Решение функциональных уравнений

Решение функциональных уравнений

Сегодня на занятии мы познакомимся с некоторыми способами решения функциональных уравнений

К концу занятия ты будешь:

Знать  способы решения функциональных уравнений

Уметь применять полученные знания, умения и навыки на практике.

Функциональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например,

 Решить функциональное уравнение — значит, найти неизвестную функцию, при подстановке которой в исходное функциональное уравнение оно обращается в тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти их все).

Соотношения, задающие функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых переменных, а уравнениями их называют потому, что неизвестные функции — искомые.

Многие функциональные уравнения содержат несколько переменных. Все эти переменные, если на них не наложены какие-то ограничения, являются независимыми.

Всегда четко должно быть оговорено, на каком множестве функциональное уравнение задается, т.е. какова область определения каждой неизвестной функции. Общее решение функционального уравнения может зависеть от этого множества.

Кроме области определения функций, важно знать, в каком классе функций ищется решение. Количество и поведение решений очень строго зависит от этого класса.

Вообще для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно очень мало общих методов решения. Рассмотрим основные приемы, помогающие найти решения таких уравнений.

Решение функциональных уравнений,

не содержащих свободных переменных, методом подстановки

Уравнение, в котором неизвестная функция зависит от одной переменной и которое не содержит свободных переменных, обычно решается методом подстановки.

В методе подстановки независимая переменная заменяется некоторой функцией новой независимой переменной. Получается новое уравнение относительно неизвестной функции, которое легко решается.

Уравнение вида

Рассмотрим уравнение , где и – известные функции, – неизвестная функция.

Если функция в своей области определения имеет обратную функцию , то , то есть

Пример1. Решите методом подстановки уравнение

ОДЗ:

Здесь

Тогда

Отсюда

Уравнение вида a(x)f(g(x)) + b(x)f(x) = F(x)

Рассмотрим уравнение

,

где a(x), b(x), g(x) и F(x) ‒ известные функции, f(x) ‒ неизвестная функция.

Пусть функция g(x) такова, что g(g(x)) = x. Заменим x на g(x) в уравнении a(x)f(g(x)) + b(x)f(x) = F(x).

Тогда

Получаем два уравнения:

Пример 2. Решим методом подстановки уравнение

Здесь

Поэтому заменим на в уравнении

Пример 3. Решим методом подстановки уравнение

Здесь

Тогда

(

Поэтому k = 3.

Заменим x на в уравнении

Тогда

Снова заменим x на в полученном уравнении

Тогда

Поэтому

Уравнение вида

Если в функции есть обратная функция, то уравнение

сводится к предыдущему случаю.

Пример 4. Решим методом подстановки уравнение

Замена Тогда

Отсюда

Здесь Тогда

В уравнении подставим вместо t функцию .

Получим

То есть

Функциональные уравнения, не содержащие свободных переменных, в классе функций натурального аргумента

Пример 5. Решим функциональное уравнение

в классе функций натурального аргумента.

В скобках указана сумма первых пяти элементов геометрической прогрессии с

Тогда

Покажем с помощью метода математической индукции, что

Если

Пусть формула справедлива при конкретном n. Покажем ее справедливость при

То есть из предположения истинности формулы для т показана справедливость формулы для n+1.

По принципу математической индукции формула истинна для любого натурального n.

Уравнения Коши

Уравнения Коши – это следующие уравнения:

1) (его решение , где C=const)

2)

3)

4)

https://yadi.sk/i/DCbp3AMZ_NttUA

Задачи для самостоятельного решения

1. Решите методом подстановки уравнение

2. Решите методом подстановки уравнение

3. Решите методом подстановки уравнение

4. Решите методом подстановки уравнение .

5. Решите функциональное уравнение