятия:

образовательные: формирование и развитие знаний о дискретном представлении информации и системах счисления;

формирование и развитие умений обработки двоичной системы счисления;

развивающая: развитие познавательного интереса, логического мышления, речи и внимания учащихся, формирование информационной культуры и потребности приобретения знаний;

воспитательная: привитие учащимся навыка самостоятельности в работе, воспитание трудолюбия, эстетического отношения к результатам своего труда.

Задачи занятия:

- познакомить учащихся с основными понятиями представления информации и двоичной системой счисления;

-познакомить с достоинствами дискретного представления информации;

-показать на примерах перевод чисел из одной системы счисления в другую:

-объяснить алгоритм перевода чисел из десятеричной системы в двоичную;

-научить переводу чисел в двоичную систему счисления разными способами;

-познакомить с алгоритмом Горнера;

-научить выполнению алгоритма Горнера.

УМК:

- презентация:

«Дискретные и непрерывные сигналы»,

Оборудование:

Интерактивная доска,

Персональные компьютеры

ХОД ЗАНЯТИЯ

Этапы занятия:

1.Организационный момент

2. Проверка домашнего задания

3. Изложение нового материала (теоретические сведения):

• Универсальность дискретного представления информации

• Двоичная система счисления

Физкультминутка

• Примеры перевода чисел

Физкультминутка

• Практическое занятие

4. Закрепление изученного материала

5. Итоги занятия

6. Домашнее занятие

1. Организационный момент

Давайте поприветствуем друг друга. Здравствуйте! Присаживайтесь. Приготовьтесь к занятию.

1. Проверка домашнего задания

Вопросы:

-Что такое информация?

-Какие свойства информации вы знаете?

-Что такое мера информации?

-Что такое количество информации?

-Какие единицы информации вы знаете?

-Что такое информационный объект?

-Виды информационных объектов?

3. Изложение нового материала

(Теоретические сведения к практической работе)

Универсальность дискретного представления информации

Существует два принципиально отличных способа представления информации: непрерывный и дискретный. Если некоторая величина, несущая информацию, в пределах заданного интервала может принимать любое значение, то она называется непрерывной. Наоборот, если величина способна принимать только конечное число значений в пределах интервала, она называется дискретной. Для наглядного представления о сути явления дискретности можно также сравнить таблицу значений функции и ее график, полученный путем соединения соответствующих точек плавной линией.

Очевидно, что с увеличением количества значений в таблице (интервал дискретизации сокращается) различия существенно уменьшаются, и дискретизированная величина все лучше описывает исходную (непрерывную).

Наконец, когда имеется настолько большое количество точек, что мы не в состоянии различить соседние, на практике такую величину можно считать непрерывной.

Компьютер способен хранить только дискретно представленную информацию. Его память, как бы велика она ни была, состоит из отдельных битов, а значит, по своей сути дискретна.

Достоинства дискретного (цифрового) представления информации:

• простота

• удобство физической реализации

• универсальность представления любого вида информации

• уменьшение избыточности сообщения

• обеспечение защиты от случайных искажений или нежелательного доступа.

В компьютере для представления информации используется дискретное (цифровое) двоичное кодирование, так как удалось создать надежно работающие технические устройства, которые могут со стопроцентной надежностью сохранять и распознавать не более двух различных состояний (цифр)

Информация в компьютере представлена в двоичном коде, алфавит которого состоит из двух цифр – 0 и 1. Цифра двоичной системы называется битом (от английских слов binary digit – двоичная цифра).

Теоретической основой кодирования чисел является подробным образом развитая в математике теория систем счисления. 

Каждый нормальный человек умеет записывать и читать числа, но редко кто задумывается, почему это делается именно так, а не по-другому. Как и многое другое в истории развития человечества, используемая нами форма записи чисел не была придумана сразу, а совершенствовалась в течение тысяч лет.

Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на позиционные и непозиционные. Знаки используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы: I – 1; V – 5; X – 10; L – 50; C – 100; D – 500; М – 1000.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.

Пример VI = 5 + 1 = 6, VI = 5 – 1 = 4.

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количества используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая - три десятка, третья - три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n n 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем.

Основание	Название	Алфавит
n = 2	двоичная	0 1
n = 3	троичная	0 1 2
n = 8	восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
n = 16	шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Если указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом. Например: 101101₂, 3671₈, 3B8F₁₆

В системе счисления с основанием q (q–ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q.

q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда.

Для записи числа в q-ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих цифры от 0, 1,…, q-1. Записать числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10.

