Развитие логического мышления на уроках математики

Развитие логического мышления на уроках математики

Выполнена: учителем

Математики Ушанковой А.С.

Чебоксары, 2012

Обучение-это ремесло,

использующее бесчисленное

количество маленьких трюков.

Д.Пойа

Введение

Есть такая наука - логика, которая учит, как нужно рассуждать, чтобы наше мышление было определённым, связанным, последовательным, доказательным и не противоречивым. Как человек, не знакомый с правилами арифметики и грамматики, не может правильно считать и правильно писать, так и человек, не знающий правил логики, не может без ошибок рассуждать и действовать. Особенно много приходиться рассуждать в математике. Человеку, занимающемуся математикой, приходиться определять понятия, выяснять связи между ними, рассматривать, какие группы, числа, уравнения можно составить. Но особенно часто в математике приходиться путём рассуждений выводить раз нообразные формулы, числовые закономерности, правила, доказывать теоремы. Без логики не может быть математики! А это значит, что для успешного изучения математики надо учиться правильно рассуждать. Само изучение математик очень полезно для овладения правилами и законами мышления. Не без основания математику иногда называют "оселком" для ума. Решение всякой математической задачи - это цепь рассуждений. Вычисления, которые приходиться использовать, невозможны без логических рассуждений.

Вот пример. В 1781 году была открыта планета Уран. Наблюдения показали, что движения этой планеты отличается от теоретически вычисленного движения. Французский учёный Ливерье(1811-1877г.г.) логически рассуждая и выполнив довольно сложные вычисления, определил влияние на Уран другой планеты и указал место её нахождения. В 1846 году астроном Галле подтвердил существование новой планеты, которая была названа Нептун.

Нужно постоянно учиться логически рассуждать во всех классах средней школы. Для развития логического мышления учащихся полезно предлагать им вопросы, ответы на которые вроде бы очевидны, однако» здравый смысл" подсказывает неправильное решение. Такие задачи и вопросы целесообразно собирать, записывая на карточки. Приведу некоторые из них.

АЛГЕБРА

Может ли число а^b,где а и b -иррациональные числа, быть рациональным?

(Да, например, =3. Иррациональное число и легко устанавливаются методом от противного.)

Может ли выражение х+, где х-любое вещественное число, быть целым числом, причем х≠± 1?

(Да. Пусть, например, х=2±;тогда х+=4)

ГЕОМЕТРИЯ

Следует ли из теоремы Пифагора, что треугольник со сторонами 3;4;5- прямоугольный?

(Нет. Треугольник со сторонами 3;4;5, конечно прямоугольный ,но это следует не из теоремы Пифагора, а из теоремы, ей обратной: если а² + в² =с² , то угол С=90 .)

Особое внимание, при этом, нужно уделять развитию грамотной математической речи учащихся: научить их определять рассмотренные фигуры, а также формулировать простейшие свойства.

Следующие упражнения развивают логическое мышление.

В купе едут 6 пассажиров, живущих в разных городах: Москве, Ленинграде, Туле, Киеве, Риге и Одессе. Фамилии их: Агеев, Боков, Власов, Громов, Дубов, Елисеев. Известно, что:

1) Агеев и москвич - врачи;

2) Дубов и ленинградец - учителя;

3) Власов и туляк - инженеры;

4) Боков и Елисеев - участники войны, туляк не был в армии;

5) рижанин старше Агеева, одессит старше Власова;

6) Боков и москвич сошли в Киеве, Власов и рижанин должны были сойти в Виннице.

Определите фамилию, профессию и место жительства каждого пассажира.

Для решения этой задачи составим таблицу.

Решаем задачу методом исключения. По горизонтали: у москвича, согласно условиям 1 и 6 зачеркнём А и Б; у ленинградца, на основании 2 -Д; у туляка согласно 3 и 4 - В, Б, Е; у и рижанина - А и Б на основании 5 и 6; у одессита - В, согласно 5.

