Решение иррациональных, показательных и логарифмических уравнений

Обобщающий урок по алгебре и началом анализа

Тема: Решение иррациональных, показательных и логарифмических уравнений

Цель – проверить качество усвоения решения иррациональных, показательных и логарифмических уравнений; познакомить с методами и способами решений таких уравнений;

– развивать логическое и нестандартное мышление, воображение, зрительную память;

– воспитывать активность, интерес к углублённому изучению курса алгебры и начала анализа.

І. Организационный момент

Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924) заметил: «…Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Последуем совету писателя: будем активны, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием, ведь они нам с вами скоро понадобятся.

Перед нами стоит задача – повторить типы, методы и особенности решения иррациональных уравнений; познакомиться с понятием трансцендентного уравнения с параметром, методами и способами решения таких уравнений.

ІІ. Актуализация опорных знаний

Проводится в форме фронтальной работы с классом. Задания устного опроса можно разделить на две части: в первой части проверяются теоретические знания, а во второй части – умение применять эти знания при решении уравнений и выполнении различных заданий. Ученики комментируют свой ответ.

В І части учащимся предлагается закончить предложение.

Эти предложения записаны на доске.

1. Уравнение – это …

2. Корнем уравнения называется …

3. Уравнения называют равносильными, если …

4. Решить уравнение – это значит …

Задания ІІ части, уравнения, решают устно в парах. Консультанты проверяют правильность ответов.

1. Какие из чисел 5; 0 и -3 являются корнями уравнений?

1. Решите уравнение

1. Равносильны ли уравнения?

ІІІ. Проверка домашнего задания

За две недели до урока класс был разделён на три группы. В каждой группе: теоретики, практики и один эксперт-консультант учителя. Группы представляют своё наглядное пособие (в виде книжки-раскладушки формата А3), в котором приведено определение иррациональных, показательных и логарифмических уравнений, основные методы решений и их теоретическое обоснование, а также собран практический материал по данной теме. Защиты своего задания каждая группа строит по следующему плану:

а) теоретическая часть (определения, факты, теоремы);

б) практическая часть (особенности решения и методы решения).

Эксперты высказывают своё мнение о проектах двух других групп, оценивают работу каждого члена своей группы.

IV. Решение уравнений

Задания записаны на карточках. Вызываются два ученика, которые выбирают себе задание и выполняют его на доске. Один будет решать с комментариями, другой работать самостоятельно. Таким образом, у доски будут всегда работать по два человека.

1. Укажите, какому промежутку принадлежит корень уравнения

:

А) (- 4; - 2); В) ( 3; 5 )

Б) ( 5; 6 ); Г) [- 5; - 3]

Решение:

х 0, х ≠ 1, ,

;

х² – х – 12 = 0; х² = 4; х₂ = - 3

Корень х = 4 4 Є ( 3; 5 ).

Ответ: В) ( 3; 5 )

1. Решите уравнение

Решение:

х 11, х² – 14х + 49 = х² – 10х – 11, х = 15

Ответ: 15

1. Укажите, какому промежутку принадлежит корень уравнения

А) ( 0; 1 ) ; В) (- 3; - 2)

Б) [ 3; 4] ; Г) ( 2; 3)

Решение:

, , х = 2,5 2,5 Є ( 2; 3 )

Ответ: Г) ( 2; 3)

1. Найдите сумму корней уравнения

А) 11; Б) 9; В) 1,1; Г) 0,9

Решение

х 0. Так как обе части уравнения положительны, то можно прологарифмировать по основанию 10. Имеем:

lq х lq 100 = lq х³ , lq² х – lq х = 0 ,

lq х (lq х – 1) = 0;

lq х = 0 , х = 1;

lq х – 1 = 0 , х = 10;

1 + 10 = 11

Ответ: А) 11

1. Решите уравнение

Решение:

2 ∙ 2^2х – 3 (2∙ 5)^х = 5 ∙ 5^2х , так как 2^х ≠ 0, то разделив обе части на 2^х, имеем:

Пусть , t 0. Тогда 5t ²+ 3t – 2 = 0, a–в+c = 0, то t₁ = –1, t₂ =

t₁ = – 1, не удовлетворяет условию t 0.

Если t = , то , х = – 1

Ответ: – 1

1. Решите уравнение

Решение:

х – 3 = 81 – 18х + х² ; х² – 19 х + 84 = 0,

х₁ = 12, х₂ = 7

Проверка показывает, что х = 12 – посторонний корень

Ответ: 7

1. Найдите произведение корней уравнения

А) – 6; Б) 6; В) 3; Г) 2

Решение:

Вынося за скобки общий множитель получаем

х² + 5х + 7 = 1, х² + 5х + 6 = 0

х₁ = – 3 ; х₂ = – 2

– 3 ∙ (– 2) = 6

Ответ: Б) 6

V. Самостоятельная работа (с последующей самопроверкой)

Каждому ученику раздаётся билет и контрольный талон. Всего четыре билета по шесть заданий, но ответы в заданиях пронумерованы от 1 до 36. Самостоятельная работа проводится в виде теста, то есть в каждом задании в ответе надо записывать не корень уравнения или конечный результат, а цифру, под которой записан правильный ответ. При этом эту же цифру надо вычеркнуть в контрольном талоне. Решения записываются в тетради, контрольные талоны сдаются.