Украина. Луганская Народная Республика, Антрацит
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 21.02.2024 15:22
Иоцук Марина Владимировна
Учитель физики и математики
62 года
14 824
1 843 
Местоположение
Специализация
Решение квадратных уравнений
Категория:
Алгебра
24.09.2021 17:32
Просмотр содержимого документа
«Решение квадратных уравнений»
Тема: Решение квадратных уравнений.
Описание: В данном уроке рассмотрим, что такое квадратное уравнение, разберем и запомним пошаговые алгоритмы решения. Освоим понятия дискриминанта, независимых переменных и коэффициентов. Получив основные представления по методам решения, мы подготовимся к кубическим уравнениям и уравнениям четвертой степени. Иллюстрации помогут детям наглядно освоить материал, а некоторые советы помогут быстрее запомнить тему.
ЗАЧЕМ ЖЕ УМЕТЬ РЕШАТЬ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СПРОСИТЕ ВЫ?
| Ещё в Древнем Вавилоне во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне умели решать такие уравнения и смело использовали это умение в повседневной жизни: землеустройстве, военном деле и астрономии. Поэтому современному и прогрессивному человеку, такое знание явно будет полезным как в математике, так и в физике. |
|
ЧТО ЖЕ ТАКОЕ УРАВНЕНИЕ?
|
| Это равенство, содержащее в себе неизвестное число, которое необходимо найти (принято обозначать латинскими буквами x, y и z и другими). |
|
| Если искомая переменная возведена во вторую степень (квадрат), то уравнение называют второй степени или квадратным уравнением. |
Пример.
Длина страницы книги на 8 см больше ширины, площадь страницы 425 см². Каковы размеры страницы?
Решение: Обозначим ширину страницы через x, тогда длина равна (x + 8), а площадь x * (x + 8). По условию задачи площадь составляет 425 см². Составим уравнение x * (x + 8) = 425. Раскроем скобки и получим: x² + 8x = 425. В случаях, когда правая часть уравнения ≠ 0, необходимо всё перенести в левую часть уравнения. В итоге получим: x² + 8x - 425 = 0. Уравнение такого вида и называется квадратным.
Определение.
| Уравнение вида ax² + bx + c = 0 называется квадратным уравнением, где x - переменная, a, b, c - некоторые числа, причём a ≠ 0, a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.
|
|
Примеры.
Рассмотрим примеры уравнений и выделим составляющие части:
2x² -5x + 3 = 0 - уравнение является квадратным, значение первого коэффициента
a = 2, второго коэффициента b = -5, свободного члена c = 3,
4x² - x = 0 - первый коэффициент a= 4, второго коэффициента b= -1, свободный член c = 0,
3x² - 2 = 0 - первый коэффициент a= 3, второго коэффициента b= 0, свободный член c = -2,
12x² = 0 - первый коэффициент a = 12, второго коэффициента b = 0, свободный член c = 0.
ЧТО ЖЕ ЗНАЧИТ РЕШИТЬ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ?
Это означает найти такие значения неизвестной переменной, при подстановке которых уравнение превращается в верное числовое равенство. В дальнейшем эти значения будем называть корнями уравнения.
Пример.
Для уравнения x² - 4x + 3 = 0 известны корни x₁ = 1, x₂ = 3. Подставим значения неизвестной переменной в уравнение и проверим станет ли оно верным числом равенством:
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Прежде, чем узнать множество способов решения квадратных уравнений, необходимо изучить такие понятия: полное квадратное уравнение (все коэффициенты не равны нулю) и неполное квадратное уравнение (некоторые коэффициенты равны нулю).
| ПОЛНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ | НЕПОЛНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ
|
| Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где b ≠ 0 и c ≠ 0, a ≠ 0. | Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где b = 0 или c = 0.
|
| Примеры: 2x² -5x + 3 = 0 8x² -4x = -2 | Примеры: 4x² - x = 0 7x² = 0 |
Ответьте самостоятельно: полное уравнение или неполное?
Ответ: 1 - полное, 2, 3, 4 - неполные.
РЕШЕНИЕ ПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Убедившись, что в уравнении вида ax² + bx + c = 0 все коэффициенты не равны нулю: b ≠ 0 и c ≠ 0, a ≠ 0, можно приступать к решению полного квадратного уравнения. Для этого необходимо выяснить количество корней уравнения либо их отсутствие с помощью вычисления такого параметра, как дискриминант.