Согласно 1, А - врач; зачеркнём А у учителя и инженера; аналогично Д - у врача и инженера; В у врача учителя.

По вертикали: 1) киевлянин - Власов и согласно 3 он - инженер; 2) в горизонтали киевлянина можно зачеркнуть все буквы, кроме В.

Теперь А не зачёркнута у одессита. Одессит Агеев и, на основании 1 , он - врач, в его строке зачёркиваем все буквы, кроме А.

Продолжая дальше получим: рижанин – Дубов, он же - учитель; москвич - врач и Елисеев; ленинградец - учитель и Боков; туляк - инженер и Громов.

Восстанови цифры.

_- 2 х 8 х х - 2 4 8 7 3

х 8 х 2 2 1 8 4 2 2

--------------- --------------

6 4 5 1 6 4 5 1

Геометрия, в целом, как и её основные составляющие - фигуры, логика и практическая применимость - позволяют учителю гармонично развивать образное и логическое мышление ребёнка любого возраста, прививать ему навыки практической деятельности. Изучение геометрии на наглядном, интуитивном уровне, начатое с первых лет обучения в школе может стать хорошей подготовкой к систематическому курсу в результате создания образов геометрических фигур и "открытия" некоторых их свойств путём конструирования и рисования, а также овладения терминологией и основами геометрического языка.

В начальной школе представляется целесообразным знакомить детей с различными геометрическими формами (как плоскими, так и пространственными) в процессе игры. Игра должна быть подчинена внутренней логике, в которой осуществляется переход от трёхмерных объектов (как наиболее привычных и знакомых детям) к двумерным, а затем одномерным и точке.

В 5 - 6 классах следует предоставить детям возможность познакомиться с тем, как " устроены " известные им геометрические фигуры, тем самым, включая детей в процесс эмпирического познания различных свойств рассматриваемых фигур.

Изучение элементов стереометрии параллельно каждому разделу планиметрии избавит от всем известной трудности в изучении стереометрии, возникающей у учащихся старших классов и обладает следующими дидактическими возможностями:

1) " Выход в пространство " во многих случаях поможет сформировать у учащихся умения использовать приёмы и навыки логических рассуждений.

2) Изучение пространственных фигур помогает учащимся в усвоении планиметрии, например, при введении новых понятий, бывает полезно рассмотреть пространственную фигуру, иллюстрируя на ней вводимое понятие.

3) Обращение к стереометрии в 7 - 9 классах помогает учителю эффективно решать вопросы дифференцированного подхода к обучению детей.

В классах" выравнивания ", где дети ещё не готовы к усвоению (а, иногда, и восприятию) дедуктивного способа изложения геометрии, стереометрический материал может стать той базой, на которую учитель будет опираться при обучении учащихся геометрии. И, поскольку, стереометрический материал является наглядным, а большинство задач - вполне доступными для учащихся этих классов, то удается продвинуться в привитии учащимся интереса не только к занятиям геометрией, но и вообще к учению.

В сильных классах (или для отдельных сильных учеников) помимо развития пространственного представления стереометрический материал может быть активно использован для более серьёзного логического развития учащихся. Важнейшей особенностью современного этапа развития школы являются идеи гуманизации и гиманитаризации образования.

Гуманитаризация математического образования означает, что в обучении математике акцент ставится на общее развитие учащихся, а именно развитие логического мышления, математической речи, пространственного воображения, интуиции и т. п. Кроме того, гуманитаризация обучения математике предполагает усиление взаимосвязи естественно - математического образования с гуманитарным. Новизна данных упражнений, во - первых, в использовании нематематической информации, во - вторых, в разнообразии форм подачи условия (таблицы, схемы, программы, магические квадраты, блок - схемы, лабиринты, удивительные квадраты). Ещё одной особенностью предлагаемых заданий является то, что кроме требования произвести те или иные вычисления они содержат вопросы, направленные на развитие логического мышления, математической речи, умения объяснить "что?", "почему?", "как?".

