Решение линейных неравенств

Знаки сравнения ввёл

Томас Хэрриот ( 1560 год —1621 год) в своём

сочинении, изданном посмертно в 1631 году.

До него писали словами: больше , меньше ,

английский астроном, математик,

этнограф и переводчик.

Открытые места на слайде используем для интерактивной доски, чтобы изображать рисунки к примерам.

Джон Валлис , точнее — Уоллис ( John Wallis; ) (1616 —1703) — английский математик, один из предшественников математического анализа.

6

Линейные неравенства

• Линейным неравенством с одной переменной х называется неравенство вида ах + b › 0, где а≠0.
• Решение неравенства – значение переменной х, которое обращает неравенство в верное числовое неравенство.

0 Значит х=3 не является решением данного неравенства При х=-5, 4∙(-5)=-20, -20 0 Значит х=-5 является решением данного неравенства " width="640"

Пример 1 : Являются ли числа 3, -5 решением данного неравенства 4х + 5

• При х = 3, 4∙3+5=17, 17 0

Значит х=3 не является решением данного неравенства

При х=-5, 4∙(-5)=-20, -20 0

Значит х=-5 является решением данного неравенства

Правила

(преобразования неравенств, приводящие к равносильным неравенствам):

1 . Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком (не меняя при этом знака неравенства)

Например : 3х + 5 7 х

3х + 5 -7х

4х ( :4) 2х – 3 х " width="640"

• 2 : а) обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число , не меняя при этом знака неравенства.

Например : а)8х – 12 4х ( :4)

2х – 3 х

, на ). Например : а) - 6х + ( – 15 ) 0 (: (-3)) 2х + 5 0 " width="640"

• 3.а) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число , изменив при этом знак неравенства на противоположный ( на , на ).

Например : а) - 6х + ( – 15 ) 0 (: (-3))

2х + 5 0

13х+45 16х-13х45 слагаемое 13х перенесем с противоположным знаком в левую часть неравенства 3х45 приводим подобные слагаемые х15 делим обе части неравенства на 3 15 Ответ: (15;+∞) //////////////////////////// " width="640"

• Решим неравенство 16х13х+45

16х-13х45 слагаемое 13х перенесем

с противоположным знаком

в левую часть неравенства

3х45 приводим подобные слагаемые

х15 делим обе части неравенства на 3

15 Ответ: (15;+∞)

////////////////////////////

13х - 1 Решение : 5х + 6х – 3 13х – 1 5х + 6х – 13х 3 – 1 -2х 2 (: (-2)) х 1 \\\\\\\\\ Ответ: (-∞; -1) -1 " width="640"

Решите неравенство: 5х + 3(2х – 1) 13х - 1

• Решение : 5х + 6х – 3 13х – 1

5х + 6х – 13х 3 – 1

-2х 2 (: (-2))

х 1

\\\\\\\\\

Ответ: (-∞; -1)

-1

Найди ошибки

1)

2)

3)

4)

16 e) 17 х -2≤ 12х-1 f) 3 (3 х-1 ) 2(5х-7) 2 вариант : а) 3х≤21 b) -5хe) 3-9х≤1-х f) 5(х+4)" width="640"

Самостоятельная работа:

1 вариант :

а) 2х≥18

b) -4х16

e) 17 х -2≤ 12х-1

f) 3 (3 х-1 ) 2(5х-7)

2 вариант :

а) 3х≤21

b) -5х

e) 3-9х≤1-х

f) 5(х+4)

Ответы к самостоятельной:

1 вариант :

a) [9;∞)

b) (-∞;-4)

e) (-∞;0, 2 ]

f) (-∞; 11 )

2 вариант:

a) (-∞;7]

b) (7;∞)

e)[0,25;∞)

f) (10;∞)

Софизмы

Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова)

b . Умножив обе части неравенства на b – а , получим: а ( b – а) b ( b – а). Продолжим преобразования. ab – a2 b2 -ab ab – a2 –b2 + ab 0 – a2 + 2ab – b2 0 a2 - 2ab + b2 0 (a – b)2 0 Итак, мы доказали, что всякое положительное число меньше нуля. " width="640"

Пусть а b .

Умножив

обе части неравенства

на b – а , получим:

а ( b – а) b ( b – а).

Продолжим преобразования.

ab – a2 b2 -ab

ab – a2 –b2 + ab 0

– a2 + 2ab – b2 0

a2 - 2ab + b2 0

(a – b)2 0

Итак, мы доказали,

что всякое положительное число

меньше нуля.

При каком значении х имеет смысл выражение?

Решение

Так как арифметический квадратный корень определен для неотрицательных чисел, должно выполняться неравенство: