Решение задач с помощью уравнений

Конспект урока «Решение задач с помощью уравнений»

Цели:

1. Закрепить навыки составления уравнения по данным задачи и навыки решения уравнений.

2. Развивать творческую и мыслительную деятельность учеников, самостоятельность.

3. Прививать интерес к математике.

Ход урока: 1) Орг. Момент, постановка целей урока.

Сообщение учителя. Хотя мы проводим урок алгебры, но на уроке должны прозвучать имена известных всему миру людей: А. С. Пушкин, А. В. Суворов, Пифагор. Тема урока связана с именами этих людей. Но большую часть времени мы посвятим неизвестному пока для вас древнегреческому математику, достигшему наибольших успехов в развитии учения об уравнениях. Из его работ самой важной является «Арифметика», из 13 книг которой 6 сохранились до наших дней. Все задачи решаются с помощью уравнений. Недаром один неизвестный поэт сказал о нём:

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешил проблем

И засуху предсказывал, и ливни

Поистине его познанья дивны.

В этом 4-стишии я выделила слова: уравнение, теорема, проблема. Объясните смысл этих слов.

Ученики:

Уравнение – равенство, содержащее неизвестную величину, обозначенную буквой. Теорема – утверждение, которое надо доказать. Проблема – вопрос, ответ на который неизвестен.

Сегодня на уроке перед нами стоят следующие проблемы:

1. Как составить уравнение по тексту задачи.

2. Как зовут древнегреческого математика, достигшего наибольших успехов в развитии учения об уравнениях?

3. Каким образом связана тема урока с именами Пифагора, Суворова, Пушкина?

Узнать имя древнегреческого ученого вы сможете, если напишите математический диктант. Имя зашифровано с помощью заданий. Шифр записан на доске: (повторение: действия с дробями)

1) 1∕12 + 1∕7 19∕74- И

2) 1- 55∕74 84 – Ф

3) 2 1∕3 ∙ 1 2∕5 19∕84 – Д

4) 9 :3∕28 3 4∕15 – О

5) 1∕6х+1∕12 х=3 3 7∕15 – Т

6) найти 5∕21 от 84 12 – А

7) оставшаяся буква 20 – Н

Решая примеры, учащиеся находят соответствующую букву в шифре, составляют слово. Учитель просит учащегося оценить свою работу, поставить оценку в тетради и после этого выясняет, кто отгадал имя ученого. На доску выносятся правильные ответы. При верном решении рядом с заданием ставится знак «+», при неверном – «-«.Учитель сообщает критерий отметки:

Количество «+» Оценка

6 «5»

4-5 «4»

3 «3»

Учитель выставляет оценку за диктант, сравнивает с предыдущей оценкой, если оценки не совпали, то выясняет, в чём причина.

Учитель: Итак, имя этого древнегреческого учёного Диофант. В честь его заслуг я учреждаю «орден Диофанта» (жетон).Он будет присуждаться вам за особые успехи сегодня на уроке. Я думаю, будет справедливо, если мы первые ордена вручим ребятам, получившим за диктант «5».

Решение:

Решив уравнение и найдя, что х=84, узнаём следующие черты биографии Диофанта: он женился в 21 год, стал отцом на 38-м году, потерял сына на 80-м году и умер в 84 года.

Учитель: История сохранила мало сведений о жизни Диофанта. До сих пор неизвестен ни год его рождения, ни дата смерти. Полагают, что он жил в 3 веке н. э. Всё, что известно о Диофанте, взято из записей на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи. (Учащимся раздаётся текст задачи, правая часть карточки временно закрыта чистым листом ).

Учитель читает текст. Переведём задачу с родного языка на язык математики. Текст задачи уже разделён на смысловые строки. Дети составляют уравнение, заполняя таблицу, затем один ученик записывает это уравнение на доску и решает его.

Дополнительное задание к задаче: Узнайте основные даты жизни Диофанта. Составьте о нём рассказ. За лучший рассказ присуждается «орден». Перечислим этапы решения задачи:

1. Подробно ознакомиться с условием задачи с целью выяснения её смысла.

2. Разбить текст задачи на смысловые строки.

3. Перевести задачу с родного языка на язык математики.

Составить уравнение.

4. Решить уравнение.

5. Выполнить проверку.

Учитель: Решим ещё две задачи.

« Задача Суворова»

Эту задачу предложил решить маленькому Александру Пушкину великий полководец А. В. Суворов, гостивший в доме Ганнибала (деда А. С. Пушкина).

«Летела стая гусей, а навстречу им гусь.

- Здравствуйте, сто гусей! – говорит им гусь.

- Нас не сто, отвечают они ему. – Вот если бы нас было столько, сколько есть, да ещё полстолько, да четверть столько, да ещё два гуся, то тогда было бы сто. Сколько гусей было в стае?

Мальчик долго размышлял над задачей, и только когда карета с гостями почти скрылась, он крикнул вдогонку ответ.

Решение задачи выглядит следующим образом:

В стае всего Х гусей

Х + 1∕2 Х +1∕4 Х +2 = 100

1 3∕4 Х = 98

Х = 98 : 1 3∕4

Х = 56 Ответ: в стае 56 гусей.

« Задача Пифагора»

Говорят, что на вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий математик Пифагор отвечал так: «Половина моих учеников изучает математику, четверть изучает природу, седьмая часть проводит в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы. Сколько учеников в классе у Пифагора?»

Решение задачи:

Всего в классе Х учеников.

1 ∕ 2 Х + 1 ∕ 4 Х + 1∕ 7 Х + 3 = Х

25 ∕ 28 Х + 3 = Х

3 = Х – 25 ∕ 28 Х

3 = 3 ∕ 28 Х

Х = 3: 3 ∕ 28

Х = 28 Ответ: 28 учеников.

За работу на уроке, за первые правильные ответы присуждаются «ордена».

При наличии времени можно решить следующую задачу:

Дополнительная задача « Уравнение думает за нас»

Учитель: иногда уравнение бывает предусмотрительнее нас самих. Решим следующую задачу:

Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в десять раз старше сына?

Обозначим искомый срок через Х. Спустя Х лет отцу будет (32 + Х ) лет, а сыну ( 5 + Х) лет. Так как отец должен быть в 10 раз старше сына, то имеем уравнение:

32 + Х = 10(5 + Х)

Решив его, получаем Х = -2

Это значит, что возраст отца никогда в будущем не окажется в 10 раз больше возраста сына – такое соотношение могло быть только в прошлом. (Через минус два года означает два года назад)

Подведение итогов урока.

Учитель с помощью учеников выясняет, что нового они узнали на уроке, чему научились. Учитель просит ребят оценить свою работу на уроке и ответить на вопросы:

- Почему вы поставили себе такую оценку?

- Кто из ваших одноклассников хорошо работал?

- Кому за урок вы бы поставили отличную оценку и почему?

Учащиеся записывают домашнее задание. Учитель подводит окончательный итог урока, выставляет оценки за работу на уроке.