Приведённый пример называется " ВСЁ О БОБРАХ " (5 класс).

В нашей стране водиться много бобров. Бобр - крупный грызун , ведёт полуводный образ жизни , обитает по лесным рекам ,делает из ветвей и ила домик , поперёк рек сооружает плотины длиной 5 - 6 метров.

Задание 1. Узнайте длину тела бобра (в дециметрах). Поможет вам в этом удивительный квадрат.

1. Из первой строки выберите наименьшее число.

2. Из второй строки выберите наибольшее число.

3. Из третьей строки выберите не наименьшее и не наибольшее число.

4. Найдите сумму выбранных трёх чисел – и вы получите ответ на вопрос. (3.6+2.7+3.7=10, длина тела бобра 10 дм.)

10 дм. – это сколько сантиметров? Сравните длину тела бобра со своим ростом.

Из каждой строки и каждого столбца выберите по одному числу, найдите сумму этих чисел. Что вы заметили? (6.3+2.3+3.7=10)

Найдите сумму чисел по главной диагонали. Что вы заметили? Найдите сумму чисел по побочной диагонали таблицы. Сделайте вывод. (Это волшебный квадрат, всегда сумма равна 10).

Задание 2. Узнайте массу бобра (в килограммах).

: 4 = ; : 4 = ; 8 * 207 = ;

- 1500 = ; + 61 = .

Как называются геометрические фигуры, использованные в этом задании? Какая фигура лишняя? Почему?

Используя результаты вычислений, ответьте на вопросы:

1. На сколько 100 больше 39?

2. Во сколько раз 25 меньше 100?

3. На сколько надо уменьшить 39, чтобы получить 156?

4. Чему равно частное от деления 1656 на 8?

Очень ценятся мех и кожа бобра. Из жира бобра изготовляют лекарство.

Задание 3. Узнайте, сколько стоят 100 гр. жира бобра (в рублях). Ответить поможет вам блок-схема.

32

*5

-106

˃100

+9

:4

нет да

Итак, 100 гр. жира. стоят 50 рублей. Сколько стоит 1 кг. жира бобра? Какую часть 100 грамм составляют от 1 кг.? Сколько жира можно купить на 1 рубль?

Объясните приём вычитания 106 из 160,приём умножения 54 на 5.(вычисление ученика: 32*5=160; 160-106=54; 54*5=270; 270-106=164; 164 100; 164:4=41;41+ 9=50.Ответ:50 рублей.)

Бобр отличный пловец и ныряльщик, он может находиться под водой 5 минут.

5 минут-сколько это секунд? Какую часть 5 минут составляют от 1 часа?

В рассказ о бобрах включены задания, выполнение которых предусматривает вычислительную работу, форма подачи заданий разнообразна. Упражнение на определение длины тела бобра направленно на логическое развитие мышления, понимание смысла частицы «не». Упражнение на определение времени преследует цель обучения грамотному правописанию математических терминов, что является одной из обязательны задач учителя. В процессе выполнения задания осуществляется смена деятельности, что способствует предупреждению или снятию утомления. Использование на уроке математики нематематической информации направленно на воспитание у учащихся любознательности, стремления познавать новое, расширение кругозора.

Такого урока достаточно, чтобы ученики увидели, что математика - интересная наука и что с её помощью они могут решать «большие проблемы», которые, зачастую, встречаются в повседневной жизни. К.Д.Ушинский писал, что: «Сделать учебную работу насколько возможно интересной для ребёнка и не превратить этой работы в забаву-это одна из труднейших и важнейших задач дидактики».

В математической литературе нет общепринятого определения понятия «занимательность обучения математике». Оно считается интуитивно явным. Однако, чтобы использовать это понятие, его надо как-то выделить. Поэтому под занимательностью на уроке понимаем те компоненты урока (способы подачи учебного материала, специфические свойства информации и заданий, связанные с учебным материалом, а иногда и с организацией обучения),которые содержат в себе элементы необычайного, удивительного, неожиданного, комического, вызывают интерес у школьников к учебному предмету и способствуют созданию положительной эмоциональной обстановки учения.

