Разработка урока "Целое уравнение и его корни"

9 Алгебра

28.11.2022

Конспект урока

Тема: Целое уравнение и его корни.

Цели урока: ввести понятие целого уравнения и его степени; умение определять степень целого уравнения; познакомить со способами решения целых уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент:

- Начать этот урок я хочу с притчи:

«Однажды к учителю подошел ученик, который поймал бабочку и спросил: «Учитель, какая у меня в руках бабочка: живая или мертвая?»

Учитель, даже не взглянув на ученика ответил: «Все в твоих руках»».

- Вот и наш сегодняшний урок в наших руках.

II. Актуализация знаний.

а) х² = 0;

б) 3х + 1 = 5 + 3х;

в) х² – 5 = 0;

г) х² = ;

д) х² = 25;

е = 0.

- Ребята что вы видите на картинке? (Уравнения)

- Что такое уравнение? (Равенство содержащее переменную)

- А что с уравнением обычно делают? (Решают)

- А что значит решить уравнение? (Найти все его корни, или доказать, что корней нет).

- Что называется корнем уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство).

- Молодцы! Ребята, посмотрите, пожалуйста, еще раз внимательно на экран! Данные уравнения отличаются друг от друга? (Да, здесь целые уравнения и дробные рациональные)

-Назовите под какими буквами целые уравнения, и под какими дробно- рациональные. (а,б,в,г,д- целые; е- дробное рациональное).

-Итак, тема нашего урока «Целое уравнение и его корни».

 III. Изучение нового материала.

Определение: Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого - целые выражения.

Отличие целого уравнения от дробного рационального заключается в том, что областью определения целого уравнения является множество всех действительных чисел. То есть аргумент может принимать любые значения.

Среди уравнений найдем те, которые являются целыми уравнениями с одной переменной.

Целыми будут следующие уравнения.

Каждое из этих уравнений можно преобразовать.

Выполним преобразования в первом уравнении:

Во втором уравнении:

В третьем уравнении:

В каждом из рассмотренных примеров мы выполняли такие преобразования, которые приводят к уравнению, равносильному данному. В результате получали уравнение, имеющее вид Р(х)=0, где Р(х) – многочлен стандартного вида.

Вообще, всякое целое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая – нуль.

Определение: Степень многочлена P(x) называют степенью уравнения P(x)=0.

Рассмотрим примеры: определить степень уравнений.

1. х⁸ + + 5 = 0;        Ответ: 8       

2. 0,3х⁷ + 1 = 0 Ответ: 7 

3. х⁵  + х⁸ (х³–2) = 0

   х⁵  + х¹¹ – 2х⁸=0

х¹¹ – 2х⁸ + х⁵ = 0; Ответ: 11

4.  ( – 2)( + 2) =0           

– 4 = 0 Ответ: 6

Любое уравнение 1 - й степени можно привести к виду:

ах + b = 0 - это линейное уравнение, и оно имеет не более одного корня.

Уравнение 2 - й степени можно привести к виду:

a  + bx + c = 0 - это квадратное уравнение и оно имеет не более двух корней.

Уравнение 3 - й степени можно записать в виде a  + b + cx + d = 0, оно имеет не более трёх корней.

Уравнения 4-й степени можно представить в виде:

a  +b c +dx+e=0 , оно имеет не более четырёх корней.

Любое целое уравнение n - й степени можно представить в таком виде , оно имеет не более n корней.

Причём, во всех этих случаях, a≠0.

IV. Формирование умений и навыков.

Рассмотрим некоторые методы решения целых уравнений.

Пример №1.

Решить уравнение:

(умножим обе части уравнения на 2)

Данное уравнение имеет три корня.

Ответ: х = –1, х = 1, х = 8

Пример №2.

Решить уравнение.

Так как для него трудно найти способ решения, будем работать с исходной записью. Введём замену:

Получим новое уравнение, решим его:

(у - 1) (у +2) = 10

D = 49 0, два корня

= – 4

= 3

Выполним обратную замену:

– 4 или

4 или

D = –12 D = 16 0,

нет корней два корня: = –3; = 1.

Ответ: х = –3; х = 1

При решении этого уравнения мы применили способ введения новой переменной. С помощью этого способа легко решать уравнения вида

Алгоритм решения биквадратного уравнения:

1. Ввести новую переменную = y.

2. Решить уравнение , полученное после подстановки новой переменной.

3. Выполнить обратную подстановку y = .

4. Найти корни исходного биквадратного уравнения.

Пример №3

Решить уравнение:

=8

Приведем его к биквадратному уравнению:

– 2

Введём новую переменную и выполним подстановку:

=

D = 36 0, два корня

= 4

= –2

х = ±2

, нет корней

Ответ: х = ±2

Пример №4.

Решить уравнение № 276 (а, в).

Р е ш е н и е

а) (2х² + 3)² – 12 (2х² + 3) + 11 = 0.

З а м е н а: 2х² + 3 = y;

y² – 12e + 11 = 0;

y₁ = 1 y₂ = 11.

В е р н е м с я к з а м е н е:

в) (х² + х – 1) (х² + х + 2) = 40.

З а м е н а: х² + х – 1 = y;

y (y + 3) = 40;

y² + 3y – 40 = 0;

y₁ = –8, y₂ = 5.

В е р н е м с я к з а м е н е:

Ответ: –3; 2.

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Какое уравнение называется целым?

– Что такое степень целого уравнения?

– Какова степень уравнения 2х³ – 5 + х⁶ = 0?

– Сколько корней может иметь целое уравнение первой степени? второй степени?

Домашнее задание:

1. §5, стр. 75-78 читать, выучить определения и алгоритм.

2. Выполнить № 265, 267 (а, б), 277 (а), 278 (а)