Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах

30 , Ответ : 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.   " width="640"

1.Метод прямого перебора

• Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходимо взять тех и других деталей, чтобы получить груз 3 0 кг?

Решение:

Пусть х – количество деталей массой 3 кг, а у - количество деталей массой 8 кг.

Составим уравнение: 3 х + 8 у= 3 0

Если х = 1, то 8 у =27 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х =2, то 8 у =24 , следовательно, у =3

Если х = 3, то 8 у =21 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х = 4, то 8 у =18 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х =5, то 8 у =15 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х = 6, то 8 у =12 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х = 7, то 8 у =9 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х = 8, то 8·3+830 ,

Ответ : 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.

2.Использование неравенств

• Решите в натуральных числах уравнение

3 x + 6 y = 21.

Решение. Для уменьшения перебора вариантов

рассмотрим неравенства

Проведем перебор по неизвестной у .

Если y = 1, то x = 5

Если y = 2, то x = 3

Если y = 3, то x = 1.

Ответ: (5;1), (3; 2)(;1;3).

300. Ответ: (12;9) " width="640"

3.Использование отношения делимости

• Решить уравнение в целых числах 13x +16y = 300 .

Решение. 13 x +13 y + 3 y = 13· 23 +1,

3 y −1 = 13(23 − x − y ).

Отсюда следует, что разность 3 y −1 делится на 13.

Если 3 y −1 = 0, то у не является натуральным числом.

Если 3 y −1 = 13, то у не является натуральным числом.

Если 3 y −1 = 26, то y = 9 и x = 12.

Если 3 y −1 = 39, то у не является натуральным числом.

Если 3 y −1 = 52, то у не является натуральным числом

Если 3 y −1 = 65, то y = 22, но16·22 = 352 300.

Ответ: (12;9)

39. Ответ : ( 3 ; 3 ) . " width="640"

4. Выделение целой части

• Решить уравнение 8x + 5y = 39 .

Решение . Выразим у из уравнения и выделим целую часть:

Отсюда следует, что разность 3 x − 4 делится на 5.

Если 3 x − 4 = 0, то х не является натуральным числом.

Если 3 x − 4 = 5, то x = 3 и y = 3.

Если 3 x − 4 = 10, то х не является натуральным числом.

Если 3 x − 4 = 15, то х не является натуральным числом.

Если 3 x − 4 = 20, то x = 8, но 8 8 = 64 39.

Ответ : ( 3 ; 3 ) .

5. Метод остатков

• Решите уравнение 3x − 4y = 1 в целых числах.

Решение.

Перепишем уравнение в виде 3 x = 4 y +1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая.

1) Если y = 3 m , где m Z , то 4 y +1 = 12 m +1 не делится на 3.

2) Если y = 3 m +1, то 4 y +1 = 4(3 m +1) +1 = 12 m + 5 не делится на 3.

3) Если y = 3 m + 2, то 4 y +1 = 4(3 m + 2) +1 = 12 m + 9 делится на 3, поэтому 3 x = 12 m + 9,

x = 4 m + 3.

Ответ : x = 4 m + 3, y = 3 m + 2, где m Z .

6. Метод «спуска»

• Решите в целых числах уравнение 5x − 7 y = 3.

Решение. Выразим из уравнения то неизвестное, коэффициент при котором

меньше по модулю:

Дробь должна быть равна целому числу.

Положим , где z – целое число.

Тогда 2 y + 3 = 5 z . Из последнего уравнения выразим то

неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю, и проделаем аналогичные преобразования:

Дробь должна быть целым числом.

Обозначим ,где t – целое число.

Отсюда z = 2 t − 3. Последовательно возвращаемся к

неизвестным х и у :

y = 3(2 t − 3) − t = 5 t − 9,

x = y + z = 5 t − 9 + 2 t − 3 = 7 t −12.

Ответ: x = 7 t – 12, y = 5 t – 9 , где t – целое число

7.Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю

• Решить уравнение в целых числах 20х + 3у=10

Решение. Коэффициенты при переменных х и у –

взаимно простые числа и свободный член - целое число.

Коэффициент при х больше коэффициента при у.

Представим его в виде суммы двух натуральных слагаемых

так, чтобы первое слагаемое было наибольшим числом,

кратным числу 3 ( коэффициенту при у). Получим:

20 х + 3 у = 10

(18 +2) х +3 у =10

18 х +2 х +3 у =10

3(6 х + у )+2 х =10

Обозначим выражение 6 х + у = k . (1)

Получим уравнение 3 k +2 x =10 с переменными k и х .

Проведем аналогичные преобразования с полученным

уравнением:

(2 + 1) k + 2 x =10

2( k + x ) + k =10

Обозначим выражение k + х = n (2).