Под методикой использования занимательных заданий на уроках математики понимаем методы, средства и приёмы подачи занимательных логических задач, занимательные формы организации обучения.

Методика использования учебных занимательных заданий в общих чертах сходна с методикой использования обычных заданий, и, хотя чёткой границы между ними провести невозможно, использование занимательности обладает некоторыми особенностями:

1. Учителя автоматически переносят на урок занимательные материалы из внеучебной занимательности, но следует брать только приёмы, формы, идеи, а не конкретные материалы;

2. Основное внимание уделяется зрелищности, интересности, увлекательности материалов и совершенно (за редким исключением) игнорируется выполнение ими дидактической функции. Многие учителя, поэтому полагают, что роль использования занимательности заключается в том, чтобы поднять тонус учащихся, дать кратковременный отдых и прочее. Однако установлено, что работа на уроке, внешне эффективная и нравившаяся и ученикам, и учителю, фактически оказывается бесполезной. Почти все внешние интересы привходящими моментами урока оказывались, в итоге, малоэффективными, ибо уводили в сторону от выполнения учебных задач урока;

3. Многие учителя не задумываются над вопросом, органично ли входит тот или иной занимательный материал в урок. На уроках порой используется такая занимательность, которая надолго выбивает учащихся из колеи. Другая крайность состоит в том, что учителя используют ограниченное число приёмов занимательности. В итоге подача занимательных материалов становится однотипной, что довольно скоро надоедает учащимся и теряет свой эффект;

4. . Учителя сами должны составлять занимательные материалы, так как составляя их, учителя значительно глубже поймут сущность занимательности и смогут эффективнее их использовать на уроках. Таким образом, намного продуктивнее будут уроки, если удачно органично вкраплять занимательный материал в структуру урока, придавать ему дидактические, развивающие и познавательные функции и тем самым уничтожить явную границу между занимательным и учебным материалом. При этом следует отдавать предпочтение занимательному материалу, отражающему существенные моменты изучаемого. Необычный учебный материал обладает некоторыми особенностями по сравнению с обычным.

Например, обычная схема учебных заданий такова:

Однако, чтобы учащиеся научились решать задачи, вовсе не обязательно выбирать этот путь. Иногда полезно нарушить эту схему.

Например, наряду с обычными (и важными) заданиями - выполнить умножение столбиком – рекомендуется использовать иногда видоизменённые задания. Рассмотрим пример.

Вместо звёздочек надо записать цифры и в обоих множителях поставить запятые так, чтобы пример был выполнен, верно.

1. 3,42

^* _*** ^* 1,02

1. 684

342 342___

*,**** 3,4884

Чтобы восстановить пример, ученик должен проанализировать ситуацию, проявить определённую сообразительность. Проводимый анализ в свою очередь ускоряет формирование навыков и запоминание правил. Этим компенсируется некоторая потеря времени по сравнению с обычным заданием (выполнить умножение).

Методическая ценность логических занимательных задач в том, что ученику надо глубже вникать в сущность задания, выделять главные моменты, учитывая связи между компонентами, и так далее. Благодаря этому учебный навык, на формирование которого направленно это задание, вырабатывается быстрее, ибо он связан с продуктивной мыслительной деятельностью ученика.

Ещё одно достоинство многих занимательных логических задач в том, что при их решении у ученика часто возникает необходимость менять ход мысли на обратный. Например, зашифрованные задания часто требуют рассуждений, обратных тем, к которым привыкли ученики.

25-с²=(5 - )( + 5).

