Разработка по теме "Понятие о непрерывности функции"

Понятие непрерывности функции в точке

Основные понятия и определения

Определение

Функция  называется непрерывной в точке , если:

1. функция  определена в точке  и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции  в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е. 

Замечание

При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. 

Ответ. 

Приращение аргумента и функции

Рассмотрим функцию , которая определена в некотором интервале  и рассмотрим произвольную точку из этого интервала: .

Определение

Приращением аргумента  в точке  называется разность 

Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что .

Приращением функции  в точке  называется разность соответствующих значений функции  или, используя равенство из выше приведенного замечания, будем иметь:

Функция  непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции :

Пример

Задание. Исследовать на непрерывность функцию 

Решение. Функция  определена в любой точке из . Найдем приращение заданной функции произвольной точке :

Тогда

А тогда делаем вывод, что функция  является непрерывной.

Ответ. Функция  является непрерывной.

Полезные теоремы о непрерывности функции

Теорема

Если функции  и  непрерывны в точке , то функции , , также непрерывны в точке .

Пусть функция  задана на множестве , а  - множество значений этой функции. Пусть на множестве  задана функция . Тогда говорят, что на множестве  задана композиция функций (или сложная функция) .

Теорема

Пусть функция  непрерывна в точке , а функция  непрерывна в точке . Тогда композиция функций  непрерывна в точке .

Теорема

Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

Непрерывность функции на промежутке

Определение

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция  называется непрерывной справа в точке , если  .

Функция  называется непрерывной слева в точке , если  .

Функция  называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция  называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть  и непрерывной слева в точке , то есть  .

Свойства функций непрерывных на отрезке:

1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

2. Непрерывная на отрезке  функция является ограниченной на этом отрезке.

3. Теорема Больцано-Коши. Если функция  является непрерывной на отрезке  и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между  и  .

4. Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка  такая, что  .

Определение

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция  определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции  в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е. 

называется точкой разрыва функции.

Пример

Функция  не определена в точке , а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.

Определение

Если в точке  существуют конечные пределы  и , такие, что , то точка  называется точкой разрыва первого рода.

Пример

Функция  в точке  имеет разрыв первого рода, так как

, а 

Определение

Если хотя б один из пределов  или  не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Пример

Для функции  точка  - точка разрыва второго рода, так как  .

Определение

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции  в точке :  или функция  не определена в точке , то точка  называется точкой устранимого разрыва.

Пример

Рассмотрим функцию  . Найдем односторонние пределы и значение функции в точке :

Так как  и не равны значению функции в точке, то точка  - точка устранимого разрыва.

Пример

Задание. Исследовать функцию  на непрерывность.

Решение. Рассматриваемая функция определена и непрерывна на промежутках ,  и, на которых она задана непрерывными элементарными функциями , и  соответственно. А тогда, разрыв возможен только на концах указанных промежутков, то есть в точках  и  .

Найдем односторонние пределы и значение функции в каждой из точек.

1) Рассмотрим точку  . Для нее

Так как  , то в точке  функция терпит разрыв первого рода.

2) Для точки  имеем:

Так как односторонние пределы и значение функции в этой точке равны, то это означает, что в точке функция непрерывна.

Ответ. В точке  функция терпит разрыв первого рода, а в точке  непрерывна.

Пример

Задание. Исследовать функцию  на непрерывность в точках  и  .

Решение. 1) Исследуем функцию на непрерывность в точке :

Так как один из односторонних пределов бесконечен, то точка  - точка разрыва второго рода.

2) Для точки  получаем:

и значение функции в точке

Таким образом, в точке  заданная функция является непрерывной.

Ответ.  - точка разрыва второго рода, а в точке  функция непрерывна.