Решение олимпиадных задач для учащихся 9 классов

Ответы школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике для учащихся 9 классов

9.1. Замените в выражении (x⁴ -3)² + (x³ +*)² звездочку (*) на одночлен так, чтобы после возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых получилось четыре слагаемых.

Решение. Заменим звездочку (*) на 3х:

(x⁴ -3)² +(x³ +3x)² = x⁸ -6x⁴ +9+x⁶ +6x⁴ +9x² = x⁸ +x⁶ +9x² +9

9.2.Каково отношение площади закрашенной части к белой? (Вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон).

Решение.

Р ассмотрим «четвертинку» данного рисунка (на рисунке взята верхняя правая «четвертинка»). Разобьем закрашенную область на равные треугольники как показано на рисунке. Закрашенная область состоит из пяти равных треугольников, а белая область – из трех таких же равных треугольников. Отношение площадей: 5:3.

Ответ. 5:3.

9.3.Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5?

Ответ. 100.

Решение. Число, которое делится на 5, должно оканчиваться на 5 или на 0. Зеркальное число оканчиваться на 0 не может, так как тогда оно должно на 0 начинаться. Итак, первая и последняя цифры - это 5. Вторая и третья цифра могут быть любыми – от сочетания 00 до сочетания 99 – всего 100 вариантов. Так как четвертая цифра повторяет вторую, всего различных чисел будет 100.

9.4.В окружности провели диаметр AB и параллельную ему хорду CD так, что расстояние между ними равно половине радиуса этой окружности (см. рисунок). Найдите угол CAB.

Решение. Рассмотрим треугольник АОС, где О – центр окружности. Этот треугольник равнобедренный, так как ОС и ОА – радиусы. Значит, по свойству равнобедренного треугольника, углы А и С равны. Проведем перпендикуляр СМ к стороне АО и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМС. По условию задачи, катет СМ – половина гипотенузы ОС. Значит, величина угла СОМ равна 30°. Тогда, по теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол САО (или САВ) равен 75°.

О твет. 75°.

9.5. Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых?

Решение. Гномы, которые всегда говорят правду, подняли руку один раз, а гномы, которые всегда лгут, – два раза. Всего было поднято 16 рук (10+5+1). Если бы все гномы сказали правду, то было бы поднято 10 рук. Если одного правдивого гнома заменить на одного лгуна, то число поднятых рук увеличится на 1. Так как было поднято 6 «лишних» рук, то 6 гномов солгали, а 4 сказали правду.

Ответ. 4.