Произведение разности двух выражений и их суммы выполняется по формуле разности квадратов - закрепление навыка использования этой алгебраической формулы. Именно в этот момент важно вкраплять в систему упражнений задания, требующие рассуждений в обратном порядке. Чтобы восстановить это равенство, надо уловить связи между объектами, проявить некоторую сообразительность. А с методической точки зрения эти задания очень ценны, так как готовят учащихся к следующему учебному этапу – умению раскладывать разность квадратов двух выражений на множители. Фактически зашифрованные задания (или, по крайней мере, отдельные их виды) есть ни что иное, как клубок логических связей, который надо распутать. Кроме того, ненавязчиво проводится мысль о том, что математический объект может быть однозначно задан своей частью или своими свойствами.

Ценность такого подхода заключается в том, что он позволяет в «пустыню однообразных упражнений» (необходимых, однако, для выработки какого-либо навыка) вкраплять зашифрованные задания, которые повышают интерес к этой иногда однообразной, но нужной деятельности, развивают творческие способности учащихся. Использование зашифрованных заданий позволяет иногда показать тот или иной метод учебной работы. Например, подготовить учащихся 7 класса к принятию метода доказательства от противного, так как при восстановлении зашифрованных примеров мы фактически используем обоснования, аналогичные этому методу доказательств.

Расшифруйте умножение:

bс

^* aa

bbb

⁺ bbb_

Bddb

Решение полностью построено на методе доказательства от противного:

1. а≠1.Предположим, что а=1, тогда *1=bbb. Получаем противоречие, значит а≠1.

2. bb≥5, тогда bb+bb≠dd. Получаем противоречие, значит b

Как известно, умение менять ход своей мысли на обратный – ценнейшее качество ума. Логические задания способствуют формированию гибкости ума, освобождению мышления от шаблонов. С помощью приемов занимательности создаются задания, которые могут служить мостиком от стандартных задач к нестандартным.

Известно, что учащиеся с трудом решают нестандартные задачи. Причин этому много. Одна из них заключается в резком переходе от стандартных задач к нестандартным. Необходимы переходные задания. Довольно часто ими являются логические задачи благодаря их важной особенности: трудность этих задач можно варьировать и они освобождены от той жёсткости, фиксированности, которая присуща многим учебным заданиям.

Действительно, учебное задание обычно заранее определяет весь основной ход решения. И для выполнения дидактических задач это очень важно. Однако наряду с ними в обучении надо использовать и задания, которые дают учащимся определённую свободу при их решении. Ведь это же есть ни что иное, как творческий подход. Свобода при выполнении логических заданий важна и в методическом отношении. В некоторых случаях, например, появляется возможность подготавливать учащихся к формированию умений и навыков (часто на интуитивной основе). В других свобода помогает интуитивному освоению идей математики и приёмов умственной работы.

Таким образом, решение логических задач часто связано с общими проблемами обучения: развитием приёмов мышления, общеучебных умений и навыков и т. д. Значит, кроме прироста математических знаний, умений и навыков, логические задания часто выполняют и другие, не менее важные цели: развитие мышления и способностей ученика. Решение задач (особенно нестандартных) сложный процесс, где надо уметь думать, догадываться, хорошо знать фактический материал. В процессе решения каждой задачи надо чётко различать четыре этапа:

1. изучение условия задачи;

2. поиск плана решения и его составление;

3. оформление найденного решения;

4. критический анализ результата решения.