Развернутой формой записи числа называется запись в виде

A_q = (a _n-1q ^n-1 + a _n-2q ^n-2 + … + a ₀ q ⁰ + a_-1 q _-1+ a _-2 q ^-2+ … + a_-m q^-m).

Здесь A_q – само число, q – основание системы счисления, a_i –цифры данной системы счисления, n – число разрядов целой части числа, m – число разрядов дробной части числа.

Пример. Получить развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387. 32478 ₁₀ = 3 * 10000 + 2 * 1000 + 4 * 100 + 7 * 10 + 8 =

3 * 10 ⁴ + 2 * 10 ³ + 4 * 10 ² + 7 * 10 ¹ + 8 * 10 ⁰

26,387 ₁₀ = 2 * 10 ¹ + 6 * 10 ⁰ + 3 * 10 ^–1 + 8 * 10 ^–2 + 7 * 10 ^–3

Пример 6. Все числа 112 _3, 101101₂, 15FC₁₆, 101,11₂

перевести в десятичную систему. 112 ₃ = 1 * 3 ² + 1 * 3 ¹ + 2 * 3 ^{0 =} 14₁₀

101101₂ = 1 * 2 ⁵ + 0 * 2 ⁴ + 1 * 2 ³ + 1 * 2 ² + 0 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰

15FC ₁₆ = 1 * 16 ³ + 5*16 ² + F * 16 ¹ + 12

101, 11 ₂ = 1 * 2² + 0 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ + 1* 2 ^–1 + 1* 2 ^–2

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Вспомогательные вопросы

1. Как вы думаете, откуда взяла начало система счисления с основанием 20, которой пользовались некоторые народы тёплых районов земли? А система счисления с основанием 12 ?

2. Сколько цифр необходимо для записи чисел в системе счисления с основанием 6, с основанием 3, с основанием 2 ?

3. Знаете ли вы какие-нибудь славянские или греческие цифры ?

4. При каком арифметическом действии используются понятия делимое, делитель, частное, остаток, полное частное, неполное частное ? Приведите примеры.

5. Можете ли вы рассказать что-нибудь о приспособлениях, которые использует или когда-то использовало человечество для облечения вычислений ?

Десятичная система счисления неудобна для использования в электронных машинах. Дело в том, что техническая реализация устройств

для операций с десятичными числами является громоздкой, невыгодной и сложной. Намного проще и эффективнее использовать всего две цифры (0 и 1), потому что создавать соответствующую электрическую схему не составляет труда, например, “отключено” – 0, а “высокое напряжение” – 1; “низкое напряжение” – 0, а “высокое напряжение “ – 1.

Система счисления с основанием 2, в которой используются всего 2 цифры, называется двоичной системой счисления, или бинарной, от английского слова binary (байнери – двоичный).

Электронной машине удобно работать с числами, записанными с помощью только двух цифр, т. е. В двоичной системе счисления. Но, чтобы человек, работающий с десятичной системой, и компьютер, работающий с двоичной системой, “понимали” друг друга, необходимо уметь переводить десятичную запись в двоичную, а двоичную - в десятичную.

Это делается очень просто. Но сначала вспомним несколько математических понятий, которые применяются при делении одного натурального числа на другое:

^{делимое 45}

40

5

делитель

частное

остаток

45₁₀ Х₂ - ? Х₂ = 101101₂

45 2

44 22 2

Для перевода из десятичной системы счисления в двоичную необходимо:

1 22

11

1. разделить число на 2 (основание двоичной системы счисления);

2. 

   1 2	1	2
   0	0	0
   	1

   
   
   

   зафиксировать остаток системы счисления 0 или 1 и частное от деления;

3. если частное не равно 0, то разделить его на 2 и так далее;

4. если частное = 0, то записать все полученные остатки, начиная с последнего слева направо.

Аналогично, чтобы записать число в любой другой системе счисления, необходимо воспользоваться схемой получения цифр числа, только делителем будет не число 10, а основание нужной системы счисления, например, число 3.

Число, записанное в двоичной системе, можно легко сохранить в электронной машине.

Для хранения одного двоичного разряда применяется специальное устройство – триггер, название которого происходит от английского слова trigger (триггер – защёлка, переключатель). Триггер может находиться в двух устойчивых состояниях – “отключён”, что соответствует цифре 0, и “включён”, что соответствует цифре 1.

Для перевода числа из двоичной системы в десятичную достаточно вспомнить разложение числа 4578₁₀ в виде суммы :

1. * 10³ + 5 * 10² + 7 * 10¹ + 8 * 10⁰, где 10 – основание системы счисления, а показатели при числе 10 – номера цифр.

Аналогично распишем, например, число 101101₂ ^⟶ X₁₀ ?

1. 4 3 2 1 0

101101 = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 +1 = 45

Переведите число 111001₂ в десятичную систему счисления.

1110101₂ = 1 * 2⁶ + 1 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 0 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2⁰ = 64 + 32 + 16 + 0 + 4

+ 0 + 1 = 117₁₀

Ответ: 1110101₂ = 117₁₀

ВОСЬМЕРИЧНАЯ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Общение с компьютером на языке двоичных чисел слишком неудобно. Представьте себе лист бумаги, а на нём написаны сотни и тысячи нулей и единиц, которые необходимо записать в ЭВМ! Мало того, что на эту работу уйдёт огромное время, но гораздо больше придётся потратить на поиск и исправление неизбежных ошибок. Для облегчения работы с двоичными числами создали использовать в качестве вспомогательного средства систему счисления с снованием восемь и шестнадцать. 8 и 16 – есть степени двойки, а значит перевод между ними и двоичной системой максимально прост.

8 = 2³ 16 = 2⁴

Это значит, что восьмеричная цифра объединяет ровно 3 двоичных разряда, а шестнадцатеричная – 4.

Алгоритм перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную (шестнадцатиричную).

1. Сгруппировать двоичные разряды справа налево по три (четыре); если в старшей (т. е. самой левой) группе битов не хватает,то их можно дополнить слева незначащими нулями.

2. Заменить каждую из полученных групп соответствующей ей восьмеричной (шестандцатеричной) цифрой.

11010₂ ^⟶ 011 010₂ = 11010₂ ^⟶ 0001 1010 = 1А₁₆

Обратный переход еще проще: достаточно каждую восьмеричную (шестнадцатеричную) цифру заменить ее двоичным представлением,

дополняя его при необходимости до трех (четырех) двоичных цифр нулями слева

7DF = 0111 1101 1111

7 D F

Для записи шестнадцатеричных чисел необходимо 16 цифр. Первые десять цифр – это арабские цифры, а остальные шесть цифр – это первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F:

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Двоичная	Шестнадцатиричная
0	000	0	0000	0
1	001	1	0001	1
2	010	2	0010	2
3	011	3	0011	3
4	100	4	0100	4
5	101	5	0101	5
6	110	6	0110	6
7	111	7	0111	7
8	1000		1000	8
9	1001		1001	9
10	1010		1010	A
11	1011		1011	B
12	1100		1100	C
13	1101		1101	D
14	1110		1110	E
15	1111		1111	F

Используя эту таблицу, можно легко переводить восьмеричные (шестнадцатеричные) числа в двоичные и обратно.

ПЕРЕВОД ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДРУГИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Перевод целых чисел.

1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основании новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его начиная с последнего остатка.

Перевод дробных чисел

1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе

счисления;

1. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

0	1875 * 2
0	3750 * 2
0	7500 * 2

Пример: Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную и восьмеричную системы.

0	1875 * 8
1	5000
	* 8
4
	0000

Вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей. 0,1875₁₀ = 0,0011₂; 0,1875₁₀ = 0,14₈

Пример:

Физкультминутка

Схема Горнера

При вычислении десятичного значения р-ичного целого числа по развернутой форме

удобно пользоваться схемой Горнера, которая позволяет минимизировать арифметические

операции и исключить возведение в степень.

Схема Горнера была на самом деле применена англичанином Горнером (а ещё

раньше итальянцем Руффини) для вычисления коэффициентов многочлена p(x+c) и

использовалась для приближённого вычисления корней многочленов. Еще одним

применением схемы Горнера является быстрый алгоритм перевода из двоичной системы в

десятичную, предложенный Соденом в 1953 году: старшую цифру умножаем на

основание, добавляем вторую цифру, результат умножаем на основание, добавляем третью

цифру и так до тех пор, пока не прибавим последнюю цифру.

Результатом будет десятичная запись числа. Полученное равенство будет

справедливо для любых целых p-ичных чисел, а формулу можно записать в общем виде:

(aⁿa^n-1a^n-2...a¹a⁰)p = (...(aⁿ ∙ p + a^n-1) ∙ p + a^n-2) ∙ p + ...) + a¹) ∙ p + a⁰.

СХЕМА ГОРНЕРА   AnPn+An-1Pn-1+……+A5P5+A4P4+A3P3+A2P2+A1P1+A0P0+……

 

Практические задания

1. Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв – из двух бит, для некоторых – из трех).

Эти коды представлены в таблице:

a	b	c	d	e
000	110	01	001	10

Определите какой набор букв закодирован двоичной строкой 1100000100110

1. bade;

2. badde;

3. bacde;

4. bacdb.

