Разработка дополнительного занятия по подготовке учащихся к ОГЭ по теме: "Задачи № 26"

Задание № 26 из сборника ОГЭ 10 вариантов Ященко И.В.

Вариант 2.

Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и К – на второй. При этом АС и ВК – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СК.

Решение

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. В прямоугольной трапеции ВКОМ: ВМ=45, МО=45+55=100, КО=55, МН┴КО, НО=55-45=10, cos∟МОН=0,1.

В прямоугольном треугольнике ЕОК: cos∟ЕОК=0,1=ОЕ:ОК = ОЕ=5,5.

Треугольник ВМР подобен ∆ КОЕ (равны соответственные углы при параллельных прямых) с коэффициентом подобия = , значит РМ = 4,5.

Расстояние между прямыми АВ и СК соответствует длине отрезка РЕ = МО-ОЕ+МР=100 – 5,5 + 4,5 = 99.

Ответ: 99.

Аналогичная задача.

1) Окружности радиусов 15 и 21 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки C и D - на второй. При этом АС и ВD- общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.(Ответ 35)

2) Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки C и D - на второй. При этом АС и ВD- общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD. (Ответ 80)

3) Окружности радиусов 12 и 52 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки C и D - на второй. При этом АС и ВD- общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Решение

Расстояние между прямыми AB и CD – это FK. FK= NO+ FN-KO.

1) Рассмотрим ∆ MAB. Он равнобедренный, так как МА=МВ – касательные, проведённые к окружности из одной точки. Аналогично ∆ MCD – равнобедренный.

2) Рассмотрим ∆ MAN и ∆ MCD. Они прямоугольные, так как NА┴ MA и ОС ┴МС , являются радиусами и касательными. У данных треугольников угол при вершине М – общий, а углы при вершинах А и С - прямые. Данные треугольники подобны по двум углам. Составим пропорцию:

= . N0 = сумме двух радиусов. N0=12+52=64. Обозначим MN=х, тогда получим = . Решаем уравнение х=19,2. Значит МN=19,2.

3) АF в прямоугольном ∆ МАN, является высотой, проведённой из прямого угла А. Тогда ∆МАN подобен ∆АFN. У подобных треугольников углы равны. ∟FАN=∟АМN . Значит равны их синусы.

Синус = отношение противолежащего катета к гипотенузе. АN:МN=FN:АN. (*)

4) ∆АFN подобен ∆СКО из равенства соответственных углов при параллельных прямых. Составим пропорцию: АN:СО=FN:КО или FN: АN=КО:СО. Используя (*), получим равенство:

АN:МN=FN:АN=КО:СО. Или 12:19,2= FN:12=КО:52. Следовательно FN=7,5, КО=32,5.

5) Найдём FK= NO+ FN-KO, FК=64+7,5-32,5=39.

Ответ: 39.

Вариант 3

В ∆АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК:КМ = 10 : 9. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади четырёхугольника КРСМ к площади ∆АВС.

Решение

Треугольники АКМ и СКМ – равновеликие, так как КМ является медианой. Обозначим площадь ∆ АКМ= х. Рассмотрим отношение площадей ∆АВК и ∆АМК: высоты, проведённые из вершины А у них равны. Площадь ∆АВК=0,5·АН·ВК, площадь ∆АМК=0,5·АН·МК, где АН – высота, проведённая из вершины А к прямой содержащей стороны ВК и МК. Тогда : = = . Или = х.

Рассмотрим отношение площадей ∆АВК и ∆РВК: высоты, проведённые из вершины В у них равны. Площадь ∆АВК=0,5·АК·ВЕ, площадь ∆РВК=0,5·ВЕ·РК, где ВЕ – высота, проведённая из вершины В к прямой содержащей стороны АК и РК. Тогда : = = .

Рассмотрим отношение площадей ∆АКС и ∆СРК: высоты, проведённые из вершины С у них равны. Площадь ∆СРК=0,5·РК·СО, площадь ∆АКС=0,5·АК·СО, где СО – высота, проведённая из вершины С к прямой содержащей стороны АК и РК. Тогда : = = .

Значит : = : , = 2· = 2х. Получаем х : = 2х : или

= . Пусть = у, тогда = у.

Треугольники АВМ и СВМ – равновеликие, так как ВМ является медианой. Площадь ∆АВМ равна сумме площадей ∆АВК и ∆АКМ. = х + х = х.

Площадь ∆СВМ равна сумме площадей ∆РВК, ∆СКР и ∆СКМ. = у + у + х = у + х.

= , тогда х = у + х, или х = у. у = х.

= + = х + х = х, = 2· =2· х = х.

Получаем, : = х : х = 54:133.

Ответ: 54:133.

Аналогичная задача В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК:КМ=7:3. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади четырехугольника КРСМ.

Решение.

Пусть площадь треугольника  . Выразим площади треугольника   и четырехугольника   через  . Для решения задачи нам понадобится следующий факт: Пусть дан треугольник АВС и точка М на стороне АС, которая делит сторону АС в отношении  . Тогда

1.   - так как ВМ - медиана, следовательно, точка М - середина АС и АМ=МС.

2.  , так как по условию ВК:КМ=7:3. Следовательно, 

3. Найдем, в каком отношении делит точка Р отрезок ВС. Для этого через точку Р проведем прямую BD параллельно АС. 

Рассмотрим треугольники   и  . Треугольник   подобен треугольнику   по двум.  . Пусть  . Тогда 

Теперь рассмотрим подобные треугольники   и   (они также подобны по двум углам).

