Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах

30 , Ответ : 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.   " width="640"

1.Метод прямого перебора

• Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходимо взять тех и других деталей, чтобы получить груз 3 0 кг?

Решение:

Пусть х – количество деталей массой 3 кг, а у - количество деталей массой 8 кг.

Составим уравнение: 3 х + 8 у= 3 0

Если х = 1, то 8 у =27 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х =2, то 8 у =24 , следовательно, у =3

Если х = 3, то 8 у =21 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х = 4, то 8 у =18 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х =5, то 8 у =15 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х = 6, то 8 у =12 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х = 7, то 8 у =9 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х = 8, то 8·3+830 ,

Ответ : 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.

2.Использование неравенств

• Решите в натуральных числах уравнение

3 x + 6 y = 21.

Решение. Для уменьшения перебора вариантов

рассмотрим неравенства

Проведем перебор по неизвестной у .

Если y = 1, то x = 5

Если y = 2, то x = 3

Если y = 3, то x = 1.

Ответ: (5;1), (3; 2)(;1;3).

7.Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю

• Решить уравнение в целых числах 20х + 3у=10

Решение. Коэффициенты при переменных х и у –

взаимно простые числа и свободный член - целое число.

Коэффициент при х больше коэффициента при у.

Представим его в виде суммы двух натуральных слагаемых

так, чтобы первое слагаемое было наибольшим числом,

кратным числу 3 ( коэффициенту при у). Получим:

20 х + 3 у = 10

(18 +2) х +3 у =10

18 х +2 х +3 у =10

3(6 х + у )+2 х =10

Обозначим выражение 6 х + у = k . (1)

Получим уравнение 3 k +2 x =10 с переменными k и х .

Проведем аналогичные преобразования с полученным

уравнением:

(2 + 1) k + 2 x =10

2( k + x ) + k =10

Обозначим выражение k + х = n (2).

Получим уравнение 2 n + k =10

k = 10 – 2 n

Подставим в равенство (2) вместо k выражение 10 – 2 n :

10 – 2 n + x = n

x = 3 n – 10

  Мы получили одну из формул решений уравнения

20 x – 3 y = 10

Чтобы получить вторую формулу, подставим в равенство(1) вместо х

выражение +3 n - 10, а вместо k выражение 10-2 n :

6(3 n – 10 )+ y = 10 – 2 0 n

y = 70 – 2 0 n

Формулы х = 3 n – 10 ; y = 70 – 20 n

при n = 0, ± 1, ±2; … дают все целочисленные

решения уравнения