1. Запишите следующие числа по схеме Горнера:

а). А10 =0,234 б). А10=0,342 в). А10=0,285

А10=5678 А10=6721 А10=4930

А10 =456,46 А10=364,72 А10=567,24

А10 =456,46 А10=364,72 А10=567,24

1. Задания

Выполните операцию сложения над двоич­ными числами:

 

а). 1) 10010011+101101        а). 1) 10110111+10011011                                                 

2)  1011101+11101101           2) 10010111+1011100
3) 11101001+10011101         3) 1101001 1+1 101 1011
4) 110010,11+110110,11        4) 111011,11+101111,11

в). 1). 11001110 +100010001       2). 10011110 + 10101010

     3). 11001100 + 1011101           4). 110111,01 + 10011,11

1.  Переведите целые числа из двоичной системы в де­сятичную по схеме Горнера:

 

а). 1) 110101110001110         2) 1001010011011101

     3) 10110010010001010     4) 11000011010100000

 

б). 1) 11001010000111100     2) 11110001110011010

     3) 11110101000101010      4) 11111010100100011

 

в). 1) 1011111000011111110  2) 10011110001111000

     3) 1111001111001001101  4) 10011100110011100

 

5. Все числа 122 ₃, 101001₂, 15FВ₁₆, 101,01₂ перевести по схеме Горнера в десятичную систему счисления

6.Все 4-буквенные слова, составленные из букв Ш,К,О,Л,А. записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка:

1. АААА

2. АААК

3. АААЛ

4. АААО

5.АААШ

Запишите слова, которые стоит под номерами 11, 125, 348, 500, 563.

7. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, К, Р, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

1. ААААА

2. ААААК

3. ААААР

4. ААААУ

5. АААКА

……

Укажите номер слова УКАРА.

ТЕСТ ПО ТЕМЕ:

" Системы счисления"

1. В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на: а) арабские и римские;

б) позиционные и непозиционные;

в) представление в виде ряда и в виде разрядной сетки.

1. Двоичная система счисления имеет основание: а) 10; б) 8; в) 2.

2. Для представления чисел в шестнадцатеричной системе счисления используются:

а) цифры 0 - 9 и буквы А - F; б) буквы А - Q;

в) числа 0 - 15.

1. В какой системе счисления может быть записано число 402? а) в двоичной; б) в троичной; в) в пятеричной.

2. Чему равно число DXXVII в десятичной системе счисления? а) 527; б) 499; в) 474.

3. Недостатком позиционной системы счисления является: а) сложно выполнить арифметические операции;

б) ограниченное число символов, необходимых для записи числа; в) различное написание цифр у различных народов.

1. Даны системы счисления: 2-ая, 8-ая, 10-ая, 16-ая. Запись вида 352: а) отсутствует в двоичной системе счисления;

б) отсутствует в восьмеричной;

в) существует во всех названых системах счисления.

1. Какие цифры используются в шестеричной системе счисления? а) 0,6,5,2;

б) 8,6,1,0;

в) 0,3,2,1.

1. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа: 341, 123, 222, 111.

а) 3; б) 4; в) 5.

1. Когда 2*2=11?

а) в двоичной системе счисления; б) в троичной системе счисления;

в) в четверичной системе счисления.

1. Как записывается максимальное 4-разрядное положительное число в троичной системе счисления?

а) 2222; б) 1111; в) 3333.

1. Цифры - это:

а) символы, участвующие в записи числа; б) буквы, участвующие в записи числа;

в) пиктограммы, участвующие в записи числа.

4. Закрепление изученного материала

Вопросы:

-Какие способы представления информации вы узнали на занятии?

-Что мы называем непрерывным представлением информации?

-Что мы называем дискретным представлением информации?

-Какие достоинства дискретного представления вы узнали на занятии?

-В каком коде представлена информация в компьютере?

-Как мы называем цифры двоичной системы?

-Что такое система счисления?

-На какие классы можно разделить все системы счисления?

-Что можно получить с помощью алгоритма Горнера?

5. Итоги занятия

Оценивается работа учащихся

6. Домашнее занятие

Выучит новые понятия

Литература

1. Информатика и ИКТ: учебник для начального и среднего профессионального образования. Цветкова Н.С., Великович Л.С. – Академия, 2011 г.

2. Информатика и ИКТ. Практикум для профессий и специальностей технического и социально-экономического профилей. Н. Е. Астафьева, С. А. Гаврилова, под ред. М.С. Цветковой, Академия, 2012г.

ПРИМЕЧАНИЕ

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________