Решение задач по теме "Отношение площадей подобных треугольников"

ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Свойство

Если высоты треугольников равны, то площади относятся как основания .

Свойство

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Теорема

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы

Доказать:

Дано:

Дайте ответы на вопросы:

1. Что называют отношением отрезков AB и CD?

2. При каком условии отрезки AB, CD и A 1 B 1 , C 1 D 1 называют пропорциональными?

3. Назовите сходственные стороны треугольников ∆MKL и ∆PZD, если

∠ M=∠Z, ∠K=∠D, ∠L=∠P.

4. Используя свойство биссектрисы треугольника, найдите KN, если OC=4см, CN=3см, OK=2см.

K

M L

Z

P

D

C

O K N

Теорема: «Об отношении площадей подобных треугольников» Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дано: ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1

Доказать:

Доказательство:

1. Так как по условию ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 , то

∠ A=∠A 1 , по теореме об отношении площадей треугольников (п.53), значит

2. Так как

ч.т.д.

C

A B

C 1

A 1 B 1

Реши задачи

• Две сходственные стороны подобных треугольников равны

8 см и 4 см. Периметр второго треугольника равен 12 см.

Чему равен периметр первого треугольника ?

24 см

2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны

9 см и 3 см. Площадь второго треугольника равна 9 см 2 .

Чему равна площадь первого треугольника ?

81 см 2

3. Две сходственные стороны подобных треугольников равны

5 см и 10 см. Площадь второго треугольника равна 32 см 2 .

Чему равна площадь первого треугольника ?

8 см 2

4. Площади двух подобных треугольников равны 12 см 2 и 48 см 2 .

Одна из сторон первого треугольника равна 4 см. Чему равна

сходственная сторона второго треугольника ?

8 см

Закрепление. № 544

Дано : ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 ,

Найти : AC

Решение :

1.Так как по условию

то по т . «Об отношении площадей подобных треугольников»:

2.Так как : ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 , а также

AC и A 1 C 1 – сходственные стороны, k=2, то

Ответ: AC=4,5 (м)

B

A C

B 1

A 1 C 1

Закрепление. № 54 5

Дано : ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 , AC: A 1 C 1 =6:5

Найти :

Решение :

1.Пусть S A1B1C1 =x см 2 , S ABC =(x+77) см 2

2.Так как AC: A 1 C 1 =6:5 , то

3.По теореме об отношении площадей подобных треугольников:

Значит S A 1 B 1 C 1 = 175 см 2 , S ABC = 252 см 2

Ответ: S A 1 B 1 C 1 = 175 см 2 , S ABC = 252 см 2

B

A C

B 1

A 1 C 1

Закрепление. № 537

A

C D B

Дано : ∆ABC, AD – биссектриса ∆ABC, AB=14см, AC=21см, BC=20см

Найти : BD, DC

Решение :

1.Так как по условию BC=20см, BC=CD+DB, то пусть BD=x см , CD=(20-x) см .

2.Так как по условию AD – биссектриса ∆ABC, то по свойству биссектрисы треугольника BD:AB=CD:AC (1).

3.Так как по условию AB=14см, AC=21см, то (1) – примет вид:

Значит BD=8 см , DC=12 см .

Ответ: BD=8 см , DC=12 см .

Домашнее задание:

п.п. 1 - 60 ;

№ 538, №548 (воспользоваться условием № 547)

Самопроверка домашнего задания по образцу № 538

A

C D B

Дано : ∆ABC, AD – биссектриса ∆ABC, CD=4,5 см , BD=13,5 см , P ABC =42 см.

Найти : AB и AC

Решение :

1.Так как CB=CD+DB, CD=4,5 см , BD=13,5 см, то CB=18 см.

2.Пусть AB = х. Так как P ABC =42 см , CB=18 см ,

то AC = 42-(18+х) = 24-х ( см).

3.По свойству биссектрисы треугольника:

т.е.

Значит AB=18 см и AC =6 см .

Ответ: AB=18 см и AC =6 см .

Самопроверка домашнего задания по образцу № 5 47

B

A C

B 1

A 1 C 1

Дано : ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1

Доказать :

Доказательство :

1. Так как по условию ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 , то

2.

ч.т.д.

Итак если ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 , то

Самопроверка домашнего задания по образцу № 5 48

Дано : ∆ABC ∾ ∆A 1 B 1 C 1 ,

BC и B 1 C 1 – сходственные стороны,

BC = 1,4 м = 140 см , B 1 C 1 = 56 см .

Найти :

Решение :

Ответ: