Решение линейных уравнений с модулями

Введение.

1. Актуальность темы.

Решение уравнений с модулем – это сложная и важная тема в курсе алгебры. Уравнения с модулем относятся к разделу заданий повышенной сложности и на экзаменах за их решение ставятся высокие баллы. Поэтому мы решили создать проект, который поможет ребятам научиться решать уравнения с модулем. Данный проект разрабатывался учащимися седьмых классов, и в нем рассматривается решение линейных уравнений с модулем.

2. Цель проекта.

Поскольку уравнения с модулем не входят в обязательный курс алгебры, то эта тема изучается на элективных курсах. Целью этого проекта было: создать методический и дидактический материал с использованием компьютерных технологий для проведения элективного курса по теме: «Решение линейных уравнений с модулем в 7 классе».

3. Задачи проекта.

Перед учащимися стояла задачи:

1) за время работы над проектом научиться решать линейные уравнения с модулем различного уровня сложности несколькими методами;
2) для уравнений различного уровня сложности вида:

применить следующие методы решения:

• решение линейных уравнений с модулем методом интервалов;

• решение линейных уравнений с модулем с использованием геометрического смысла;

• решение линейных уравнений с модулем графическим способом;

• решение линейных уравнений с модулем с использованием компьютерных технологий - электронных таблиц Excel;

и для каждого вида уравнений подготовить методические пособия:

• карточки - образцы решения этого уравнения каждым из перечисленных способов;

• презентации с подробным алгоритмом решения этого уравнения;

• карточки – задания для решения уравнений на уроках и на контрольных работах
  ( 4 варианта по 6 заданий)

• ответы к карточкам – заданиям.

Эти пособия планируется использовать во время изучения данной темы на элективном курсе.

Вывод.

Работая над проектом, учащиеся седьмых классов освоили различные методы решения линейных уравнений с модулями, создали карточки-задания и карточки - образцы, которые можно применять для работы на уроках, для проведения самостоятельных и контрольных работ.
Дидактических материалов такого вида не было!
Все уравнения, а их всего 150, учащиеся прорешали, чтобы получить для них ответы. Кроме того, были созданы красочные презентации, которые дают наглядность при изучении данной темы, и прибор, позволяющий решать уравнения с использованием геометрического смысла модуля.

Этот проект является первым этапом в решении такой сложной темы, как « Решение уравнений с модулем».
Мы планируем продолжить эту работу, рассмотрев решение квадратных уравнений с модулями на элективных курсах.

Цель проекта:

Создать методический и дидактический материал с использованием компьютерных технологий для проведения элективного курса по теме: «Решение линейных уравнений с модулем» в 7 классе.

 x-1 

|a+b|

|y|-1

|m|

Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике , но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках .

В архитектуре

Модуль -

это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.

В технике

термин модуль не имеет универсального значения. Служит для обозначения различных коэффициентов и величин ( модуль зацепления, модуль упругости, модуль сравнения, модуль захвата, модуль сжатия и др.).

В программировании

при разработке больших проектов программу разбивают на отдельные модули –

относительно независимые и самостоятельные программы. Это упрощает написание, отладку и внедрение проекта.

В математике

абсолю́тная

величина́ или мо́дуль , обозначается |x|. В случае вещественного аргумента — это непрерывная

кусочно-линейная функция, определённая таким образом:

если Х≥0,

если Х

Геометрический смысл

С геометрической точки зрения, модуль числа есть расстояние между числом и точкой отсчета. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина |x 1 - x 2 | означает расстояние между точками x 1 и x 2 и, таким образом, может быть использована как мера близости одной величины к другой.

x 1

x 2

График функции Y =|X|

На элективных курсах рассматривались уравнения разного уровня сложности:

|2x – 3| = 1

||x – 1 | – 4| = 3

|||x – 3| – 3| – 3| = 3

|x + 1| + |5 – x| = 20

Для решения линейных уравнений с модулем рассматривались различные методы:

• метод интервалов;

• графический метод;

• использование геометрического смысла модуля;

• применение компьютерных технологий – электронных таблиц Excel.

Тема: «Решение линейных уравнений с модулем».

