Разные доказательства теоремы Пифагора

«Доказательства теоремы Пифагора»

.

История теоремы

• История этой теоремы начинается еще в древнем Китае. Здесь нельзя обделить вниманием математическую книгу Чу-Пей, где говорится о треугольнике со сторонами “3, 4, 5”.

• В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

• Теорема упоминалась и в древнем Египте, и в Вавилоне.

Жизнь Пифагора

• Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора неизвестно.

• В юном возрасте Пифагор отправился в Египет, чтобы набраться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Известно, что самосский тиран снабдил Пифагора рекомендательным письмом к фараону Амасису, благодаря чему он был допущен к обучению и посвящён не только в египетские достижения медицины и математики, но и в таинства, запретные для прочих чужеземцев.

Теорема Пифагора.

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство Эпштейна

• Начнем него, ведь его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники.

Доказательство

• Проведем прямую EF, на которой лежат диагонали

Двух квадратов, построенных на катетах треугольника

И проведем прямую CD перпендикулярно EF через вер-

Шину прямого угла треугольника.

• Из точек А и В Продлим стороны квадрата, постро-

енного на гипотенузе треугольника, до пересечения с EF.

• Соединим полученные на прямой EF точки с противо-

Лежащими вершинами квадрата и получим попарно рав-

Ные треугольники.

• Заметим, прямая CD делит больший квадрат на две

Равные прямоугольные трапеции, которые можно разбить

На треугольники, составляющие квадраты на катетах. И

Получим квадрат со стороной, равной гипотенузе треугольника.

Теорема доказана.

Доказательство Нильсена

Доказательство

1. Продлим сторону АВ квадрата, построенного на гипотенузе треугольника.

2. Построим прямую EF, параллельную ВС.

3. Построим прямую FH, параллельную АВ.

4. Построим прямую из точки D, параллельную СН.

5. Построим прямую из точки А, параллельную СG

6. Проведем отрезок MN, параллельный СН

7. Так как все фигуры, полученные в большем треугольнике равны фигурам в квадратах, построенных на катетах, значит площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах.

Теорема доказана.

F

E

H

С

В

M

N

G

А

D

Доказательство Бетхера

Доказательство

• Проведем прямую, на которой лежат диагонали квадратов, построенных на катетах треугольника и опустим из вершин квадратов параллельные отрезки на эту прямую.
• Переставим большие и маленькие части квадратов, расположенные над осью.
• Разобьем полученную фигуру как указанно на рисунке и расположим их так, чтобы получился квадрат, сторона которого равна гипотенузе треугольника.

Теорема доказана.

Спасибо за внимание