Решение показательных уравнений (1 курс СПО)

Решение показательных уравнений

Преподаватель Евсюкова С.Е.

«Горно-Алтайский государственный политехнический колледж им. М.З. Гнездилова»

Вычислите

• 1) 64
• 2) 1
• 3) 1/64
• 4) 1/81
• 5) 125
• 6) 4
• 7) 27
• 8) 1/32

Определение

Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным.

Примеры:

5 х =1

49 x+0,5  • 7 x-2  =1

2 -х =3 0,5х

3 х  + 3 3-х  = 12

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

Простейшее показательное уравнение решается с использованием свойств степени .

Решите уравнения

• 1) х=3
• 2) х=7
• 3) х= -3
• 4) нет решений
• 5) х=4
• 6) х= -3
• 7) нет решений
• 8) х= -2

1 является возрастающей? При возведении степени в степень показатели складывают? Любое действительное число в нулевой степени равно 1? Область значений показательной функции – множество всех действительных чисел? Показательная функция с основанием 0Х=0 – корень уравнения Не имеет корней уравнение " width="640"

Математический диктант «Крестики-нолики»

1

2

4

3

5

7

6

8

9

  ДА – Х, НЕТ – О

Вопросы:

• Область определения показательной функции – множество всех действительных чисел?
• При умножении степеней с одинаковым основанием – показатели умножают?
• Показательная функция с основанием а 1 является возрастающей?
• При возведении степени в степень показатели складывают?
• Любое действительное число в нулевой степени равно 1?
• Область значений показательной функции – множество всех действительных чисел?
• Показательная функция с основанием 0
• Х=0 – корень уравнения
• Не имеет корней уравнение

Проверка и подведение итогов

Х

О

О

Х

О

Х

О

О

Х

Метод замены переменной

Показательное уравнение сводится к решению квадратного.

Способы замены используют, если:

• основания степеней одинаковы ;
• показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем другой. Например : 9 х  - 8·3 х  = 9 ;
• коэффициенты перед переменной противоположны. Например : 2 2 - х – 2 х – 1 =1.

Решим уравнения

9 х  - 8·3 х  = 9

2 2 - х – 2 х – 1 =1

Решить самостоятельно:

1 вариант

2 вариант

Метод вынесения наименьшего общего множителя за скобки.

Этот метод используется, если соблюдаются два условия:

• основания степеней одинаковые;
• коэффициенты перед переменной одинаковые.

Например:

Решим уравнения:

Примеры:

Деление на показательную функцию

Этот способ используется, если основания степеней разные:

• в уравнении вида a x = b x делим на b x Например : 4 х = 7 х | : 7 x
• в уравнении A a 2 x + B ( ab ) x + C b 2 x = 0

делим на b 2x .

Например:

3  25 х - 8  15 х + 5  9 х = 0 | : 9 x

Решим уравнения:

Ответ: 0; 1

Пример :

Графический метод

Метод основан на использовании графических иллюстраций, или каких-либо свойств функций.

• Решите уравнение

Построим в одной системе координат графики функций

и у = 5 - х .

х

у

-2

-1

1/16

1/4

0

1

1

4

2

16

х

у

0

1

5

4

Графики пересекаются в одной точке (1; 4).

х=1 – решение уравнения.

Ответ: 1.

Решите графически уравнение