Получим уравнение 2 n + k =10

k = 10 – 2 n

Подставим в равенство (2) вместо k выражение 10 – 2 n :

10 – 2 n + x = n

x = 3 n – 10

  Мы получили одну из формул решений уравнения

20 x – 3 y = 10

Чтобы получить вторую формулу, подставим в равенство(1) вместо х

выражение +3 n - 10, а вместо k выражение 10-2 n :

6(3 n – 10 )+ y = 10 – 2 0 n

y = 70 – 2 0 n

Формулы х = 3 n – 10 ; y = 70 – 20 n

при n = 0, ± 1, ±2; … дают все целочисленные

решения уравнения

8 . Использование формул

Теорема. Если а и b – взаимно просты и пара - какое-нибудь целочисленное решение уравнения

a х + by = c, то все целочисленные решения этого уравнения описываются формулами:

, где

Доказательство: Пусть пара - какое-нибудь

целочисленное решение уравнения ах + by = c , т.е.

. Сделаем замену переменных:

Тогда в новых переменных уравнение примет вид:

. Т.к. а и b – взаимно просты, то уравнение имеет решения, если

Тогда получим

Возвращаясь к старым переменным,

получаем, что

8 . Использование формул

• Найти целочисленные решения уравнения

13х = 6у - 19

Решение . Найдем одно целочисленное решение

уравнения: , и выполним преобразования

Ответ:

9. Использование конечных цепных дробей

• Решите в целых числах уравнение 127x − 52y +1= 0

Решение. Преобразуем отношение коэффициентов при

неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть

неправильной дроби .

Правильную дробь заменим равной ей дробью

Тогда получим

.

Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью

Теперь исходная дробь примет вид: .

Повторяя те же рассуждения для дроби получим

. Выделяя целую часть

неправильной дроби , придем к окончательному

результату:

Мы получили выражение, которое называется конечной

цепной или непрерывной дробью.

Отбросив последнее звено этой цепной дроби –одну

пятую, превратим получающуюся при этом новую

цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби

: . Итак,

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и

отбросив знаменатель, получим:

Из сопоставления полученного равенства с уравнением

127 x − 52 y +1= 0 следует, что x = 9 , y = 22 будет решением

этого уравнения, и согласно теореме все его решения будут

содержаться в формулах x = 9 + 52 t , y = 22 +127 t ,где t Z .

Ответ : x = 9 + 52 t , y = 22 + 127 t , где t Z .

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Метод разложения на множители а) вынесение общего множителя за скобки

• Решить уравнение : х² + 2ху = 4х + 7

Решение: х² + 2ху - 4 х = 7 , ( х + 2 у -2) х = 7

Составим четыре системы уравнений:

решив которые, получим

Ответ: (1; 5), (7; -1), (-1; -1), (-7; 5)

( m – n) ,то получим две системы уравнений: Ответ: (17; 16) , (7; 4), " width="640"

б) применение формул сокращенного умножения

• Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 33.

Решение. Запишем условие задачи в виде уравнения

( m + n )( m - n ) = 33

т.к ( m + n )( m – n) ,то получим две системы уравнений:

Ответ: (17; 16) , (7; 4),

в) способ группировки .

• Решить уравнение: xy - 2x + 3 y = 16 .

Решение: х ( у – 2) + 3 у – 6 = 10

х ( у – 2 ) + 3( у – 2) = 10

( х + 3)( у – 2) = 10

получаем восемь систем уравнений:

Решив полученные системы уравнений, получим:

Решив полученные системы уравнений, получаем:

Ответ: (7;3), (-2; 12), (-1;7), (2;4), (-13;1), (-4;-8), (-5;-3), (-8;0).

Ответ: (7; 3), (-2; 12), (-1; 7), (2; 4), (-13; 1), (-4; -8), (-5; -3), (-8; 0)

г) разложение квадратного трехчлена

Решить уравнение в целых числах :

х² - 5ху+4у²=13

Решение: Решив уравнение х ² - 5 ху +4 у ²=0

относительно переменной х , получим .

Теперь можно разложить левую часть уравнения на

множители. Получаем ( х – у )( х – 4 у )=13

13 = 1·13=13·1=(-1)· (- 13 ) =(-13)· (- 1 )

Составим четыре системы уравнений:

Решив полученные системы уравнений, получим ответ:

Ответ : (-3; -4), (3; 4), (17;4), (-17;-4)

д) использование параметра

• Решите уравнение 2x²− 2xy + 9x + y = 2 в целых числах.

Решение. Перепишем уравнение в виде

2 x ² − (2 y − 9) x + y − 2 + a = a

и разложим левую часть уравнения на множители

как квадратный трехчлен относительно х . Находим

дискриминант D = 4 y ² − 44 y + 97 −8 a . Очевидно,

если 97 −8 a =121, то дискриминант будет полным

квадратом.

При этом a = −3 и

Отсюда .

Уравнение принимает вид (2 x −1)( x − y + 5) =−3.

-3=1·(-3)=(-1)·3= 3·(-1)=(-3)·1

Из этого уравнения получим следующие системы

уравнений:

Решив эти системы, получим:

Ответ: (1;9); (0;2); (2;8); (−1;3).