Вариант 1

Решите уравнения:

1)|x - 2| + |3 + x| = 2x + 1

2)| х + 4 |– |х –3 |= 1

3)| х + 4 |+ |х –3 |= 7

Карточка - образец

Решение уравнения:

|x - 2| + |3 + x| = 2x + 1

Для каждого вида уравнений были подготовлены:

 карточки - образцы решения этого уравнения каждым из перечисленных способов;

• презентации с подробным алгоритмом решения этого уравнения;
• карточки – задания для решения уравнений на уроках и на контрольных работах ( 4 варианта по 6 заданий);
• ответы к карточкам – заданиям.

А еще

был изготовлен прибор, позволяющий, решать линейные уравнения с модулем используя геометрический смысл.

Сейчас мы покажем вам решение уравнения вида: различными способами.

|||x – 3| – 3| – 3| = 3

Презентация, показывающая решение уравнения методом интервалов с построением графика.

=3 ; ||x-3-3|-3|=||x-6|-3| |||x-3|-3|-3|=||-x-3-3|-3|, если x||-x|-3| ||x-6|-3| x 3" width="640"

Решение уравнения с модулями вида: |||x-3|-3|-3|=3.

Решение.

Строим графики функций y=|||x-3|-3|-3|; y=3 в одной системе координат.

1) Преобразуем выражение |||x-3|-3|-3|, применив метод интервалов

X-3=0;

X=3.

|||x-3|-3|-3=||x-3-3|-3|, если x=3 ;

||x-3-3|-3|=||x-6|-3|

|||x-3|-3|-3|=||-x-3-3|-3|, если x

||-x|-3|

||x-6|-3|

x

3

=9; y=9-x, если 6 . 2) При x Преобразуем выражение ||x|-3|, применив метод интервалов. x=0. 1 . Преобразуем выражение |x-3|, применив метод интервалов. |x-3| |-x-3| x 0 3 |x-3| x 0 3" width="640"

X-9=0;

X=9.

y=x-9, если x=9;

y=9-x, если 6 .

2) При x

Преобразуем выражение ||x|-3|, применив метод интервалов.

x=0.

1 .

Преобразуем выражение |x-3|, применив метод интервалов.

|x-3|

|-x-3|

x

0

3

|x-3|

x

0

3

X-3=0;

X=3.

y=-x+3, если 0

Преобразуем выражение |-x-3|, применив метод интервалов.

-x-3=0;

X=3.

2.

y=-x-3, если x

y=x+3, если -3 .

x+3

-x-3

x

-3

0

=9." width="640"

Получаем функцию, заданную несколькими формулами. Заметим, что каждая формула представляет собой линейную функцию, графиком которой является прямая. Для построения будем использовать таблицы.

-x-3, если x

x+3, если 3

-x+3, если 0

y=

x-3 , если 3

9-x, если 6

x-9, если x=9.

y=x+3

y=-x-3

y=x-9

y=-x+3

y=x-3

y=9-x

Построим график.

y

R

T

P

V

y=3

3

2

1

x

6

8

4

10

2

12

-2

-4

-6

0

-1

-5

-3

11

9

7

5

3

1

Графики пересекаются в четырех точках: T (-6,3); V (0,3); P (6,3); R (12,3).

Ответ: { - 6 ; 0;6 ; 1 2 }.

Карточка – образец, показывающая решение уравнения с использованием геометрического смысла модуля.

Решение уравнения вида |||x-3|-3|-3|=3 используя геометрический смысл модуля.

Решение.

Пусть ||x-3|-3| = а, то уравнение принимает вид: | а -3| = 3

Используя геометрический смысл модуля получаем:

-3

3

х

а 1

3

а 2

а 1 =3-3 а 1 =0

а 2 =3+3 а 2 =6

Вернемся к прежней переменной и получим два уравнения:

||x-3|-3|= 0 или ||x-3|-3|= 6

Используя геометрический смысл модуля решаем эти уравнения.

||x-3|-3|= 0 ||x-3|-3|= 6

+0

-0

+6

-6

х

х

3

-3

3

9

3

3

|x-3| = - 3 не имеет решения, т.к. | а |≥ 0, но -3

|x-3| =9

|x-3| =3

Используя геометрический смысл модуля решаем полученные два уравнения: |x-3| =3; |x-3| =9

-9

+9

-3

+3

-6

3

12

0

3

6

Ответ: -6; 0; 6; 12.