Универсального способа, позволяющего решать любую задачу, нет, так как нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы. Решение таких задач развивает логическое мышление, так как работа над задачей начинается с вдумчивого ознакомления с её содержанием. «Войти» в содержание задачи и «освоить» задачу означает понять её основную мысль, представить себе описываемые процессы и по-своему рассказать о ней. Говоря о проблеме понимания учащимися сущности изучаемого на уроках материала, особенно полезно остановиться на решении текстовых задач арифметическим способом. По мнению авторов многих учебных пособий, решение задач в 5-6 классах с помощью составления уравнений не позволяет получить желаемое развитие логического мышления учащихся и приводит к негативным последствиям, например, при изучении геометрии. Кроме того, учитель не может проконтролировать понимание поставленной задачи и, соответственно, откорректировать ошибки учеников. Представленные методы решения текстовых задач могут помочь в решении этой проблемы. Особенностью этих методов является составление логической схемы, ошибка в которой выявляется учителем при беглой поверке и может быть тут же исправлена. Кроме того, схемы исключают возможность шаблонного решения задачи. В основу логической схемы положен аналитико-синтетический метод научного познания, и овладение им также полезно учащимся, начинающим обучение в основной школе. Главные цели данной методики – проконтролировать такой важнейший процесс, как понимание, научить детей мыслить чётко, последовательно аргументировать каждый шаг своих действий логически. А это особенно важно в свете концепции современного математического образования, где выделен приоритет развития и развивающего обучения. К трудности реализации данной методики на практике следует отнести так называемый «детский консерватизм». Учащиеся, привыкшие решать задачи либо с помощью краткой записи, либо с помощью составления таблицы типа «скорость, время, расстояние». В начале трудно воспринимать новый способ оформления задачи, т.е. налицо элемент переучивания. Поэтому эта методика будет наиболее полезной, если использовать её на первых уроках решения задач на движение в начальной школе.

Рассмотрим на примерах подобную методику решения задачи.

Задача 1. Собственная скорость теплохода 27 км./ч., скорость течения реки 3км./ч. Сколько времени потребуется теплоходу, чтобы проплыть путь по реке между причалами, если расстояние между ними равно 120 км?

Решение.

Составим схему.

Данная методика решения задачи быстро усваивается детьми. Перечислим главные моменты, на которые нужно обратить внимание учащихся на первых уроках:

1. начинать составление логической схемы следует только с искомой в задаче величины;

2. каждая неизвестная величина в схеме должна быть связана с двумя другими, не обязательно известными;

3. каждая неизвестная величина должна быть связана лишь с теми величинами, зная которые, можно найти неизвестную;

4. каждая «веточка» схемы может заканчиваться только известной величиной.

Усвоив эти нехитрые правила, ученики смогут самостоятельно составлять схемы и решать задачи без ошибок. Аналогично можно решать и другие текстовые задачи арифметическим способом. Приведём пример уже составленных схем к следующей задаче.

Задача 2. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух сёл, расстояние между которыми 36 км. Они встретились через 2 часа. Найдите скорость второго велосипедиста, если скорость первого 8 км.\ч.

Схема 1.

Скорость второго велосипедиста

(10 км./ч.)

Скорость сближения Скорость первого велосипедиста

(18км./ч.) (8 км./ч.)

Путь Время

(36 км.) (2 ч.)

1. 36:2=18(км./ч.);

2. 18-8=10(км./ч.).

Схема 2.

Скорость второго велосипедиста.

(10 км./ч.)

Путь второго велосипедиста. Время второго велосипедиста.

(20 км.) (2 ч.)

Весь путь Путь первого велосипедиста

(36 км.) (16 км.)

Скорость первого велосипедиста Время первого велосипедиста

(8 км./ч.) (2 ч.)

1. 2*18=36(км.);

2. 36-16=20(км.);

3. 20:2=10(км./ч.).

Наиболее рациональным является первый вариант решения, но второй способ требует больше логических заключений, поэтому следует рассмотреть оба решения и попросить учащихся составить несколько схем к другой задаче такого же уровня.

«Математик, который не является отчасти поэтом, никогда не достигнет совершенства в математике»- писал К.Вейерштрасс. Сказка-это поэзия. Казалось бы, сказка и математика – понятия не совместимые. Яркий сказочный образ и сухая абстрактная мысль! Но часто решать такие задачи очень увлекательно, хочется помочь попавшему в беду любимому герою; мы стремимся разобраться в сказочной ситуации. Красота решения, неожиданный поворот мысли, логика рассуждений – всё это усиливает интерес к этим задачам.

Например, задача о Старике Хоттабыче: «Возраст Старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:

1. если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то получится двухзначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;

2. первая цифра больше последней в 4 раза.

Сколько лет Старику Хоттабычу?

Решение.