2. Метод решения относительно одной переменной

Выделение целой части

Решить уравнение в целых числах: 3 xy + 14 x + 17 y + 71 = 0

Решение: 3 xy+ 17 y=- 14 x - 7 1 ; y (3 x+ 17) =- 14 x- 71

, где 3 х + 17≠0

Т.к. у должно быть целым числом, то 3у тоже целое число,

следовательно, дробь также целое число , и значит 25

делится на (3 х+ 17). Получаем:

3 x + 17 = -5→ 3 x = -22→ х не является целым числом

3 x + 17 = 5 →3 x = -12,→ x = -4, y = -3

3 x + 17 = 25→ 3 x = 8 → х не является целым числом

3 x + 17 = -25→3 x = -42→ x = -14, y = -5

3 x + 17 = 1→3 x = -16→ х не является целым числом

3 x +17 = -1→3 x = -18→ x = -6, y = -13

Ответ :(-4;-3), (-6;-13), (-14;-5)

Выделение целой части

Найти все целочисленные решения уравнения:

2 x ²-2 xy +9 x + y = 2

Решение . Выразим у через х и выделим целую часть:

2 xy - y = 2 x ² +9 x - 2

y (2 x -1)=2 x ² + 9 x - 2

Т.к. у должно быть целым числом, то дробь

также целое , а это значит что число 3 делится на (2 х- 1).

Получаем: если 2 x - 1=1 , то x = 1, y = 9

если 2 x - 1=-1 , то x = 0, y = 2

если 2 x - 1= 3 , то x =2, y = 8

если 2 x - 1 = -3 , то x = -1, y = 3

Ответ : (1;9), (0;2), (2;8), (-1;3)

Использование дискриминанта (неотрицательность)

• Решите уравнение 3(x² + xy + y² ) = x + 8y в целых числах.

Решение . Рассмотрим уравнение, как квадратное

относительно х : 3 x ² + (3 y −1) x + 3 y ² −8 y = 0.

Найдем дискриминант уравнения D = −27 y ² + 90 y +1.

Данное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, т.е.

− 27 y ² + 90 y +1≥ 0.

Так как y Z , то получаем 0 ≤ y ≤ 3. Перебирая эти

значения, получим, что исходное уравнение в целых

числах имеет решения (0;0) и (1;1).

Ответ : (0;0); (1;1).

Использование дискриминанта (полный квадрат)

• Решите уравнение x² − xy + y² = x + y в целых числах.

Решение . Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х :

x ² − ( y +1) x + y ² − y = 0.

Его дискриминант D = −3 y ² + 6 y +1 = t ² должен быть квадратом некоторого целого числа t . Получаем новое уравнение

3 y ² − 6 y −1 + t ² = 0; 3( y −1)² + t ² = 4.

Из последнего уравнения следует, что t ² ≤ 4, т.е. |t| ≤ 2.

1) Если t ² = 0, то уравнение 3( y −1)² = 4 не имеет целого решения у.

2) Если t ² =1, то уравнение 3( y −1)² = 3 имеет

целые решения

При y = 2 получаем квадратное уравнение

x ² − 3 x + 2 = 0 с корнями x = 1 или x = 2 .

При y = 0 получаем квадратное уравнение

x ² − x = 0 с корнями x = 0 или x =1.

3) Если t ² = 4, то уравнение 3( y −1)² = 0 имеет одно целое решение y =1.

При y =1 получаем квадратное уравнение

x ² − 2 x = 0 с корнями x = 0 или x = 2 .

Ответ: (1;2); (2;2); (0;0); (1;0), (0;1); (2;1)

3. Метод оценки

Приведение к сумме неотрицательных выражений

Решить уравнение в целых числах : x ²+6 xy +13 y ² = 40 .

Решение. Преобразуем левую часть уравнения,

выделив полный квадрат относительно переменной х : x ²+6 xy +9 y ²+4 y ² = 40 ;

( x +3 y )²+4 y ² = 40 .

Откуда получаем что (2 y )² ≤ 40 ,т.е. | y | ≤ 3

Перебирая значения у, получим системы:

Ответ: (1; 3), (1;-9), (-1; 9), (-1; -3)

Метод «спуска»

● Решите уравнение 2 x ² − 5 y ² = 7 в целых числах.

Решение. Так как 2 x ² - четное число, а 7 - нечетное, то

5 y ² должно быть нечетным, т.е. у –нечетное. Пусть

y = 2 z +1, z Z , тогда данное уравнение можно

переписать в виде x ² −10 z ² −10 z = 6.

Отсюда видно, что х должно быть четным.

Пусть x = 2 m , тогда последнее уравнение примет вид

2 m ² − 5 z ( z +1) = 3,

что невозможно, так как число z ( z +1) - четно, а

разность двух четных чисел не может быть равна

нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не

имеет решений в целых числах.

Ответ: нет решений