Решение неравенств методом интервалов

Тема урока: Решение неравенств методом интервалов

Цель: ознакомление учащихся с эффективным способом решения неравенств путем разделения области значений переменной на интервалы и определение знаков функций на каждом интервале.

Тип урока: введение нового материала с последующим формированием первоначальных навыков

Ход урока:

I. Организационный этап (2 минуты)

Проверка готовности класса к уроку, сообщение темы урока и постановка цели.

II. Актуализация знаний (5 минут)

• Что значит решить уравнение?

• Чем отличается решение уравнения от решения неравенства?

• Вспомним, как решали квадратные уравнения, и каким образом определяли знак дискриминанта.

III. Объяснение нового материала (15 минут)

Демонстрируется классический пример:

f(x)=(x−1)(x+2)⩾0

Нули функции находятся решением уравнения

(x−1)(x+2)=0

. Решив это уравнение, получаем два значения:

X₁=1,x₂=−2

Эти точки будут границами интервалов, на которых мы будем проверять знак функции.

Получилось три интервала: (−∞,−2), (−2,1) и (1,+∞).

Чтобы выяснить знак функции на каждом интервале, достаточно подставить любое удобное значение из этого интервала в функцию и посмотреть, положительный или отрицательный получается результат.

1. Интервал (−∞,−2). Возьмем точку x=−3. Тогда:

f(−3)=(−3−1)(−3+2)=(−4)(−1)=40

Значит, на интервале (−∞,−2) функция положительна.

1. Интервал (−2,1). Возьмем точку x=0. Тогда:

f(0)=(0−1)(0+2)=−1⋅2=−2

Значит, на интервале (−2,1) функция отрицательна.

1. Интервал (1,+∞). Возьмем точку x=2. Тогда:

f(2)=(2−1)(2+2)=1⋅4=40

Значит, на интервале (1,+∞) функция снова положительна.

Теперь посмотрим на условие нашего неравенства:

f(x)⩾0

Значит, мы ищем те интервалы, где функция неотрицательна (⩾0). Исходя из наших рассуждений, это интервалы (−∞,−2] и [1,+∞).

Также обратите внимание, что сами точки −2 и 1 входят в решение, поскольку неравенство включает знак равенства (⩾).

Решением неравенства

(x−1)(x+2)⩾0

являются множества чисел:

x∈(−∞,−2]∪[1,+∞)

Алгоритм решения:

1. Нахождение нулевых точек функции (корней уравнения).

2. Расположение найденных точек на координатной оси.

3. Определение знаков функции на каждом образовавшемся интервале.

4. Составление выводов о характере решения исходного неравенства.

IV. Первичное закрепление (10 минут)

Упражнения из учебника:

№ 325, № 327, № 329

V. Контроль усвоения (5 минут)

Вариант №1

1. Решите неравенство: (x+3)(x−2)

A) (−∞;−3)∪(2;+∞)

B) [−3;2]

C) (−3;2)

D) (−∞;−3]∪[2;+∞)

1. Определите правильный промежуток, удовлетворяющий условию: x−4x+10

A) (−∞;−1)∪(4;+∞)

B) [−1;4]

C) (−1;4)

D) (−∞;−1]∪[4;+∞)

1. Найдите область определения функции: y=(x−1)(x+2)

​A) (−∞;−2]∪[1;+∞)

B) [−2;1]

C) (−2;1)

D) (−∞;−2)∪(1;+∞)

1. Решите неравенство: (x−3)(x+1)≤0

A) (−∞;−1]∪[3;+∞)

B) [−1;3]

C) (−1;3)

D) (−∞;−1)∪(3;+∞)

1. Выберите верный интервал для неравенства: x−5(x+2)≤0

A) (−∞;−2)∪[5;+∞)

B) [−2;5]

C) (−2;5]

D) (−∞;−2]∪[5;+∞)

Правильные ответы:

1. C) (−3;2)

2. A) (−∞;−1)∪(4;+∞)

3. A) (−∞;−2]∪[1;+∞)

4. B) [−1;3]

5. C) (−2;5]

VI. Подведение итогов урока (3 минуты)

Мы вспомнили, как находить нули функции.

Научились разбивать числовую ось на интервалы и определять знаки функции на каждом из них.

Овладели технологией точного подбора ответов на поставленную задачу.

Каждый из вас активно участвовал в процессе, задавал вопросы и демонстрировал свое желание разобраться в теме. Я надеюсь, что теперь вы сможете уверенно справляться с любыми задачами подобного типа.

VII. Постановка домашнего задания (2 минуты)

№ 326, № 335