Решение текстовых задач по УМК

Решение текстовых задач по УМК Г.В.Дорофеева в 5-9 классах

1. Задачи на движение (5 класс)

2 . Задачи на части (5 класс)

3.Задачи на уравнивание (5 класс)

4.Основные задачи на дроби (5-6 класс)

5. Задачи на совместную работу (5 класс)

6 . Задачи на проценты (6 класс)

7.Деление в данном отношении (6 класс)

8. Задачи на «обратный ход» (6 класс)

9. Алгебраический способ решения задач (6-9 класс)

1. Задачи на движение (5 класс)

• Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого – 4км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

• Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого – 4км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

І способ

Найдем расстояние, которое пройдет каждый пешеход за 3 часа

Первый пешеход пройдет 5∙3=15(км).

Второй пешеход пройдет 4∙3=12(км).

Через 3 часа между ними будет расстояние, равное

15+12=27(км).

5 км/ч

4 км/ч

5 км/ч ∙3 + 4 км/ч ∙3

1. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого – 4км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

ІІ способ

Каждый час расстояние между пешеходами увеличивается на

5+4=9(км)

В таких случаях, говорят, что скорость удаления пешеходов равна 9 км/ч.

Теперь нетрудно найти, на какое расстояние удалятся друг от друга пешеходы за 3 часа:

9∙3=27(км).

2 . Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Найдем скорость сближения пешеходов. Она равна 5+4=9 км/ч

Так как расстояние между пешеходами 18 км, а за час они сближаются на 9 км, тот их встреча произойдет через

18:9=2(ч).

5 км/ч

4км/ч

3. Катер плыл от одной пристани до другой вниз по течению реки 2 часа. Какое расстояние проплыл катер, если его собственная скорость равна 16 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?

Так как катер плыл по течению реки, то он двигался со скоростью

16+3=19(км/ч).

За 2 часа он проплыл расстояние, равное

19∙2=38(км).

2. Задачи на части ( 5 класс )

Так как 9 кг ягод составляют 3 части, то можно узнать, сколько килограммов приходится на одну часть:

9:3=3(кг)

Сахар должен составлять 2 части, поэтому сахара надо взять 3 ∙2=6(кг).

4. В кулинарной книге написано, что для варенья из малины на 3 части ягод надо брать 2 части сахара. Сколько сахара надо взять на 9 кг ягод?

5. Для детских новогодних подарков были закуплены шоколадные конфеты и карамель – всего 20 кг. Сколько было закуплено конфет того и другого сорта, если карамели взяли в 3 раза больше, чем шоколадных конфет?

Эта задача тоже на части, только их надо специально ввести.

Будем считать, что шоколадные конфеты составили 1 часть, тогда карамель составила 3 части (рис.)

2. Задачи на части (5 класс)

2. Задачи на части (5 класс)

Всего на 20 кг конфет приходится

1+3=4(части)

На одну часть приходится 20:4=5(кг),

тогда на 3 части приходится 5 ∙3=15(кг)

Итак, было куплено 5 кг шоколадных

конфет и 15 кг карамели

(Проверьте: 15кг и 5 кг

составляют вместе 20кг,

и 15 кг в три раза больше,

чем 5 кг.)

20 кг

Шоколадные

конфеты

карамель

3. Задачи на уравнивание (5 класс)

6. В двух пачках всего 70 тетрадей, причём в первой на 10 тетрадей больше, чем во второ й. Сколько тетрадей в каждой пачке?

Уравняем мысленно каким либо способом число тетрадей в пачках, например, «уберем» из первой пачки 10 тетрадей. Тогда в двух пачках окажется 70-10=60 тетрадей.Так как теперь пачки одинаковы, то в каждой из них 60:2=30 тетрадей, т.е. мы выяснили, что во второй пачке30 тетрадей. Чтобы узнать сколько

тетрадей в первой пачке, «вернем»

обратно 10 тетрадей.

30+10=40тетрадей.

Ответ: в пачках 30 и 40 тетрадей.

(Проверьте: 40+30=70 тетрадей

и 40 – 30=10 тетрадей )

70

ІІ

І

4. Основные задачи на дроби (5-6 класс)

7. Нахождение дроби от числа:

Расстояние между двумя селами 24кг. За первую неделю бригада заасфальтировала 5/8 этого расстояние. Сколько километров заасфальтировали?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, узнаем сначала, сколько километров составляет 1/8 расстояния. Для этого

24:8=3 (км).

Теперь найдем сколько километров составляет 5/8 расстояния. Для этого

3 ∙ 5=15(км).

2 способ решения:

Чтобы найти 5/8 от 24 км, мы разделили 24 на знаменатель дроби и полученный результат умножили на числитель. Но именно эти действия мы выполним, если умножим число 24 на дробь 5/8:

24 ∙5/8=3 ∙5=15.

Теперь видно, что для нахождения 5/8 от 24 можно умножить 24 на 5/8.

8. Нахождение числа по его дроби:

За первую неделю бригада заасфальтировала 15 км, что составило 5/8 расстояния между двумя сёлами. Каково расстояние между селами?

Узнаем сначала, сколько километров приходится на 1/8 расстояния:

15:5=3(км)

Теперь найдем расстояние между селами. Все расстояние – это 5/8. Поэтому нужно 3 умножить на 8:

3 ∙8=24(км).

2 способ решения:

Чтобы найти расстояние, 5/8 которого равны 15 км, мы 15 разделили на числитель дроби и полученный результат умножили на ее знаменатель.

Но именно это действие мы выполним, если разделим число 15 на 5/8:

15:5/8=15 ∙8/5=3∙8=24.

5. Задачи на совместную работу (5 класс)

9. Библиотеке надо переплести 900 книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 10 дней, а вторая – за 15 дней. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе?

1) 900:10=90(кн.) – может переплести за один день первая мастерская;

2) 900:15=60(кн.) – может переплести за один день вторая мастерская;

3) 90+60=150(кн.) – переплетут за один день обе мастерские вместе;

4) 900:150=6(дн.) – потребуется для переплетения книг двум мастерским.

Сформулируем нашу задачу по новому:

10 . Библиотеке надо переплести некоторое количество книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 10 дней, а вторая – за 15 дней. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе?

Ответ задачи не зависит от того сколько книг нужно переплести.

Всю работу примем за 1.

1) 1:10=1/10- часть работы может выполнить за один день первая мастерская;

2) 1:15=1/15 - часть работы может выполнить за один день вторая мастерская;

3) 1/10+1/15=5/30=1/6 - часть работы могут выполнить за один день обе мастерские вместе;

4) 1:1/6=6(дн.) потребуется двум мастерским для переплетения книг.

11 . Грузовая машина проезжает расстояние

между двумя городами за 30 часов. Однажды

грузовая и легковая машины одновременно выехали на встречу друг другу из этих городов и встретились через 12 часов. За сколько часов легковая машина проезжает расстояние между этими городами?

Расстояние между городами примем за 1.

1) 1:12=1/12 – на такую часть расстояния сближаются машины за 1 час;

2)1:30=1/30 – такую часть расстояния проезжает грузовая машина за 1 час;

3) 1/12–1/30=3/60=1/20 – такую часть расстояния проезжает легковая машина за 1час;

4) 1:1/20=20(ч) – за столько часов проезжает расстояние между городами легковая машина.

Ответ: 20 ч.

6. Задачи на проценты (6 класс)

12. Зимняя куртка стоит 1200 р. На весенней распродаже ее можно купить на 33% дешевле. Сколько можно сэкономить денег, если купить куртку на распродаже?

Сначала найдем 1% стоимости куртки:

1200:100=12(р.)

Теперь найдем 33% ее стоимости:

12 ∙33=396(р.).

Значит, купив куртку на распродаже, можно сэкономить 396 р.

12. Зимняя куртка стоит 1200 р. На весенней распродаже ее можно купить на 33% дешевле. Сколько можно сэкономить денег, если купить куртку на распродаже?

Можно было рассуждать иначе: 33% величины – это 33 ее сотых доли, т.е. 33% выражаются дробью 33/100.

Чтобы найти 33/100 от 1200, нужно 1200 умножить на 33/100:

1200 ∙33/100=396(р.)

7. Деление в данном отношении (6 класс)

13. Для учащихся пятых и шестых классов школа приобрела 50 билетов в цирк. В пятых классах учится 72 человека, а в шестых – 48. Как разделить билеты между пятиклассниками и шестиклассниками?

В школе решили, что будет справедливо разделить билеты в том же отношении, в котором находится число пятиклассников и число шестиклассников, т.е. в отношении 72 к 48. Упростим это отношение: 72:48=3:2. Решаем задачу «на части». Всего имеется 3+2=5 частей, на каждую часть приходится 50:5=10 билетов. Пятиклассникам следует выделить 10 ∙3=30 билетов, а шестиклассникам – 10∙2=20 билетов.

8. Задачи на «обратный ход» (6 класс)

14. Петя задумал число, умножил его на «2»,

прибавил 3 и получил 21. Какое число задумал

Петя?