Дискриминант - параметр, обозначаемый символом D, происходит от латинского “различающий”. Для уравнения вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0 или c ≠ 0, вычисляется значение дискриминанта по формуле: D = b² - 4ac.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ (полного квадратного уравнения):
Выделить в уравнении вида ax² + bx + c = 0 коэффициенты a, b, c (значение коэффициентов берут с предшествующим знаком).
Вычислить для уравнения вида ax²+bx+c=0 значение дискриминанта по формуле: D = b² - 4ac.
Определить в каком диапазоне будет значение дискриминанта, соответственно которому выбираются формулы для вычисления корней:
D 0 - в уравнении будет два корня x₁ и x₂ ,
D = 0 - в уравнении один корень x,
D - в уравнении корней нет
Вычислить корни уравнения по соответствующим формулам, если D = 0.
ПРИМЕРЫ.
2x² - x -15 = 0
Решение:
Выделим коэффициенты в уравнении a = 2, b = -1, c = -15.
Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b² - 4ac = (-1)² - 4*2*(-15) = 1 + 120 = 121
Определим диапазон значения дискриминанта: D = 121 - больше нуля. Это означает, что корней в уравнении будет два.
Вычислим корни x₁ и x₂:
Ответ: - 2.5, 3.
3x² + x + 2 = 0
Решение:
Выделим коэффициенты в уравнении a = 3, b = 1, c = 2.
Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b² - 4ac = (1)² - 4*3*2 = 1 - 24 = -23
Определим диапазон значения дискриминанта: D = -23 - меньше нуля. Это означает, что корней в уравнении не будет.
Ответ: корней нет.
x² - 6x + 9 = 0
Решение:
Выделим коэффициенты в уравнении a = 1, b = -6, c = 9.
Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b² - 4ac = (-6)² - 4*1*9 = 36 - 36 = 0
Определим диапазон значения дискриминанта: D = 0 - равно нулю. Это означает, что в уравнении будет один действительный корень: 
Ответ: 3.
АЛГОРИТМ ДЕЙСТВИЙ (решение неполного квадратного уравнения):
Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где b = 0 или c = 0, b = 0 и c = 0 называются неполными квадратными уравнениями. Рассмотрим основные виды таких уравнений:
ax² + bx = 0, ax² + c = 0, ax² = 0. Для каждого вида применяется свой способ решения.
| ax² + bx = 0 b ≠ 0 , a ≠ 0, с = 0 | Уравнение имеет два корня, один из которых ноль. Используется метод вынесения за скобку.
|
| ax² + с = 0 a ≠ 0, c ≠ 0, b = 0 | Если a, c - разных знаков, то два корня (метод разложения на множители). Если a, c - одного знака, то корней нет.
|
| ax² = 0 a ≠ 0, b = 0 и c = 0 | Уравнение имеет единственный корень, равный нулю.
|
ПРИМЕРЫ.
-x² + x = 0
Решение:
Выделим коэффициенты в уравнении a = -1, b = 1, c = 0 - уравнение неполное, поскольку свободный член равен нулю.
Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b² - 4ac = (1)² - 4*(-1)*0 = 1 - 0 = 1
Определим диапазон значения дискриминанта: D = 1 - больше нуля. Это означает, что в уравнении будет два корня.
Вычислим корни x₁ и x₂:
Используем метод вынесения за скобку:
-x² + x = 0
Решение:
x * (-x + 1) = 0 → x = 0 → x = 0
-x + 1 = 0 x = 1
Ответ: 0, 1.
3x² - 27 = 0
Решение:
Выделим коэффициенты в уравнении a = 3, b = 0, c = 27 - уравнение неполное, поскольку коэффициент b равен нулю.
Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b² - 4ac = (0)² - 4*3*(-27) = 0 + 324 = 324
Определим диапазон значения дискриминанта: D = 324 - больше нуля. Это означает, что уравнение имеет два действительных корня.
Вычислим корни x₁ и x₂:
Используем метод разложения на множители:
3x² - 27 = 0
Решение: Для разложения на множители уравнения, применим формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b).
3x² - 27 = 0 → 3 * (x² - 9) = 0
x² - 3² = 0 → (x - 3) = 0 → x = 3
(x + 3) = 0 x = -3
Ответ: -3, 3.
5x² = 0
Решение:
Выделим коэффициенты в уравнении a = 5, b = 0, c = 0 - уравнение неполное, поскольку коэффициент b равен нулю и свободный член равен нулю.
Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b² - 4ac = (0)² - 4*5*(0) = 0 - 0 = 0
Определим диапазон значения дискриминанта: D = 0 - равен нулю. Следовательно корень один и поскольку уравнение неполное он равен нулю: 
Ответ: 0.
© 2021, Иоцук Марина Владимировна 204 0
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