Наибольшим двухзначным числом с суммой, равной 13, является 94. Пусть последняя цифра равна 1, тогда первая цифра 1*4=4. Но такая цифра в числе есть, а ведь цифры в числе должны быть разными. Пусть последняя цифра в числе равна 2, тогда первая цифра 2*4=8. Все цифры различны. Итак, получилось число 8942.

Ответ: Старику Хоттабычу 8942 года.

Рассмотрим задачу из «Курса чистой математики» - (1786 год) Ефима Войтяковского:

Лев старше дикобраза в два с половиной раза,

По сведениям удода тому назад три года

В семь раз лев старше был, чем дикобраз.

Учтите всё и взвесьте: сколько же им вместе?-

Позвольте мне спросить у вас.

Решение.

Пусть дикобразу х лет, тогда льву 2,5х лет. Три года назад дикобразу было х-3, а льву 2,5х-3. По условию задачи: 79(х-3)=2,5х-3

7х-21=2,5х-3

4,5х=18

х=4

Значит дикобразу 4 года, а льву 2,5*4=10 лет, а вместе им 14 лет.

Еще одним способом решения логических задач являются «Круги Эйлера». Изображение условий задачи с помощью кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к её решению. Данная тема, безусловно, расширяет математический кругозор учащихся, обогащает арсенал средств, используемых в решении разнообразных задач. Один из величайших математиков «Петербургской Академии» Леонард Эйлер за свою жизнь (а он родился в 1707 году, а умер в 1783 году) написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги Эйлера. Эйлер писал тогда, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Наряду с кругами в подобных задачах применяют и другие фигуры.

Удивительный класс.

В этом классе учатся 35 человек, и все они либо играют на скрипке, либо разводят хомяков, либо плавают в бассейне «Москва». Многие успевают заниматься и тем, и другим. Больше всего пловцов – хомяководов – 25, пятеро из них ещё и на скрипке играют. Чемпион класса по плаванию на скрипке не играет и хомяков не разводит, а два его друга хомяковода плавать не умеют, зато скрипачи превосходные. Среди скрипачей есть семеро, которые не плавают и хомяков не разводят.

1. Сколь в классе скрипачей?

2. Сколь человек посещают бассейн?

3. Сколько хомяководов не увлекаются ни плаванием, ни музыкой?

Решение.

Воспользуемся кругами Эйлера: круг С изображает скрипачей, круг Х – хомяководов, круг П – пловцов. Число ребят, о которых рассказывается в условии задачи, равно 25+1+2+7=35, и они составляют весь класс, так как по условию в классе 35 человек. Теперь нетрудно ответить на вопросы задачи: в классе 14 скрипачей, 26 ребят посещают бассейн, а хомяководов, не плавающих и не играющих на скрипке, вообще нет – множество их пусто.

Ещё одним объектом для тренировки учеников в проведении достаточно сложных (разветвленных, трудоемких) логических рассуждений, в которых необходимо разобрать все возможные случаи, являются математические ребусы.

3,14… Л ,

Подавляющее большинство возникающих в практической деятельности проблем можно решать многими способами. Необходимо рассматривать все эти способы, дабы сравнить их и выбрать наилучший. Поэтому дополнительный математический багаж учащихся, связанный с умением собирать и обрабатывать поступающую информацию (чему учит математическая логика), пригодиться для практического применения на уроках (и не только математики) и в повседневной жизни.

В заключение хочется сказать несколько слов о систематическом подходе к изучению математики. Логические способности учащихся развиваются лишь в том случае, когда они «вооружены» системным методом познания. Научить находить этот метод и успешно использовать его – основная цель школьной математики.

Используемая литература.

1. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи.

2. Зильберберг Н.И. Урок. Учитель. Ученик.

3. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике.

4. Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике.

5. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика. Задачи на смекалку.

6. Газета «Математика» приложение к «1 сентября» № 8,9,23,24,25,28,13,27 за 1999 год.

7. Мадер В.В. Математический детектив.

16