Сначала из 21 вычтем 3:

21 – 3=18.

Теперь результат разделим на 2:

18:2=9.

Значит, Петя задумал число 9.

∙ 2

+3

21

?

-3

:2

• Алгебраический способ решения задач

(6-9 класс)

15. Андрей задумал число, умножил его на 2, к полученному числу прибавил 1, результат умножил на 2 и вычел 1. После этого он получил число 33. Какое число задумал Андрей? (6 класс)

Обозначим задуманное число буквой x . Тогда Андрей получил:

на первом шаге – число 2 x

на втором шаге – число 2 x +1

на третьем шаге – число 2(2 x +1)

на четвертом шаге – число 2(2 x +1) – 1.

В результате у него получилось число 33. Следовательно, 2(2 x +1) – 1 и 33 – это равные числа:

2(2 x +1) – 1=33.

16. На 6 одинаковых костюмов потребовалось 22м ткани. Сколько ткани нужно для пошива 15 таких же костюмов? ( 7 класс)

Обозначим через x количество ткани (в м), которое требуется для пошива 15 костюмов, и запишем краткое условие задачи:

6 кост. – 22 м,

15 кост. – x м.

Количество ткани прямо пропорционально числу костюмов: во сколько раз увеличивается число костюмов, во столько же раз увеличивается и расход ткани. Поэтому отношения 15/6 и x/ 22 равны. Получаем пропорцию

15/6= x /22.

Из этой пропорции находим неизвестное число x :

x= 55.

Таким образом, для пошива 15 костюмов требуется 55 м ткани.

17. В семье две пары близнецов, родившихся с разницей в три года. В 2002 г. всем вместе исполнилось 50 лет. Сколько лет было каждому из близнецов в 2000 г. ? ( 7 класс)

Обозначим x лет–возраст младших близнецов в 2000 г.,

тогда старшим близнецам в этом году было x +3года.

В 2002 г ., т.е. через 2 года , младшим было x +2 года, а старшим – x +5 лет.

По условию задачи суммарный возраст близнецов в 2002 г. составил 50 лет. Значит,

( x +2)+( x +2)+( x +5)+( x +5)=50

x = 9

9+3=12 лет старшим близнецам.

18. Два туриста вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 22,5 км, и встретились через3 часа. С какой скоростью шел каждый из них, если известно, что скорость одного на 1,5 км/ч больше скорости другого? ( 7 класс)

Если x км/ч – скорость, с которой шел первый турист, то скорость второго туриста x +1 , 5 км/ч.Сделаем рисунок, который поможет нам

составить уравнение

Первый турист прошел до встречи 3 x км, а второй 3( x+1,5) км. В сумме эти расстояния составляют 22,5 км:

x +3( x +1,5)=22,5

Решим это уравнение: x= 3. Первый турист шел со скоростью 3 км/ч, а второй – со скоростью 3+1,5=4,5 км/ч.

Ответ : 3 км/ч; 4,5 км/ч.

x км/ч

x+1,5 км/ч

3x км

3( x +1,5) км

22,5 км

19. Места на стадионе расположены в три яруса. Всего арена рассчитана на 4280 мест. В нижнем ярусе в 3 раза больше мест, чем в верхнем. В среднем ярусе на 680 мест больше, чем в верхнем. Сколько мест в каждом ярусе? (8 класс)

Пусть x мест – в верхнем ярусе,

y мест – в среднем ярусе,

z мест – в нижнем ярусе,

Составим систему: x + y + z =4280

z=3x

y=x+680.

x+3x+ x+680=4280

x=720 y=720+680=1400

z=3∙720=2160

Ответ: в верхнем ярусе 720 мест, в среднем ярусе 1400 мест, в нижнем ярусе 2160 мест.

20. Прогулочный катер «Ракета» спустился по течению реки на 60 км и после получасовой стоянки вернулся обратно. На все путешествие он затратил 5 часов. Чему равна скорость течения реки, если в стоячей воде катер развивает скорость 27 км/ч?

Решение.

Пусть скорость течения реки x км/ч. Тогда: скорость катера по течению 27+ x км/ч;

скорость катера против течения 27– x км/ч;

время затраченное на путь по течению, 60/(27+ x ) ч;

Время затраченное на путь против течения, 60/(27 – x ) ч.

Так как стоянка заняла ½ ч, то «чистое» время движения составило 4,5 ч. Получаем уравнение

60/(27+ x ) + 60/(27 – x ) =9/2.

Решим его:

x =3, x =-3 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: скорость течения реки 3 км/ч.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!