Презентация, показывающая графическое решение уравнений с модулем с использованием компьютерных технологий – Excel

Решим линейное уравнение с модулями при помощи Excel

Наши действия.

• Составляем таблицу значений Х и У для построения графика.
• Выделяем таблицу и открываем мастер диаграмм.
• Выбираем в мастере диаграмм «точечную» диаграмму.
• Создаем диаграмму с заголовком, подписями осей.
• Находим значения корней уравнения – это абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ.

Составим столбец значений Х для получения графика, используя автозаполнение. Возьмем х  [- 10 ; 13 ]

Напишем числа: -10; -9,5 .

Выделим ячейки с этими числами и протянем за маркер заполнения вниз, пока не получим число 10. Будет вот такой столбик c заголовком Х .

В мастере формул выбираем функцию ABS . В ячейку В2 вводим формулу для вычислений. Копируем формулу для всех значений х.

Создаем график при помощи мастера диаграмм.

Из списка диаграмм выбираем «точечную» с гладкими кривыми.

Получаем график функции. Находим абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ. В нашем случае это: -6; 0; 6; 12.

Значит {-6 ; 0; 6; 12 } корни уравнения |||x-3|-3|-3| = 3

Карточки – задания для решения уравнений на уроках и на контрольных работах ( 4 варианта по 6 заданий).

Решение уравнений типа

|||x+y|- z |+ a |= b

Вариант 1

• |||6-2x|-7|+3|=26
• |||8-x|+4|-8|=32
• |||9-6x|-10|+14|=32
• |||-3-4x|+8|-1|=27
• |||-4x+5|-20|+7|=42
• |||12+12x|+3|-4|=18

Решение уравнений типа

||| x + y |- z |+ a |= b

Вариант 2

• |||7-3x|-8|+4|=28
• |||5-8x|-3|+2|=32
• |||4-3x|+2|-10|=28
• |||15x-10|-23|+5|=35
• |||10-x|-3|+9|=18
• |||7x+6|+8|-10|= 16

Ответы для уравнений с модулем:

Вариант 1:

1) |||6 -2x | -7 | +3 | =26;

Ответ: -12 ;18.

2) ||| 8-x | +4 | -8 | =32;

Ответ : -28;44.

3) ||| 9-6x | -10 | +14 | =32;

Ответ: -6 ; 3,5.

4) ||| -8-4x | +8 | -1 | =27;

Ответ: -7; 3.

5) ||| -4x+5 | -20 | +7 | =42;

Ответ - 12,5; 15.

6) ||| 12-12x | +3 | -4 | =18;

Ответ : - 3 ; 2.

В следующем году мы продолжим эту работу, рассмотрев решение квадратных уравнений с модулями на уроках математики и информатики. В перспективе это уравнения вида: ax 2 + b|x| + c = 0; | ax 2 + bx + c |= 0; |ax 2 + b|x| + c|= 0; |a|x 2 | + b|x|+c|=0.

Список используемой литературы.

• Васюк Н.В., Мартиросян М.А., Слепенкова Е.В., Уединов А.Б., Чулков П.В. «Алгебра 7класс. Дидактические материалы», ИП Милосердов И.В. ,2010 год.
• Ершова А.И., Голобородько В.В., Ершова А.С. «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса», Москва, ИЛЕКСА, 2010 год.
• Кострикина Н.П. «Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов», Москва, Просвещение, 1991 год.
• Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко Н.И. «Задачи по математике. Алгебра», Москва, Наука, 1987 год.
• Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко Н.И. «Задачи по математике. Уравнения и неравенства», Москва, Наука, 1987 год.
• Родионов Е.М. «Справочник по математике для поступающих в ВУЗЫ», МЦ «Аспект», 1992 год.
• Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Смирнова С.Ф. «Сборник конкурсных задач по математике», Москва, Наука, 1986 год.
• Кузнецова Л.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А., Колесникова Т.В., Рослова Л.О. «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе», Москва, Просвещение, 2010 год.
• Интернет.

Руководители проекта :

учитель математики - Скородумова Татьяна Васильевна

учитель информатики -Захарова Антонина Николаевна.