Таким образом

Отсюда 

Ответ: 

Вариант 4.

Середина диагонали АС выпуклого четырёхугольника АВСD удалена от каждой из его сторон на расстояние, равное 12. Найти площадь четырёхугольника, если ВD = 26.

Решение

Рис.1 Рис.2

Треугольники ALO, AKO, CMO, CHO равны как прямоугольные треугольники по катету и гипотенузе (АО=ОС – О – середина АС, LO=КО=ОН=ОМ по условию). Значит ∟1 = ∟2 = ∟3 = ∟4 (рис.1). АС является диагональю и биссектрисой. В треугольниках АВС и АDC углы при основаниях равны, следовательно они равнобедренные и они равны между собой по стороне (общая) и прилежащим углам. Четырёхугольник АВСD – ромб. Диагонали ромба перпендикулярны, и точкой пересечения делятся пополам. ОD=ОВ=26:2=13.

В ∆ОDН: DH= 5, tg ODH=12/5.

В ∆ODC: tg ODC = OC/OD=12/5 = OC=13·12:5=31,2.

АС=2·ОС=62,4.

Найдем площадь ромба через полу произведение диагоналей. S=AC·BD:2= 26·62,4:2 = 811,2.

Ответ: 811,2.

Аналогичная задача. Середина диагонали ВD выпуклого четырёхугольника АВСD удалена от каждой из его сторон на расстояние, равное 7. Найти площадь четырёхугольника, если АC = 50. (Ответ:4375/12)

Вариант 5.

Точка О является основанием высоты, проведённой из вершины тупого угла А треугольника АВС к стороне ВС. Окружность с центром в точке О и радиусом ОА пересекает прямые АВ и АС в точках Р и М, отличных от А, соответственно. Найдите АС, если АВ =9, АР = 8, АМ = 6.

Решение

Обозначим радиус окружности через х, тогда МО=ОА=ОР=х.

В ∆АОВ: cos ОАВ = ОА : АВ= х : 9.

В ∆АОР: cos ОАР = cos ОАВ=х : 9, по теореме косинусов ОР² = ОА²+ АР² - 2·ОА·АР· cos ОАР или

х² = х² + 8² - 2·х·8·х:9, 16/9 х² = 64 = х = 6.

Треугольник АОМ – равносторонний, все стороны = 6. Значит все углы = 60°.

В ∆АОС: ∟О = 90°, ∟А = 60°, ∟С = 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

Получаем, что АС = 2·АО = 6·2=12.

Ответ: 12.

Аналогичная задача

Точка О является основанием высоты, проведённой из вершины тупого угла А треугольника АВС к стороне ВС. Окружность с центром в точке О и радиусом ОА пересекает прямые АВ и АС в точках Р и М, отличных от А, соответственно. Найдите АС, если АВ =40, АР = 20, АМ = 32.

Ответ: 25.

Вариант 7.

В ∆АВС биссектриса ВЕ и медиана АМ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 60. Найдите стороны треугольника АВС.

Решение

Треугольники АВО и МВО равны по общему катету ВО и острому углу при вершине В (ВЕ – бис-са угла В). Значит АВ=ВМ=0,5ВС и АО=ОМ=30. ВО – медиана, бис-са и высота в равнобедренном треугольнике АВМ.

Пусть АВ = х, АЕ=к, АС=у, тогда ВМ=2х, ЕС=у-к. Для бис-сы ВЕ ∆АВС верно равенство:

АЕ : АВ = ЕС : ВС или к : х = (у-к) : (2х) или 2к = у-к, 3к = у, к = 1/3 у.

Для медианы ∆АВС верно равенство: АМ² = + -

60² = + - ,

у² = 7200 + х².

Для бис-сы ВЕ ∆АВС верно равенство:

ВЕ² = АВ·ВС - АЕ·ЕС

3600 = х·2х – 1/3 у·2/3 у,

2х² -

х = 15 , у²= 7200+ 2925 = 10125, у = 45 .

Получаем, что АВ = 15 , АС = 45 , ВС = 30 .

Ответ: АВ = 15 , АС = 45 , ВС = 30 .

Ответ:  AB = 42√13; BC = 84√13; AC = 126√5.

Задания из Ященко 30 вариантов

Вариант 1

Углы при одном из оснований трапеции равны 19° и 71°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 12 и 10. Найти основания трапеции.

Решение

К

В Т С

М О Н

A Р D

Трапеция АВСD, ∟А=19°, угол D=71°, МН-средняя линия = 12, М € АВ, Н € СD, АМ=МВ, СН=НD, ТР=10, Т € ВС, Р € АD, ВТ=ТС, АР=РD, точка О пересечение МН и ТР, МО=ОН=МН/2=12/2=6, ТО=ОР=ТР/2=10/2=5.

Продлеваем боковые стороны до пересечения их в точке К, треугольник АКD прямоугольный, угол К=180° - ∟А- ∟D =180°-19°-71°=90°.

Треугольник МНК прямоугольный, КО - медиана=1/2гипотенузы МН=12/2=6, КТ=КО-ТО=6-5=1, треугольник ВКС прямоугольный, КТ-медиана=1/2гипотенузыВС, ВС=2*КТ=2*1=2, КР-медиана в прямоугольном треугольнике АКD=1/2гипотенузы АD, АD=2*КР=2*(КТ+ТР)=2*(1+10)=22.

Ответ: 8 и 20.